题库

一、填空题：1、直角坐标系中，已知k z j y i x e x r i i++==，=∙∇r ___3__________ 2、直角坐标系中，已知k z j y i x e x r i i++==，r r =,则r ∇=___r r __________3、直角坐标系中，已知k z j y i x e x r i i++==，=⨯∇r ___0__________4、半径为r 的球面S 上任一点的位置矢量k z j y i x e x r i i++==，则Sr d S ⋅=⎰⎰_334343VrdV r r ππ∇⋅=⋅=⎰⎰⎰_____ 5、kk δ=___3____,ijk ijk εε=___6_(3!)___。

6、δε-第二关系式______nj m k nk m j im n ijk δδδδεε-=__________。

7、单连通域，矢量场A 为无旋场，则A的_____旋度______为零。

8、单连通域，矢量场A 为无源场，则A 的______散度_________为零。

9、单连通域，矢量场A 为调和场，则A的____旋度、散度__________为零。

10、 通过矢量管的任一截面上的通量______相等___________。

11、 二阶反对称张量A ~的对偶矢量为ω ，则对任一矢量b ，A b ~∙ ＝__b⨯ω___。

12、直角坐标系中，矢量场k yz x j z x i xyz A 2232332++=，其=⨯∇A _____0______,则其势函数为___320220320,0332yz x dz yz x dy z x dx xyz r d A zyz xz y l=++=∙=⎰⎰⎰⎰=== φ_______13、直角坐标系中，0=⋅∇u 约定求和的分量形式____0=∂∂iiu x ___， 不约定求和的分量形式 0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u 14、 ()=⨯⋅b a a____0______15、 ()22221w v u e ++=，用哑指标来表示： i i u u e 21= 16、 用约定求和形式的分量表示：=⨯b a k j i ijk e b aε 17、用约定求和形式的分量表示：=⋅b ai i b a18、已知： k j i b 22-+=，k j i c 32++=，c 可分解为b m b c+=⊥，其中b b ⊥⊥，则：=⊥b k j i 923920913++ ，及=m 92- 19、 S ~为对称张量，A ~为反对称张量，则=S A ~:~ 020、二阶张量u∇的对称部分S ~与反对称部分A ，则S ~的分量=ij S ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂j i i j x u x u 21 ，=ij A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂j i i j x u x u 21 ， u∇可以分解为一个球形张量P ~和偏斜张量D ~之和，则：=ij P ij i i x u tr δ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂31 ，=ij D ij i i i j x u tr x u δ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂31 21、 ,A B 为二阶张量，B A ~~⋅用约定求和的分量形式可以表示为： jk ij b a 22、 ,A B 为二阶张量，T B A ~~⋅用约定求和的分量形式可以表示为： kj ij b a23、 坐标变换的互逆关系式: i j k j i ββδ= 和 ji jk ik ββδ= 24、二、判断题1、单连通域，矢量场A 有势，则A的旋度为零，即0=⨯∇=A A rot 。

2、单连通域，矢量场A有势，则0=⎰lr d A ，其中l 为矢量场中的任一封闭曲线。

3、矢量场A ，0=∙∇A ，则矢量场A中矢量管任一截面上的通量相等。

4、某矢量场A 满足，0=⨯∇A 且0=∙∇A ，则A为调和场。

5、单连通域，矢量场A 无源，则A的散度为零，即0=∙∇=A A div三、计算题1、矢量场()k y x j yz i xz A22+-+=过点M （2，－1，1）的矢量线方程为_⎪⎩⎪⎨⎧=++-=621222z y x x y _____________ 解：矢量线应该满足的方程为：()22y x dzyz dy xz dx +-==，由yz dy xz dx =得y dy x dx =，即x c y 1=。

()2222y x dz zy ydy zx xdx +-==，按照等比定理()2222y x zdz y x ydy xdx +-=++，()()222222y x zdzy x y x d +-=++即()222dz y x d -=+，2222c z y x =++，故：矢量线方程为：⎩⎨⎧=++=22221c z y x x c y ，将M （2，－1，1）点代入得：211-=c ，62=c ，得过点M 的矢量线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=621222z y x x y2、求标量场32yz xy +=φ在点M （2，－1，1）处的梯度及在矢量k j i L-+=22方向的方向导数。

解：()()()()()kyz j z xy i y yz xy z k yz xy y j yz xy x i yz xy x e grad i i2323232323232+++=+∂∂++∂∂++∂∂=+∂∂=∇=φφk j i grad M33--=φL的单位矢量为k j i l 313232-+=()3131323233-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙--=∙=∂∂k j i k j i l grad l Mφφ3、直角坐标系中，已知标量场2(,,)()T x y z x y z =+-，及在标量场中的一点M （1，0，1）。

（1）求过M 点的等值面方程；（2）求出M 点的梯度；（3）求出M 点梯度方向n 的方向导数n ϕ∂∂及矢量L i j k =+-方向的方向导数lϕ∂∂,并验证n lϕϕ∂∂>∂∂解：（1）过M 的等值面方程： 2(1,0,1)(10)10T =+-=，因此，过该点的等值面方程为2(,,)()0T x y z x y z =+-=，即2()z x y =+（2）该标量场的梯度为： ()()(,,)22ii T T T TT x y z e i j k i x y j x y k x x y z∂∂∂∂∇==++=+++-∂∂∂∂因此过点M 的梯度为：()()(,,)21021022gradT T x y z i j k i j k =∇=+++-=+- （3）方向导数梯度方向的单位矢量为k j i n313232-+=()331343431323222=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙-+=∙=∂∂k j i k j i n grad nMφφ矢量k j i L -+=方向的单位矢量为k j i l333333-+=，则：()3335322Mgrad l i j k i j k lϕϕ⎛⎫∂=∙=+-∙+-= ⎪⎪∂⎝⎭ 因此n lϕϕ∂∂>∂∂4、已知矢量场A yi xj xk =-++和曲线l ：222(2),0x y R z -+==，逆时针为曲线的正向。

求 （1）矢量沿曲线l 的环量；（2）矢量穿过曲线l 围成的面积的通量。

解：（1）环量2222220222202202()sin (2cos )(2cos )(sin )sin (2cos )cos [(sin cos )2cos ](2cos )2l A dlydx xdy R d R R d R R d R R d R R d R R d R ππππππθθθθθθθθθθθθθθπΓ=⋅=-+=-+++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）通量()()2022cos 2ssRsQ A ds yi xj xk kdsxds r rdrd R πθθπ=⋅=-++⋅==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、已知在直角坐标系(,,)x y z 中速度场(,,)u u x y z =，应力场（二阶对称张量）(,,)x y z σσ=。

若保持z 轴不变，将(,)x y 组成的平面逆时针旋转45o 角建立新的直角坐标系(,,)x y z '''，给出(,,)u u x y z '''''=、应力场(,,)x y z σσ'''''=的分量与原坐标系的关系。

解：001cos 45sin 450e i j k '=++ 002sin 45cos 450e j j k '=-++xx '3e k '=因此0010023cos 45sin 450sin 45cos 450001e i e j k e ⎧⎫'⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪'=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥'⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭，因此坐标变换矩阵为：000cos 45sin 450sin 45cos 450001ij β⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(,,)(,,)(,,)i i i ij j j j u u x y z e u x y z e u x y z e β''''''''''===(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)i ij j i ij lj j lj i il j lj u x y z u x y z u x y z u x y z u x y z u x y z ββββδβ''''''''''''=→=→= (,,)(,,)(,,)(,,)l lj j i ij j u x y z u x y z u x y z u x y z ββ''''''''→=→=0000000cos 45sin 45cos 45sin 450sin 45cos 450sin 45cos 45001u u v u v v u v w w w w ⎫+⎪⎧⎫'⎪⎧⎫+⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪'=-=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥'⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭00000cos 45sin 450cos 45sin 450sin 45cos 450sin 45cos 45000101xx x y x z xx xy xz y x y y y z yx yy yz z x z y z z zx zy zz σσσσσσσσσσσσσσσσσσ'''''''''''''''''''''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦T20022002001001xxxy xz yx yy yz zx zy zz σσσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()())()1122221122222xxxy yy xx yy xz yz xx yy xx xy yy xz yz xz yz xz yz zzσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦一、将下列方程在直角坐标系中不用约定求和及约定求和的形式1、0=⋅∇u不可压缩连续性方程解：0=⋅∂∂i i j j e u x e0=∂∂i jij u x δ0=∂∂i iu x ―――――约定求和的形式 0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u ―――――不用约定求和形式2、u p f u u t u∇⋅∇+∇-=∇⋅+∂∂νρ1 不可压缩运动方程 解：k k jj i i i i i i k k j j i i i i e u x e x e p x e e f e u x e e u t e u ∂∂⋅∂∂+∂∂-=∂∂⋅+∂∂νρ1k k j i ij i i i i k k j ij i i i e u x x p x e e f e u x u t e u ∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νδρδ1 i i jj i i i i i i j j i i e u x x p x e e f e u x u t e u ∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1 jij i i j i j i x u x x p f x u u t u ∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1 ——————约定求和形式 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂2222221z w y u x u x p f z u w y u v x u u t u x νρ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂2222221z v y v x v y p f z v w y v v x v u t v y νρ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂2222221z w y w x w z p f z w w y w v x w u t w z νρ ——不用约定求和形式3、()()τρρρ~⋅∇+∇-=∇⋅+∂∂p f u u tu 解：()()k jk j iij j i i k k j j i i i i e e x e p x e e f e u x e e u t e u τρρρ⋅∂∂+∂∂-=∂∂⋅+∂∂ ()()k jk iij k k k k k k j ij i i i e x p x e e f e u x u t e uτδρρδρ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂()()ij ij j j i ij x p x f u x u tu τρρρ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x x p f z u w y u v x u u t u zx yx xx x τττρρρρρ ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x y p f z v w y v v x v u t v zy yy xy y τττρρρρρ ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x z p f z w w y w v x w u t w zz yz xz z τττρρρρρ4、已知I ~为单位张量，()][21~T u u ∇+∇=ε为应变张量，写出应力张量I u p ~)(~2~ ⋅∇--=λεμτ的张量形式及其每个分量。