高考数学：专题一第四讲 基本初等函数及函数的应用配套限时规范训练

基本初等函数高考题(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--基本初等函数1.若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =( )A ．x 2logB ．x 21C ．x 21log D ．22-x 答案 A解析 函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有 点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C3.设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则( )A a<b<cB a<c<bC b<c<aD b<a<c答案 B解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13log 2>=b ，因此选B 。

4.函数)(21R x y x ∈=+的反函数是A. )0(log 12>+=x x yB. )1)(1(log 2>-=x x yC. )0(log 12>+-=x x yD. )1)(1(log 2->+=x x y 答案 C解析 由y x y x y x 221log 1log 12+-=⇒=+⇒=+，又因原函数的值域是0>y ， ∴其反函数是)0(log 12>+-=x x y5.设323log ,log log a b c π===A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>答案 A解析 322log 2log log b c <<>2233log log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>>.6.2log 的值为A ．．12- D ． 12答案 D解析 由1222211log log 2log 222===,易知D 正确.8.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x -C .()f x =x eD.()ln(1)f x x =+答案 A解析 依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。

第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.12 导数与函数的单调性、极值课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考安徽卷)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0解析：根据函数的图像可知，该函数先增再减，再增，且极值点都大于0，函数图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上．法一：由图像知f (0)＝d ＞0.因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不相等的正实根，所以a ＞0，－2b 6a ＝－b3a＞0，所以b ＜0.又f ′(0)＝c ＞0，所以a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0.法二：由图像知f (0)＝d ＞0，首先排除选项D ；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，令x 1＜x 2，因为x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，所以a ＞0，排除C ；又c ＝3ax 1x 2＞0,2b ＝－3a (x 1＋x 2)＜0，所以c ＞0，b＜0，故选A.答案：A2．(2016·河南豫西名校联考)下面四个图像中，有一个函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13C.53D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图像开口向上．根据图像分析，若图像不过原点，则a ＝0，f (－1)＝53；若图像过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.答案：D3．(2016·上海闸北4月模拟)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′x≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：当x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )递减，当x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值f (1)，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，则f (0)＋f (2)>2f (1)，故选A.答案：A4．设命题p ：f (x )＝ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q ：m ≥－5，则p 是q 的________条件．解析：f (x )＝ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)上是增加的，可知在(0，＋∞)上f ′(x )＝1x ＋4x ＋m ≥0成立，而当x ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x min ＝4，故只需要4＋m ≥0，即m ≥－4即可．故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要5．(2016·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为__________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－46．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， ∴由f ′(x )＝0得x 1＝－a ，x 2＝a (a >0)．根据x 1，x 2列表分析f ′(x )的符号和f (x )的单调性和极值点.x (－∞，－a )－a (－a ，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )极大值极小值当x ＝a 时，f (x )取极小值－2a 3＋a 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＋a >0，－2a 3＋a <0，a >0，∴a >22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 7．(2016·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22即可， 所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．8．(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．[B 级 能力突破]1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：利用f ′(x )＝3ax 2－6x ，结合题意，可利用特殊值法求解．f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图像如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图像如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除D. 答案：B2．(2016·四川德阳四校测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋k 1－a 2，x ≥0，x 2＋a 2－4a x ＋3－a2，x <0，其中a ∈R ，若对任意非零实数x 1，存在唯一实数x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数k 的最小值为( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解析：由数形结合讨论知f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，且在x ＝0处连续，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－a 2－4a2≥0，k 1－a 2＝3－a2等价于⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤4，k ＝3－a21－a 2>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <1，k ＝3－a 21－a 2.令g (a )＝3－a21－a2，则g (a )＝10－6a1－a2－1(0≤a <1)且g ′(a )＝－23a －1a －31－a 22(0≤a <1)，∴g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1上递增，即k min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8.答案：D3．已知函数f (x )＝x 33＋12ax 2＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)，f (x 2)，若x 1，x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a 的取值范围是( )A ．(－4，－2)B ．(－∞，2)∪(7，＋∞)C ．(2,7)D ．(－5，－2)解析：由题意，求导可得f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝2b >0，f ′1＝1＋a ＋2b <0，f ′2＝4＋2a ＋2b >0，所以a ，b 满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b －2a 在B (－1,0)处取值为2，在C (－3，1)处取值为7，所以b －2a 的取值范围是(2,7)．答案：C4．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为________．解析：y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＝π6，则x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′>0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′<0，故函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上递减，所以当x ＝π6时，函数取得最大值，为π6＋ 3.答案：π6＋ 35．(2015·高考陕西卷)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为__________． 解析：由y ＝x e x 可得y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，从而可得y ＝x e x在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x ＝－1时，y ＝e x取得极小值－e －1，因为y ′|x ＝－1＝0，故切线方程为y ＝－e －1，即y ＝－1e.答案：y ＝－1e6．(2016·天津模拟)函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. 因为函数f (x )有极大值又有极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.答案：a >2或a <－17．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．解：(1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax x ＋r2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2rx 2＋2rx ＋r 22＝a r －x x ＋rx ＋r 4，所以当x ＜－r 或x ＞r 时，f ′(x )＜0；当－r ＜x ＜r 时，f ′(x )＞0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，又r ＞0，则f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减．因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar 2r2＝a4r＝4004＝100无极小值．。

2019年高考数学基本初等函数、导数及其应用复习指导第一节函数及其表示教材细梳理1．函数与映射函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：自变量x的取值范围．(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．[易错易混]函数的定义域必须写成集合或区间的形式，不能直接用不等式表示．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[易错易混]1．分段函数是一个函数，切不可把它看作几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式．2．分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集”，不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆．知识微思考1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (3)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (5)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( ) (6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(7)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．函数定义中的集合B 与函数的值域有什么关系？提示：函数的值域C ：{y |y ＝f (x )，x ∈A }是集合B 的子集．即C ⊆B .四基精演练1．(必修1·1.2例(1)改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.2．(必修1·习题1.2B 组改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B.选项A ，定义域为{x |－2≤x ≤0}，不正确．选项C ，当x 在(－2,2]取值时，y 有两个值和x 对应，不符合函数的概念．选项D ，值域为[0,1]，不正确，选项B 正确．3．(必修1·1.2例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 5．(实践题)(教材习题改编)一个圆柱形容器的底面半径是Rcm ，高是h cm ，现在以v cm 2/s 的速度向容器内注入某溶液，则容器内溶液的高度x (cm)和注入溶液的时间t (s)的函数解析式为________，其定义域为________．答案：x ＝v πR 2t ，⎣⎡⎦⎤0，πR 2h v考点一 求函数的定义域[简单型]——提升数学运算能力函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． 3．抽象函数：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [易错提醒]1．不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1．(2018·山东临沂模拟)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意知，x 2－x ＞0，即x ＜0或x ＞1.则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.2．(2017·贵州贵阳监测)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选 D.由函数y ＝1－x 22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1，故选D.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 019]，可知1≤t ≤2 019.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2018]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 018，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 018.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 018]．考点二 求函数的解析式[探究型]——提升数学运算能力[例1] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. 解析：法一(换元法)： 令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5 ＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9. 法三(待定系数法)： 因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. 答案：x 2－5x ＋9(2)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)(3)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)[母题变式]1．若本例(1)中条件变为f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.解析：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：x 2－1(x ≥1)2．若本例(2)中条件变为2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x ， 即f (x )的解析式是f (x )＝3x . 答案：3x求函数解析式的常见方法1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，由题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．2．换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．3．转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．4．消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的方程式，可根据已知条件再构造出另一个方程式构成方程组求出f (x )．考点三 分段函数[高频型]——提升数学运算、发展逻辑推理[例2] (2018·陕西师大附中模拟)若函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：依题意，f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)，又2＞0，所以f (2)＝f (2－1)－f (2－2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)，又f (0)＝log 2(4－0)＝2，所以f (3)＝－f (0)＝－2. 答案：B[例3] (2016·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110， 则－12＋a ＝110，解得a ＝35，于是f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－251．求分段函数的函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量是否满足相应段自变量的取值范围．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D.当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.2．(2018·山东烟台二模)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.发展数学建模、数学运算(应用型)模型 求解与分段函数有关的不等式分段函数与函数性质，不等式的交汇是高考的热点．求分段函数自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．[例4] (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＜0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2. 答案：(－∞，2](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1，＋∞)解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24， 显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B.当a ＝23时，f ⎝⎛⎭⎫23＝3×23－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝21＝2.显然f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝2f ⎝⎛⎭⎫23.故排除D.选C.答案：C课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：选D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1. 3．(2018·山西太原二模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1eD ．－1解析：选B.法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.4．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2解析：选B.根据题意知x ＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 5．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C.显然选项A ，D 满足，对于选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，也满足；对于选项C ，令x ＝3，则f (2x )＝f (6)＝7,2f (x )＝2f (3)＝2(3＋1)＝8，故函数f (x )＝x ＋1不满足f (2x )＝2f (x )．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34D ．12解析：选D.根据分段函数的定义域赋值得到关于b 的方程，求解可得．f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2５２－b ＝4，解得b ＝12.7．(2018·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝ f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52. 故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， 所以f (a )＝1，当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，∵0＜a 2＜1，∴0＜πa 2＜π，∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1. 答案：1或－229．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3. 综上，实数a 的取值范围是[0,3)． 答案：[0,3)10．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是______________．解析：由图象知，函数y ＝f (x )的图象包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]B 级 能力升级练(20分钟，30分)1．(2018·山东潍坊调研)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D.∵c A＝15，故A ＞4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解析：选B.当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1， 所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1⊆[－8,1]，－8≤－12a ＜－1. 即－3≤a ＜0.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，(－1≤x ＜0)，－x ＋1，(0＜x ≤1)，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0,1] C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.⎣⎡⎦⎤－1，－12∪(0,1) 解析：选B.①当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1， 此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x －2＞－1， 解得x ＜－12，则－1≤x ＜－12.②当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x ＋2＞－1， 解得x ＜32，则0＜x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0,1]． 4．(2018·陕西西安模拟)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )＞M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( )A ．2B ．1 C. 2D ．－ 2解析：选B.由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1，因此当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2；当－1＜x ＜1时，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，选B.5．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．答案：56．(2018·吉林四地联考)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是________．解析：∵0≤x 0＜12，∴f (x 0)＝x 0＋12∈⎣⎡⎭⎫12，1B ，∴f [f (x 0)]＝2(1－f (x 0))＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 0＋12 ＝2⎝⎛⎭⎫12－x 0.∵f [f (x 0)]∈A ，∴0≤2⎝⎛⎭⎫12－x 0＜12. ∴14＜x 0≤12， 又∵0≤x 0＜12，故14＜x 0＜12.答案：14＜x 0＜12第二节 函数的单调性与最值教材细梳理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义[易错易混] 从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y ＝x 2，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0]时是减函数．(2)函数单调性的常用结论①若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； ②若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； ③函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； ④函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 2．函数的最值1．下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√2．“函数f (x )的单调区间”与“函数f (x )在某区间上单调”的区别是什么？提示：前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 3．在最大值、最小值的定义中，条件(2)能否去掉？为什么？提示：不能，因为去掉后不能保证M 是一个函数值，即存在一个x 0∈I ，使M ＝f (x 0)，最大值、最小值必须是函数值中的最大值、最小值．四基精演练1．(必修1·习题1.3A 组改编)一次函数y ＝kx ＋b 在R 上是增函数，则k 的范围为( ) A ．k ＞0 B ．k ≥0 C ．k ＜0 D ．k ≤0答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 解析：选D.由x 2－2x －8＞0可得x ＞4或x ＜－2， 所以x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令u ＝x 2－2x －8，则其在x ∈(－∞，－2)上单调递减，在x ∈(4，＋∞)上单调递增．又因为y ＝ln u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增， 所以y ＝ln(x 2－2x －8)在x ∈(4，＋∞)上单调递增．3．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D.选项A 中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项D 符合题意．4．(必修1·习题1.3探究改编)若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：45．(实践题)(教材例题改编)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系式为h (t )＝－t 2＋4t ＋7，那么烟花冲出后________s 是它爆裂的最值时刻．答案：2考点一 利用单调性求最值[简单型]——发展数学运算求函数最值的常用方法1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：22．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.答案：25考点二 确定函数的单调性(区间)[探究型]——直观想象、逻辑推理[例1] (1)函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的递减区间为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．答案：[－1,0]和[1，＋∞)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单|调递增． [母题变式]1．将本例(1)中函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解析：作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．答案：(－∞，1－2)和(1,1＋2)2．若本例(2)中函数变为f (x )＝axx －1(a ≠0)，试判断f (x )在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1， 所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导数法)：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2， 当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上递增．1．判断函数的单调性应先求定义域．2．定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等．3．用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．4．图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．1．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析：函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数，且f (x )＝lg x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2lg x ，x ＞0，2lg (－x )，x ＜0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)2．(2018·湖南长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C.由f (x )＞12，得－1＜x ＜1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．考点三 函数单调性的应用[高频型]——发展逻辑推理、提升数学运算[例2] (2018·江西三校联考)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0， ∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)＜f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0， 即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0. 答案：B[例3] (2018·青海西宁高三期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]1．利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只需比较自变量的大小，根据单调性比较函数值大小．2．求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．提醒：应注意g (x )，h (x )应在函数y ＝f (x )的定义域内． 3．根据函数的单调性求参数的取值范围的常用方法(1)数形结合法：将函数的单调性转化为函数图象的升(降)，再转化为其参数满足的不等式(组)进而求解．(2)导数法：将函数的单调性转化为导函数在某单调区间上恒正(负)问题求解．3．已知偶函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A.因为f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13，故|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23. 4．(2018·山东日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．( 0,1]解析：选D.由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0，故0＜a ≤1.故选D.发展数学建模、数学运算(创新型)模型 单调性与抽象函数的创新交汇研究抽象函数的单调性主要利用定义来完成，但变形有一定的技巧性，在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．[例4] 函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)＜2.解：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∵当x ＞0时，f (x )＞1，∴f (x 2－x 1)＞1. f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1＞0⇒f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)＜2＝f (1)， ∵f (x )在R 上为增函数， ∴a 2＋a －5＜1⇒－3＜a ＜2， 即a ∈(－3,2)．课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·河北唐山模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝x 13C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x解析：选 D.y ＝log 2x在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x在(0,1)上是减函数．故选D.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0) C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．3．(2018·湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x ＜1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12的值域为( )A ．(－∞，1)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选C.因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，即1x 2＋1∈(0,1]，故y ＝⎝⎛⎭⎫12∈⎣⎡⎭⎫12，1.5．(2018·山东青岛二模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.如图所示，在同一直角坐标系中分别作出y ＝x ＋2，y ＝2x ，y ＝10－x 的图象．根据f (x )的定义知，f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象(如图实线部分)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤2，x ＋2，2＜x ＜4，10－x ，x ≥4.令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.6．(2018·广东深圳质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＜f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象，如图，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.7．(2018·曲师附中月考)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B.∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .8．(2018·厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)是区间[－1,1]上的减函数，∴最大值为f (－1)＝3.答案：39．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1， 由题意知，a －1≥2，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)B 级 能力升级练(25分钟，30分)1．(2018·山师附中质检)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A.画出y ＝|2x －1|图象如图，易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意有m ≤0，故选A.2．(2018·株洲二模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．(2018·长春二模)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选B.因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f (x (x －8))≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.4．(2018·潍坊二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0)解析：选A.作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.故选A.5．(2018·威海模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 解析：因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.答案：①③6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，(x ≤0)2ax －1，(x ＞0)(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________．解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误； 若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 答案：①③④第三节 函数的奇偶性与周期性教材细梳理1．函数的奇偶性(1)实质是函数在关于原点对称的两个自变量处函数值的关系，具体为：间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．利用这些性质可以简化或判断一些函数图象的画法．(2)掌握常见函数的奇偶性．如一次函数、二次函数、指数函数、对称函数、正弦函数、余弦函数等．[易错易混] f (0)＝0既不是f (x )为奇函数的充分条件，也不是必要条件． 2．函数的周期性(1)周期函数：对于定义域中任意的x 和一个非零常数T ，f (x ＋T )＝f (x )恒成立⇔f (x )是以T 为周期的周期函数．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期(若不特别说明，T 一般都是最小正周期)．3．函数图象的对称性(1)函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )⇔y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称． (2)函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称．知识微思考1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (5)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√2．函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )与函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )含义相同吗？为什么？提示：f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (a ＋b －x )＝f (x )表明f (x )的图象关于x ＝a ＋b 2对称，而f (a ＋x )＝f (b ＋x )⇔f (a －b ＋x )＝f (x )．表明f (x )具有周期性，它的一个周期为a －b .四基精演练1．(必修1·习题1.3A 组改编)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析：如图所示，由f (x )为奇函数知：f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)2．(必修1·习题1.3A 组改编)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：依题意，得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：－123．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：函数的周期是2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝ f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：14．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递减函数，且为奇函数，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以原不等式可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，则－1≤x －2≤1，即1≤x ≤3，故选D.5．(实践题)(必修1·习题1.3B 组T 3改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则f (x )在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3解析：选B.根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.考点一 函数的奇偶性及应用[简单型]——发展逻辑推理判断函数奇偶性的方法1．定义法：首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数．2．图象法：观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选D.根据函数奇偶性的定义，易知函数y ＝1＋x 2，y ＝2x ＋12x 为偶函数，y ＝x＋1x为奇函数，所以排除选项A ，B ，C.故选D. 2．(2018·河北衡水中学二调)已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D.设F (x )＝f (x )＋x ，由已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，得F (x )＝F (－x )，即f (x )＋x ＝f (－x )－x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，∴f (－2)＝f (2)＋2×2＝5.3．(2018·山东聊城二模)与函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫12－12x ＋1的奇偶性相同的函数为( )A ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)B ．y ＝lg 1－x1＋xC ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ＞0，－x (1＋x )，x ＜0D ．y ＝cos x解析：选D.设f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12x ＋1＝x 2·2x－12x ＋1，则f (－x )＝－x 2·2－x－12－x ＋1＝－x 2·1－2x1＋2x ＝x 2·2x－12x ＋1＝f (x )，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12x ＋1是偶函数，易知选项A ，B ，C 中的函数都是奇函数，而y ＝cos x是偶函数，故选D.考点二 函数的周期性及应用[探究型]——发展数学运算[例1] (1)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋4)＝f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (2 019)＝________.解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(－1＋4×505)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[母题变式]1．若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x∈[2,4])的解析式是________．解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.答案：f(x)＝x2－6x＋82．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f (－2 017)＋f (2 019)＝0. 答案：01．利用周期f (x ＋T )＝f (x )将不在解析式范围之内的x 通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．2．判断函数周期性的几个常用结论．(1)f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )为周期函数，周期T ＝2|a |.(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(3)f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期．考点三 函数性质的综合应用[高频型]——发展数学运算、逻辑推理[例2] 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1m，b ＝(ln m )2，c ＝ln m ，其中m ＞e ，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )解析：根据已知条件知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，|a |＝ln m ＞1，b ＝(ln m )2＞|a |,0＜c ＝12ln m ＜|a |，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：C[例3] (2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：当x ＞12时，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝ －[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案：D。

第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.13 导数的应用与定积分课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e xd x＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.答案：B2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ， 0≤x ≤390，90 090， x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 答案：D3．(2016·黄冈模拟)曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2－ln 2B ．4－2ln 2C ．4－ln 2D ．2ln 2解析：y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xy ＝x －1得在第一象限的交点为(2,1)，故所求面积为⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －2ln x 42＝4－2ln 2. 答案：B4．(2015·高考湖南卷)⎠⎛02(x －1)d x ＝__________.解析：2(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.答案：05．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝x －1x >0.x >0，得x >1，⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：126．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为____________米时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，一边长为(x ＋0.5)米，另一边长为14.8－(4x ＋4x ＋2)＝3.2－2x (米) 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解15x 2－11x －4＝0，得x ＝1，x ＝－415(舍去)．答案：17．(2016·宁夏银川质检)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝x －ax(x >0)， 且f (x )在x ＝2处的切线方程y ＝x ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以a ≤1.8．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)记一星期多卖商品kx 2件，若记商品在一个星期的获利为f (x )， 则f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 又由条件可知24＝k ·22，解得k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12).故，所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．[B 级 能力突破]1．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：直接求解定积分，再利用方程思想求解． ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f xx 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解析：∵f (0)＝－1＋a ＜0，∴x 0＝0. 又∵x 0＝0是唯一的使f (x )＜0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×－1－1]＋a ＋a ≥0，e 2×1－1－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a ＜1，∴32e ≤a ＜1，经检验a ＝34，符合题意．故选D. 答案：D3．(2016·郑州质检)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：因为0<x <π2，f (x )<f ′(x )tan x ，所以f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫f x sin x ′＝f ′x sin x －f x cos x sin 2x >0，所以y ＝f x sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π332，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选D. 答案：D4．(2016·北京市东城区高三检测)图中阴影部分的面积等于________．解析：所求面积为⎠⎛013x 2d x ＝x 310＝1.答案：15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销售Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 00(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元． 答案：30 23 0006．(2016·大庆质检)已知函数f (x )＝a (x 2－1)－x ln x . (1)若F (x )＝f ′(x )，当a ＝12时，求F (x )的单调区间；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12(x 2－1)－x ln x ，∵F (x )＝f ′(x )＝x －ln x －1.∴F ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令F ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，函数F (x )是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，函数F (x )是增函数．∴F (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝2ax －ln x －1，由(1)知F (x )min ＝F (1)＝0， ①若a >12，则f ′(x )＝(2a －1)x ＋(x －ln x －1)>0，f (x )是增函数；若a ＝12，则f ′(x )＝x －ln x －1≥0.∴当a ≥12时，f (x )≥f (1)＝0，不等式恒成立．②若0<a <12，设h (x )＝2ax －ln x －1，则h ′(x )＝2a －1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，h ′(x )<0，函数h (x )是减函数，则f ′(x )＝h (x )<h (1)＝2a －1<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上是减函数，这时f (x )<f (1)＝0，不等式不成立．③若a ≤0，则当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 此时f (x )<f (1)＝0，不等式不成立．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

数学高考复习基本初等函数专题强化练习（附答案）初等函数包括代数函数和逾越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生温习数学有协助。

1.(文)(2021江西文，4)函数f(x)=(aR)，假定f[f(-1)]=1，那么a=()A. -1B.-2C.1D.2[答案] A[解析] f(-1)=2-(-1)=2，f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.(理)(2021新课标理，5)设函数f(x)=那么f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12[答案] C[解析] 考察分段函数.由得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，应选C.2.(2021哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，那么满足f(x)=27的x的值是()A. B.C. D.[答案] B[解析] 设f(x)=x，那么-=(-2)，=-3，f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.3.(文)命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.那么在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是()A.q1，q3B.q2，q3C.q1，q4D.q2，q4[答案] C[解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数，y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，应选C.[点拨] 1.由指数函数的性质首先判别命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假.2.考察指、对函数的单调性是这一局部高考命题的主要考察方式之一.经常是判别单调性;单调性讨论参数值或取值范围;依据单调性比拟数的大小等.(理)实数a、b，那么2a2b是log2alog2b的()A.充沛不用要条件B.必要不充沛条件C.充要条件D.既不充沛也不用要条件[答案] B[解析] 由y=2x为增函数知，2ab;由y=log2x在(0，+)上为增函数知，log2alog2ba0，a/ a0，但a0ab，应选B.4.(文)(2021湖南理，5)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，那么f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案] A[解析] 考察函数的性质.由得-10，a1，xR)叫指数函数函数y=logax(a0，a1，x0)叫对数函数值域 (0，+) (-，+) 图象性质 (1)y(2)图象恒过点(0,1);(3)a1，当x0时，y当x0时，00时，01;(4)a1，在R上y=ax为增函数;00;(2)图象恒过点(1,0);(3)a1，当x1时，y当01时，y当00;(4)a1，在(0，+)上y=logax为增函数;0f(x)g(x)，且f(x)=axg(x)(a0，且a1)，+=.假定数列{}的前n项和大于62，那么n的最小值为()A.6B.7C.8D.9[答案] A[思绪剖析] 经过审题可以发现，标题中多处触及的方式，x=1时，即，x=-1时，即，x=n时，即，又=ax，故这是解题的切入点，结构函数F(x)=，那么效果迎刃而解.[解析] 令F(x)=，那么F(x)=ax，F(x)=0，F(x)单调递增，a1.∵F(1)+F(-1)=+==a+，a=2，F(x)=2x，{F(n)}的前n项和Sn=21+22++2n==2n+1-262，2n+164，n+16，n5，n的最小值为6.7.以下函数图象中不正确的选项是()[答案] D[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，故C正确.y=log2|x|=是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误. 8.(文)假定存在正数x使2x(x-a)1成立，那么a的取值范围是()A.(-，+)B.(-2，+)C.(0，+)D.(-1，+)[答案] D[解析] 由题意得，ax-()x (x0)，令f(x)=x-()x，那么f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)f(0)=-1，a-1，应选D.(理)定义在R上的偶函数f(x)在[0，+)上是增函数，且f()=0，那么不等式f(logx)0的解集是()A.(0，)B.(2，+)C.(0，)(2，+)D.(，1)(2，+)[答案] C[解析] 解法1：偶函数f(x)在[0，+)上为增函数，f(x)在(-，0)上为减函数，又f()=0，f(-)=0，由f(logx)0得，logx或logx-，02，应选C.解法2：f(x)为偶函数，f(logx)0化为f(|logx|)0，f(x)在[0，+)上为增函数，f()=0，|logx|，|log8x|，log8x 或log8x-，x2或01，那么g(x)=x+lnx1，00且a1)的图象恒过点(0，-2);命题q：函数f(x)=lg|x|(x0)有两个零点.那么以下说法正确的选项是()A.p或q是真命题B.p且q是真命题C.p为假命题D.q为真命题[答案] A[解析] f(0)=a0-2=-1，p为假命题;令lg|x|=0得，|x|=1，x=1，故q为真命题，pq为真，pq为假，p为真，q为假，应选A.(理)函数f(x)=(其中aR)，函数g(x)=f[f(x)]+1.以下关于函数g(x)的零点个数的判别，正确的选项是()A.当a0时，有4个零点;当a0时，有2个零点，当a=0时，有有数个零点B.当a0时，有4个零点;当a0时，有3个零点，当a=0时，有2个零点C.当a0时，有2个零点;当a0时，有1个零点D.当a0时，有2个零点;当a=0时，有1个零点[答案] A[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可扫除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，对恣意x0，有f(x)=，故a=0时，g(x)有有数个零点.11.(文)(2021中原名校第二次联考)函数y=f(x+)为定义在R 上的偶函数，且当x时，f(x)=()x+sinx，那么以下选项正确的选项是()A.f(3)f(f(3)，f(2)f(3)，应选A.(理)函数f(x)=x3+ax2+bx+c，以下结论中错误的选项是()A.x0R，f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.假定x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(-，x0)单调递减D.假定x0是f(x)的极值点，那么f (x0)=0[答案] C[解析] 由题意得，f(x)=3x2+2ax+b，该函数图象启齿向上，假定x0为极小值点，如图，f(x)的图象应为：故f(x)在区间(-，x0)不单调递减，C错，应选C.12.如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，假定AC 恰恰平行于y轴，那么点A的坐标为()A.(log94,4)B.(log92,2)C.(log34,4)D.(log32,2)[答案] D[解析] 此题考察指数函数的图象与性质，难度中等.设A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，那么C(x1,3x2)在函数y=9x的图象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .又O，A，B共线，所以= ，联立解得x1=log32，故点A的坐标为(log32,2)，应选D.[易错剖析] 此题易犯两个错误：一是不能将直线与指数函数图象相交于A，B两点转化为OA，OB的斜率相等;二是不能运用指数的运算法那么求解.普通地，解指数方程时，将方程两边化为同底，或许应用指数式化为对数式的方法求解.二、填空题13.(文)函数f(x)=在区间[-1，m]上的最大值是1，那么m 的取值范围是________.[答案] (-1,1][解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上为减函数，在[-1,0]上f(x)的最大值为f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上为增函数，在[0，m]上f(x)的最大值为，f(x)在区间[-1，m]上的最大值为1，或-11，那么m的取值范围是________.[答案] (-，0)(2，+)[解析] 当m0时，由f(m)1得，log3(m+1)1，m+13，m当m0时，由f(m)1得，3-m1.-m0，m0.综上知m0或m2.16.(文)函数f(x)=假定函数g(x)=f(x)-m有3个零点，那么实数m的取值范围是________.[答案] (0,1)[解析] 函数f(x)的图象如下图：当0a-7对一切正整数n都成立，那么正整数a的最大值为________.[剖析] 要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式+++的最小值，可将其视为关于n的函数，经过单调性求解.[解析] 令f(n)=+++(nN*)，对恣意的nN*，f(n+1)-f(n)=++-=0，所以f(n)在N*上是增函数.又f(1)=，对一切正整数n，f(n)a-7都成立的充要条件是a-7，所以a，故所求正整数a的最大值是8.[点拨] 此题是结构函数法解题的很好的例证.假设对数列求和，那就会悬崖勒马.此题结构函数f(n)，经过单调性求其最小值处置了不等式恒成立的效果.应用函数思想解题必需从不等式或等式中结构出函数关系并研讨其性质，才干使解题思绪灵敏变通.基本初等函数专题强化练习及答案的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生关注查字典数学网。

51∴log a b ＝2 或2.∵ a> b>1，∴ log a b<log a a ＝答案】 4； 22020 年高考数学（理）总复习：基本初等函数性质及应用题型一 求函数值 题型要点解析】 已知函数的解析式， 求函数值， 常用代入法， 代入时，一定要注意函数的对应法则与自 变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． －1 例 1．若函数 f （x ）＝ a |2x －4|（a>0，且 a ≠1），满足 f （1）＝ 19，则 f （x ）的单调递减区间是 （ ）A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ ）C ．[ －2，＋∞ ）D ． （－∞，－ 2] 解析】 由 f （1）＝ 91，得 a 2＝ 19，解得 a ＝ 31或 a ＝－ 31（舍去 ），即 f （x ）＝ 9 9 3 3 1 2 x 41 由于 y 3＝|2x －4|在（－∞ ，2]上递减，在 [2，＋∞）上递增，所以 f （x ）在（－∞，2]上递增，在 [2，＋∞） 上递减． 答案】 B 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ， x ≥ 0， 例 2．已知函数 f （x ）＝ 若 f （x －1）<f （2x ＋1），则 x 的取值范 3x 2＋ln 1＋x 2－x ， x<0， 围为 若 x>0，则－ x<0，f （－x ）＝3（－x ）2＋ln （ 1＋ －x 2＋x ）＝3x 2＋ln （ 1＋x 2＋x ） ＝f （x ），同理可得， x<0 时， f （ － x ） ＝ f （x ），且 x ＝0 时，f （0）＝f （0），所以 f （x ）是偶函数．因为当 解析】 x>0时，函数 f （x ）单调递增，所以不等式 f （x －1）<f （2x ＋1）等价于 |x － 1|<|2x ＋1|，整理得 x （x ＋ 2)>0 ，解得 x>0 或 x<－2. 答案】 （－∞，－ 2）∪ （0，＋∞ ） 例 3 ．已知 5a>b>1，若 log a b ＋ log b a ＝2， a b ＝ b a ，则 a＝，b ＝1∵logab ＋log b a ＝ log a b ＋ logab 2解析】题组训练一求函数值1．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间［0，＋∞ )单调递增．若实数 a 满足1 f(log2 a)＋f (log2a)≤2f(1)，则 a 的最小值是( )A.32B． 11C.I2D． 211【解析】log 2a＝－log 2a，f (log 2 a)＋f (log 2 a)≤2f(1)，所以2f(log2 a)≤2f(1)，所以|log211a|≤1，解得12≤a≤2，所以 a 的最小值是21，故选 C.【答案】C－12．若函数f(x)＝a x－2－2a(a>0，a≠ 1)的图象恒过定点x0, ，则函数f(x)在［0,3］上的最3小值等于 ______ ．【解析】令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1－2a)，1 1 －2因此x0＝2，a＝31，于是f(x)＝13x－2－32，f(x)在R 上单调递减，故函数f(x)在［0,3］上的最小1 值为f(3) ＝－3.I 【答案】－13题型二比较函数值大小【题型要点解析】三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1) 底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2) 底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3) 底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图即 b>c>1；设 f(x)＝x 3－3x ，则 f(3)＝0，∴x ＝3 是 f(x)的零点， ∵f ′(x)＝3x 2－3x · ln ，3∴f ′(3)＝27 － 27ln 3<0，f ′(4)＝48－81ln 3<0，∴函数 f(x)在(3,4)上是单调减函数， ∴ f( π)f<(3) ＝0， π3<3π，∴ a<b ；又∵ e π<πe <π3，∴ c<a ；综上 b>a>c.故选 D.答案】象比较大小．例 1 ．已知 a ＝b ＝c ＝125，则 ( )A ． a<b<cB ． b<c<aC ．c<b<aD ． b<a<c解析】 因为 a ＝243，245， c ＝1 25253，显然有 b<a ，又 a22＝43<53＝c ， 故 b<a<c.答案】例 2 ．已知 a ＝ π3，b ＝ 3π，c ＝ e π， 则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ( A ． a>b>c B ．a>c>b C ．b>c>aD ． b>a>c解析】a ＝ π3，b ＝ 3π，c ＝ e π，∴函数 y ＝x π是 R 上的增函数，且 3>e>1，∴ 3π>e π， ∴π3－3π<0，即题组训练二 比较函数值大小1．若 a>b>1,0<c<1，则 ( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．alog b c<blog a cD ． log a c<log b c解析】 对 A ：由于 0<c<1， ∴函数 y ＝x c 在 R 上单调递增，则 a>b>1? a c >b c ，A 错误；对 B ：由于－ 1<c － 1<0，∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞ )上单调递减，又∴ a>b>1，∴a c －1<b c 1? ba c <ab c，B 错误；对 C ：要比较aln c bln c ln c alogb c 和 blog a c ，只需比较 ln b和ln a，只需比较bln bln c和，只需bln b 和aln a；构造函数f(x)＝xln x(x>1)，则f′(x)＝ln x＋1>1>0 ，f( x)在(1，aln a11＋∞ )上单调递增，因此f(a)>f(b)>0? aln a>bln b>0? aln a<bln b，又由0<c<1 得ln c<0，∴ ln c ln c ln c ln caln a>bln b? blog a c>alog b c，C 正确；对D：要比较log a c 和log b c，只需比较ln a和ln b，而函11数y＝ln x在(1，＋∞ )上单调递增，故a>b>1? ln a>ln b>0? ln a<ln b，又由0<c<1得ln c<0，∴l ln n c a>l l n n c b? log a c>log b c，D 错误．故选 C.【答案】C2．设函数f(x)＝e x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )A ．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0【解析】依题意，f(0) ＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1.g(1)＝－3<0，g(2)＝ln 2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，选 A.【答案】A题型三求参数的取值范围【题型要点解析】利用指、对数函数的图象与性质可以求解的两类热点问题及其注意点(1) 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时、常利用数形结合思想求解．(2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(3) 注意点：利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式问题时切记图象的范围、形状一定要准确，否则数形结合时将误解．对于含参数的指数、指数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论．解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．1<2.故选 C.答案】 C题组训练三 求参数的取值范围－ x ＋ 6， x ≤ 2， 例 1 ．若函数 f(x)＝ 3＋log a x ，x>2(a>0，且 a ≠1)的值域是 [4，＋∞ )，则实数 a 的取值范围是 ______ ．【解析】 当 x ≤2 时， f(x)＝－x ＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴ f(x)∈[4＋∞)．当x>2 时，若 a ∈ (0,1) ，则 f(x)＝3＋log a x 在(2，＋ ∞ )上为减函数， f(x)∈(－∞，3＋ log a 2)，显1－ 2a x ＋ 3a ，x <1，例 1．已知 f(x)＝ln x ， x ≥ 1的值域为 R ，那么 a 的取值范围是 ( )A ． (－∞，－ 1]B.1,12C. 1,12D.0,12解析】 要使函数 f(x)的值域为 R ，需使1－2a >0，1a <2，ln 1≤ 1－ 2a ＋ 3a ，∴－ 1 ≤ aa ≥－1，例2．设函数 f(x)＝ x ＋x1， x ≤ 0，2x，x>0，则满足f(x)＋f x 1>1的 x 的取值范围是 2解析】 1由题意， 当 x> 21时，f (x)＋ f111＝2x ＋2x － >1 恒成立， 即 x> 满足题意；1当 0<x ≤12时，11 1 f(x)＋f x＝2x ＋x － ＋ 1>1 恒成立，即 0<x ≤ 满足题意；当 x ≤0 时，222f(x)＋ f x 12 1 1 1 1＝x ＋1＋x －2＋1>1，解得 x>－4，即－ 4<x ≤0.综上，x 的取值范围是 ,答案】1, 4答案】 C示不满足题意，∴ a>1，此时 f （x ）在 （2，＋∞）上为增函数， f （x ）∈（3＋log a 2，＋∞ ），由题意可 知（3＋log a 2，＋ ∞）? [4 ，＋ ∞ ），则 3＋log a 2≥ 4，即 log a 2≥1，∴1<a ≤2.答案】 （1,2]21 x2－ 2x ＋a ，x<2， 4x －3，x ≥12a ≥ － 1.分离参数得 a ≥－x 2＋2x －1＝－ （x － 1）2，函数 y ＝－（x －1）2开口向下，且对称轴为 x11＝ 1，故在, 上单调递增，所以函数在 x ＝ 处有最大值，最大值为－221即 a ≥－ 1.4答案】专题训练】 、选择题1．定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （－x ）＝－ f （x ），f （x －2）＝f （x ＋2），且 x ∈（ － 1,0）时， f （x ）1＝2x ＋ 5，则 f （log 220）等于 （ ）A ．14 C ．－ 1 D ．－ 5【解析】 由 f(x － 2)＝ f(x ＋2)，得 f(x)＝f(x ＋4)，因为 4<log 220<5 ，所以 f(log 220)＝f(log 2204 4 1－4)＝－ f(4－log 220)＝－f(log 2 5)＝－ (2log 25＋ 5)＝－ 1.例 2．设函数 f （x ） ＝的最小值为－ 1，则实数 a 的取值范围是解析】1当 x ≥21时， 4x －3 为增函数，最小值为11f ＝－ 1，故当 x< 时， x 2－ 2x ＋22 21， ＝－ 4，42．定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有<0，则下列结论正确的是( )A．f(0.32)<f(20.3)<f(log 25)B．f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C．f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D．f(0.32)<f(log 25)<f(20.3)【解析】∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，f x1 － f x2 且x1≠ x2，都有<0 ，x1－x2∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵ f(x)是R 上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∵ 0<0.32 <20.3<log 25，∴ f(0.32)<f(20.3)<f(log25)．故选 A.【答案】A1 3．已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3] 时，f(x)＝log2(x－1)，则f等于3()A ．2－log23B ．log23－log 27C．log 27－log 23 D．log23－ 2【解析】因为f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x) ，所以f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，1 1 5所以 f 1＝ f 2 1＝f53 3 3f x1 － f x23答案】 A又当 x ∈[2,3]时， f(x)＝ log 2(x － 1)，1所以 f＝log 23－ 2，故选 D.3【答案】 D14．已知函数 y ＝ f( x)是 R 上的偶函数，设 a ＝ln π， b ＝(ln π2 3)， c ＝ ln π，当对任意的 x 1，x 2∈(0，＋∞ )时，都有 (x 1－x 2) ·f ([x 1)－ f (x 2)]<0 ，则 ( )A ．f(a)>f(b)>f(c)B ．f(b)>f(a)>f(c)C ．f(c)>f(b)>f(a)D ． f(c)>f(a)>f(b)【解析】 由 (x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0 可知，f x 1 － f x 2－x <0，所以 y ＝f(x)在(0，＋ ∞ )上单调递减．又因为函数 y ＝ f(x)是 R 上的偶函 x 1 －2＝2ln π，所以 |b|>|a|>|c|，因此 f(c)>f(a)>f(b)，故选 D.【答案】 D5．已知函数 y ＝ f( x)的图象关于 y 轴对称，且当 x ∈ ( －∞， 0)时，f(x)＋xf ′(x)<0 成立， a ＝ (20.2 ) ·f(20.2)， b ＝ (log π3) ·f(log π3)， c ＝ (log 39) ·f(log 39)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． b>a>cB ． c>a>bC ．c>b>aD ． a>c>b【解析】 因为函数 y ＝f(x)关于 y 轴对称， 所以函数 y ＝xf(x)为奇函数． 因为 [xf(x)]′＝f(x)＋ xf ′ ( x)，且当 x ∈(－∞，0)时， [xf(x)]′＝f(x)＋xf ′ (x)<0，则函数 y ＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；因为 y ＝ xf (x)为奇函数，所以当 x ∈ (0，＋ ∞ )时，函数 y ＝ xf( x)单调递减．因为 1<20.2<2,0<log π3<1， log 39＝2，所以 0<log π3<20.2<log 39，所以 b>a>c ，选 A.所以 f 7 ＝ log 2 733 41 ＝log 23＝2－ log 23，x21数，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，由于a＝ln ＝－ln π<－1，b＝(ln π) 2，c＝ln π π答案】A6．设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c 大小关系正确的是( )A ．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【解析】根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a＝0.23<0.20＝1，b＝log0.30.2>log0.30.3＝1，c＝log30.2<log 31＝0，所以b>a>c，故选 B.【答案】Ba，a－ b ≤2，＋7．对任意实数a，b 定义运算“ Δ”：aΔb＝设f(x)＝3x 1Δ(1－x)，若函b，a－b>2，数f(x)与函数g(x)＝x2－6x 在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,2] B．(0,3]C．[0,2] D．[1,3]－x＋1，x>0 ，【解析】由题意得f(x) ＝x＋1x＋1，x≤0，3∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9 在(－∞，3]上单调递减，若m≥0，函数f(x)与g( x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，则得0≤m≤2，故选 C.m＋1≤3，【答案】Cfx ，x>0，8．已知函数f(x) ＝a|log2 x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列命题：f －x ，x<0，①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0 时，若0<m<n<1，则有F(m)－F(n)<0 成立；④当a>0 时，函数y＝F(x)－2有 4 个零点．其中正确命题的个数为( )A ．0 B．1C．2 D． 3fx ，x>0 【解析】①∵函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝，∴ |f(x)|＝f －x ，x<0 |a |log2x|＋1|，∴ F(x)≠|f(x)|，①不对；f －x ，x<0②∵ F(－x)＝＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数，故②正确；fx ，x>0③∵当a<0 时，若0<m<n<1，∴ |log2m|>|log2n|，∴ a|log2m|＋1<a|log2n|＋1，即F(m)<F( n) 成立，故F(m)－F(n)<0 成立，所以③正确；f x ，x>0，④∵ f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝f －x ，x<0，∴x>0 时，(0,1)单调递减，(1，＋∞)单调递增，∴x>0 时，F(x)的最小值为F(1)＝1，故x>0 时，F(x)与y＝－2有 2 个交点，∵函数F(x)是偶函数，∴ x<0 时， F (x)与y＝－2有2个交点，故当a>0时，函数y＝F(x)－2有4个零点，所以④正确．答案】D二、填空题1.已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c 的大小关系为____ ．【解析】依题意a＝g(－log25.1)＝( －log25.1) f·( －log 25.1)＝log25.1f(log 25.1)＝g(log 25.1)．因为f(x)在R 上是增函数，可设0<x1< x2，则f(x1)<f(x2)．从而x1f(x2)<x2f( x2)，即g(x1)< g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞ )上亦为增函数．又log25.1>0,20.8>0,3>0，且log25.1<log28＝3，20.8<21<3，而20.8<21＝log24<log25.1，所以3> log25.1 > 20.8> 0，所以c> a>b.答案】b<a<cx，x≤122．已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值ln x－ 1 ，1<x≤ 2范围是_______【解析】设g(x)＝5－mx，则函数g(x) 的图象是过点(0,5) 的直线．在同一坐标系内画出函数y＝f(x)和g(x) ＝5－mx的图象，如图所示．∵不等式f(x)≤5－mx恒成立，∴函数y＝f(x)图象不在函数g(x)＝5－mx 的图象的上方．结合图象可得，① 当m<0时不成立；②当m＝0时成立；③当m>0时，需满足当x＝2时，55g(2)＝5－2m≥0，解得0<m≤2.综上可得0≤m≤2.∴实数m 的取值范围是0，52 .xln 1＋x ＋x2，x≥03．已知函数f(x)＝2，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数 a 的取值范－xln 1－x ＋x2，x<0围是( )A．(－∞，－1]∪[1 ，＋∞ ) B．[－1,0]C．[0,1] D．[－1,1]xln 1＋x ＋x2，x≥0解析】函数f(x)＝2－xln 1－x ＋x2，x<0将x 换为－x，函数值不变，即有f(x)图象关于y 轴对称，即f(x)为偶函数，有f(－x)＝xf(x)，当x≥0 时，f(x)＝xln(1＋x)＋x2的导数为f′(x)＝ln (1 ＋x)＋1＋x＋2x≥0，则f( x)在[0 ，＋＋∞)递增，f(－a)＋f(a)≤2f(1)，即为2f(a)≤2f(1)，可得f(|a|))≤f(1)，可得|a|≤1，解得－1≤a≤1.答案】D3a － 1 x－4a ，x<1 ，4．已知函数f(x)＝在R 上不是单调函数，则实数 a 的取值范log a x，x≥1围是_______ ．【解析】当函数f(x)在R 上为减函数时，有3a－1<0 且0<a<1 且(3a－1) ·＋14a≥log a1，11解得7≤a< 3，当函数f(x)在R 上为增函数时，有3a－1>0 且a>1 且(3a－1) ·＋14a≤log a1，a73无解．11 ∴当函数 f(x)在 R 上为单调函数时，有 17≤a<13，∴当函数 f(x)在 R 上不是单调函数时，731 1 1 1有 a>0 且 a ≠1 且 a<7或 a ≥3即 0<a< 7或3≤ a<1 或 a>1.7 3 7 35．定义函数 y ＝ f(x)， x ∈I ，若存在常数 M ，对于任意 x 1∈ I ，存在唯一的 x 2∈ I ，使得 f x 1 ＋ f x 2 f x1 ＋2f x2＝M ，则称函数 f(x)在 I 上的“均值”为 M ，已知 数 f(x)＝log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为解析】 根据定义，函数 y ＝ f(x)， x ∈ I ，若存在常数21当 x 1∈[1,22 016]时，选定 x 2＝2x1 ∈[1,22 016]，可得 M ＝21log 2(x 1x 2)＝1 008.x 12答案】 1 00811，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即 b 2b ＝bb 2.∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4.f( x)＝ log 2x ， x ∈ [1,2 2 016] ，则函M ，对于任意 x 1∈ I ，存在唯一f x 1 ＋ f x 2的 x 2∈I ，使得 1 22＝M ，则称函数 f(x)在 I 上的 “均值” 为 M ，令 x 1x 2＝1·22 016＝22 016， 22 016。