江西省新余市2019-2020学年高一下学期期末考试数学(理)试题 含答案
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新余市 2019-2020 学年度下学期期末质量检测
高一数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.D 2. C 3．D 4.C 5．C 6.B
7. D 8．B 9．A 10．C 11．A 12.B
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）
12 6
12
g ( )= x min
g = 51π2
2sin 5π= +1 6
2，
∴函数
y
=
g
(
x)
在
−
π 12
,
5π 12
上的最小值为
2．
.................................................12
分
21.解：（1）因为 a > 0 ， 0 ≤ sin2 (ωx + ϕ) ≤ 1，
d = 1 或 d = − 4 ，...............................................................3 分 3
d > 0 ， d = 1 数列{an} 的通项公式为 an = n ．..............................6 分
所以
f
(
x
)= max
b=
9,
f
(
x
) min
=b −
2a
=−3 ,所以 b
=
9，a
=
6
．............2
分
所以 f (x) =9 −12sin2 (ωx + ϕ ) =9 − 6 1− cos (2ωx + 2ϕ ) =3 + 6 cos (2ωx + 2ϕ ) ．
13．三（或写 3） 14．2
15．32 16．16π
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17.解：（1）因为角α 的终边过点 P(−3, 4) ，
所以 sin α = 4 ， cosα = − 3 ， tan α = − 4 ，............................................................2 分
(2)由(1)得 f = ( x)
2sin
2x
+
π 6
+
1
，
∴
g
(
x=)
2sin
x
+
5π 12
+1，
..........................8 分
∵
x
∈
−
π 12
,
5π 12
，
∴
x
+
5π 12
∈
π 3
,
5π 6
，
∴当 x + 5π = 5π ，即 x = 5π 时， g ( x) 有最小值，且
−
EB EC
5 217 .......................................................12 分
19.解：（1）由 S3 = a1 + a2 + a3 = 3a2 = 6 ，得 a2 = 2 ，
又因为 a3 − a1, 2a2 , a8 成等比数列，则 (a3 − a1 ) ⋅= a8 (2a2 )2 ⇒ (2d ) ⋅ (2 + 6= d ) 42 ，解得
所以 f (= x)
2cos2 x +
3sin= 2x
cos2x +
3sin 2 x= + 1
2sin
2x
+
π 6
+1，
......2
分
所以函数 f ( x) 的最小正周期为=T 2=π π ， .......................................................... 3 分
1 4
+
1 4
−
1 5
+
...
1 n
−
n
1 +
2
=12
3 2
−
n
1 +1
−
n
1 +
2
=3 − 4
1 2
n
1 +
1
+
n
1 +
2
....................................................12
分
( )
20.解：(1)由题意 OA = (cosx,1) ， OB = 2cosx, 3sin2x ，
4
5
5
由（1）知， sin 2α = 2sinα cosα = − 24 ， cos 2α =2 cos2 α −1 =− 7
25
25 ...............8 分
所以 cos(2α − β ) =cos 2α cos β + sin 2α sin β =− 7 × (− 4) − 24 × (− 3) =4 ．....10 分 25 5 25 5 5
2
由 2kπ − π ≤ 2x + π ≤ 2kπ + π , k ∈ Z ，得 kπ − π ≤ x ≤ kπ + π , k ∈ Z ，
2
6
2
3
6
所以
f
(x)
的单调递增区间为
kπ
−
π 3
, kπ
+
π 6
,
k
∈Z
.
......................................6
分
高一数学答案（理科） 2第 2 页 (共 5 页)
（2 ⋅ an+2
n
(
1 n+
2)
=
1 2
(
1 n
−
n
1 +
2
)
......................................8
分
Tn=
1 1× 3
+
2
1 ×
4
+
3
1 ×
5
+
...
+
n
1
(n +
2)
=
1 2
1
−
1 3
+
1 2
−
1 4
+
1 3
−
18. 解：（1）依题意可知△ABC 为直角三角形， BC = 2 3 ,如图建立坐标系：
则 B（0,0），A（0，2）,C( 2 3 ，0),因为 D 为 BC 的中点，故 D（ 3 ,0）....2 分
高一数学答案（理科） 1第 1 页 (共 5 页)
∴ AD = ( 3，− 2)，BC =（2 3,0）∴ AD • BC = 3 × 2 3 = 6. ........................6 分
（2）由 E 为线段 AD 中点可知 E（ 3 ，1）， 2
∴ EB = (− 3 ，− 1)，EC = ( 3 3 ，− 1) ...........................................................8 分
2
2
∴cos < EB, EC >=
EB•EC =
5
5
3
所以
sin(π
tan α −α ) − cos(
π
+α
)
=
tan α 2 sin α
=
−4 3
2× 4
=
− 5 ．...........................................5 分 6
2
5
（2）因为 β 为第三象限角，且 tan β = 3 ，所以 sin β = − 3 ， cos β = − 4 ．....6 分
高一数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.D 2. C 3．D 4.C 5．C 6.B
7. D 8．B 9．A 10．C 11．A 12.B
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）
12 6
12
g ( )= x min
g = 51π2
2sin 5π= +1 6
2，
∴函数
y
=
g
(
x)
在
−
π 12
,
5π 12
上的最小值为
2．
.................................................12
分
21.解：（1）因为 a > 0 ， 0 ≤ sin2 (ωx + ϕ) ≤ 1，
d = 1 或 d = − 4 ，...............................................................3 分 3
d > 0 ， d = 1 数列{an} 的通项公式为 an = n ．..............................6 分
所以
f
(
x
)= max
b=
9,
f
(
x
) min
=b −
2a
=−3 ,所以 b
=
9，a
=
6
．............2
分
所以 f (x) =9 −12sin2 (ωx + ϕ ) =9 − 6 1− cos (2ωx + 2ϕ ) =3 + 6 cos (2ωx + 2ϕ ) ．
13．三（或写 3） 14．2
15．32 16．16π
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17.解：（1）因为角α 的终边过点 P(−3, 4) ，
所以 sin α = 4 ， cosα = − 3 ， tan α = − 4 ，............................................................2 分
(2)由(1)得 f = ( x)
2sin
2x
+
π 6
+
1
，
∴
g
(
x=)
2sin
x
+
5π 12
+1，
..........................8 分
∵
x
∈
−
π 12
,
5π 12
，
∴
x
+
5π 12
∈
π 3
,
5π 6
，
∴当 x + 5π = 5π ，即 x = 5π 时， g ( x) 有最小值，且
−
EB EC
5 217 .......................................................12 分
19.解：（1）由 S3 = a1 + a2 + a3 = 3a2 = 6 ，得 a2 = 2 ，
又因为 a3 − a1, 2a2 , a8 成等比数列，则 (a3 − a1 ) ⋅= a8 (2a2 )2 ⇒ (2d ) ⋅ (2 + 6= d ) 42 ，解得
所以 f (= x)
2cos2 x +
3sin= 2x
cos2x +
3sin 2 x= + 1
2sin
2x
+
π 6
+1，
......2
分
所以函数 f ( x) 的最小正周期为=T 2=π π ， .......................................................... 3 分
1 4
+
1 4
−
1 5
+
...
1 n
−
n
1 +
2
=12
3 2
−
n
1 +1
−
n
1 +
2
=3 − 4
1 2
n
1 +
1
+
n
1 +
2
....................................................12
分
( )
20.解：(1)由题意 OA = (cosx,1) ， OB = 2cosx, 3sin2x ，
4
5
5
由（1）知， sin 2α = 2sinα cosα = − 24 ， cos 2α =2 cos2 α −1 =− 7
25
25 ...............8 分
所以 cos(2α − β ) =cos 2α cos β + sin 2α sin β =− 7 × (− 4) − 24 × (− 3) =4 ．....10 分 25 5 25 5 5
2
由 2kπ − π ≤ 2x + π ≤ 2kπ + π , k ∈ Z ，得 kπ − π ≤ x ≤ kπ + π , k ∈ Z ，
2
6
2
3
6
所以
f
(x)
的单调递增区间为
kπ
−
π 3
, kπ
+
π 6
,
k
∈Z
.
......................................6
分
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（2 ⋅ an+2
n
(
1 n+
2)
=
1 2
(
1 n
−
n
1 +
2
)
......................................8
分
Tn=
1 1× 3
+
2
1 ×
4
+
3
1 ×
5
+
...
+
n
1
(n +
2)
=
1 2
1
−
1 3
+
1 2
−
1 4
+
1 3
−
18. 解：（1）依题意可知△ABC 为直角三角形， BC = 2 3 ,如图建立坐标系：
则 B（0,0），A（0，2）,C( 2 3 ，0),因为 D 为 BC 的中点，故 D（ 3 ,0）....2 分
高一数学答案（理科） 1第 1 页 (共 5 页)
∴ AD = ( 3，− 2)，BC =（2 3,0）∴ AD • BC = 3 × 2 3 = 6. ........................6 分
（2）由 E 为线段 AD 中点可知 E（ 3 ，1）， 2
∴ EB = (− 3 ，− 1)，EC = ( 3 3 ，− 1) ...........................................................8 分
2
2
∴cos < EB, EC >=
EB•EC =
5
5
3
所以
sin(π
tan α −α ) − cos(
π
+α
)
=
tan α 2 sin α
=
−4 3
2× 4
=
− 5 ．...........................................5 分 6
2
5
（2）因为 β 为第三象限角，且 tan β = 3 ，所以 sin β = − 3 ， cos β = − 4 ．....6 分
