1.2.1 充分条件与必要条件【教学目标】理解必要条件和充分条件的意义；2.会判断p 是q 的充分条件和p 是q 的必要条件.【重点和难点】1.重点：理解充分条件和必要条件的概念.2.难点：理解必要条件的概念. 【教学过程】（预习《选修1-1》910~P P ）一、课前准备1.请同学们画出四种命题的相互关系图.2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 .3.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加； （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：（1）命题“若22x a b >+，则2x ab >”.①该命题是“若p ，则q ”的形式，其中p ： ，q ： ； ②判断该命题的真假 ； .2：命题“若0ab =,则0a =”①该命题是“若p ，则q ”的形式，其中p ： ，q ： ；②判断该命题的真假 ； 2、引导探究、获得新知探究：命题（1）是真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作：p q ⇒（即222x a b x ab >+⇒>），读 作：由p 可推出q . 命题（2）是假命题，是指由p 通过推理不可以得出q ，记作：p ⇒q （即0ab=0a =），读作：由p推不出q . 新知1：一般地，“若p ，则q ”为真命题，我们就说,由p 可推出q ,记作p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，我们就说,由p 推不出q .,记作：p ⇒q . 概念辨析1：用符号“⇒”与“⇒”填空：（1）22x y = x y =；（2）内错角相等 两直线平行；（3）整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；（4）ac bc = a b =. （5）a b = ln ln a b =；（6）21(2)0x y ++-= 1x y +=.新知2：（1）“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒，我们就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）“若p ，则q ”为假命题，即p ⇒q ，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.概念辨析2：下列各题中，哪些p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件？哪些p 不是q 的充分条件，q 不是p的必要条件？（1）若1x =-，则210x -=； （2）若22x a b >+，则2x ab >；（3）若0ab =,则0a =； （4）若两个三角形相似，则这两个三角形全等. 应用举例例1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数；（4）若2x >，则22x x >. 分析：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件.解： 反思：（1）判断命题的真假是解题的关键；（2）小范围可以推出大范围.变式练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x >，则10x >.（3）若30A =，则1sin 2A =；（4）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根. 例2. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >. 分析：若p q ⇒，则q 是p 的必要条件.解：反思：变式练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若5a +是无理数，则a 是无理数；（2）若()()0x a x b --=，则x a =.例3.判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.分析：判断“p 是q 的什么条件”时，首先要弄清哪个是条件p ，哪个是结论q ？若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.解： 反思：变式练习：判断下列命题的真假：（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件；（4）0ab ≠是0a ≠的充分条件. 【随堂练习】1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直2.（1）p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件. （填“充分”或“必要”） （2）“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的 条件.（填“充分”或“必要”）3.“,0x y xy >>”是“11x y <”的充分条件还是必要条件？请说明理由.三、小结:充分条件与必要条件的理解. 四、作业：1. 判断下列命题的真假（1）ac bc =”是“a b =”的充分条件；（2）“a c b c >”是“a b >”的必要条件；“（3）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（4）“||||ab >”是“22a b >”的必要条件. 2.已知2:20,:230p x a q x x +<-->，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【课后巩固】1.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂2.设集合{}{}03,02M x x N x x =<≤=<≤.那么“a M ∈”是“a N ∈”的 条件.（填“充分”或“必要”）3.已知集合[]{}{}2(2)(31)0,21A x x x a B x a x a =--+<=<<+.（1）当2a =时，求A B ；（2）当13a >时，若元素x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）1.2.2 充要条件（第1课时）【教学目标】1. 理解充要条件的概念；2. 掌握充分、必要条件的判断方法.【重点和难点】1.重点：充要条件概念的理解. 2.难点：对充分、必要条件的判断. 【教学过程】（预习《选修1-1》1113~P P ）一、课前准备 1.一般地，“若p ，则q ”为真命题，我们就说,由p 可推出q ,记作 ；“若p ，则q ”为假命题，我们就说,由p 推不出q ,记作 . 2.（1）“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒，我们就说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；（2）“若p ，则q ”为假命题，即p ⇒q ，我们就说p 不是q 的 条件，q 不是p 的 条件.3.下列各题中，p 是q 的充分条件吗？p 是q 的必要条件吗？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈； （2）2:1p x >，:1p x >；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行； （4）:p a b <，:1aq b<二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q又是p 的什么条件?2、引导探究、获得新知探究：由p 可以推出q 吗？此时，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；反过来，由q 可以推出p 吗？此时，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.新知：一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔.此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 是p 的充要条件.概括地说，如果p q ⇔，那么互为充要条件.概念辨析1：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1)p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. 应用举例例1. 在下列各题中, p 是q 的什么条件? （1）p ：2x >且3y >，q ：5x y +>；（2）p ：sin 0α>，q ：α是第一象限角； （3）p ：0c =，q ：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点.（4）p ：a b >，q ：a b >；（5）p ：,x y 不全为0，q ：0x y +≠.分析：判断“p 是q 的什么条件”时，首先要弄清哪个是条件p ，哪个是结论q ？然后考虑由p 能否推出q 和由q 能否推出p ，最后回答p 是q 的什么条件.解： 反思：（1）从命题的角度来判断“p 是q 的什么条件”，有四种情况：①若原命题为真，同时逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件；②若原命题为假，同时逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；③若原命题和逆命题同为真，则p 是q 的充要条件；④若原命题和逆命题同为假，则p 是q 的既充分也不必要条件.（2）对于条件或结论是否定形式的命题，可以转化为逆否命题来判断（命题“若p ⌝，则q ⌝”与它的逆否命题“若q ，则p ”等价.）变式练习：在下列各题中, p 是q 的什么条件?(1) p :234x x =+ , q:x (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=；(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ , q :20(0)ax bx c a ++=≠；(4)p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根，q :0a b c ++=；（5）p :2x ≠或3x ≠，q :5x y +≠.例 2.已知2:8200,:11(0)p x x q m x m m --≤-≤≤+>，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为 . 分析：当命题中的条件p 和结论q 可由集合A 、B 确定时，（1）若p 是q 的充分不必要条件，即p q ⇒且q ⇒p ，则有AB ；（2）若p 是q 的必要不充分条件，即p ⇒q 且q p ⇒，则有BA ；（3）若p 是q 的充要条件，即p q ⇔，则有B A =.解： 反思：变式练习：1.若“21x >”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 . 2.设命题p ：112x ≤≤，命题q ：()(1)0x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【随堂练习】1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件 D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“直线a 与平面α内两条直线垂直”是“直线a 与平面α垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空.(1)“3x >”是“5x >”的 ；(2)“3x =”是“2230x x --=”的 ；(3)在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 ； （4）“1sin 2α≠”是“30α≠”的 . 三、小结:1.充要条件概念的理解.2.充分、必要条件的判断方法：（1）定义法（判断原命题和逆命题的真假）；（2）等价法（对于条件或结论是否定形式的命题，可以转化为逆否命题来判断）；（3）集合法（利用集合间的包含关系来判断）.四、作业：1.下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q：1x -（2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ； （3）p ：2x =，q：3x -；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形. 2.已知p ：2450,:33(0)x x q a x a a --≤-<<+>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【课后巩固】1.（2013年高考山东卷（文））给定两个命题q p ,,p ⌝是q 必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知条件p ：(1)()0x x a --≤，条件q ：12x ≤≤，且p 是q 的充分但不必要条件，求实数a 的取值范围.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）1.2.2 充要条件（第2课时）【教学目标】1.进一步理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；2.掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 能够对充要性进行证明.【重点和难点】1.重点：充要条件的证明方法.2.难点：能够对充要性进行证明. 【教学过程】（预习《选修1-1》1113~P P ）一、课前准备1.（1）“若p ，则q ”为真命题，即p q ⇒，我们就说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；（2）“若p ，则q ”为假命题，即p ⇒q ，我们就说p 不是q 的 条件，q 不是p 的 条件；（3）若既有p q ⇒，又有q p ⇒，即p q ⇔，我们就说p 是q 的 条件，q 也是p 的 条件2.（2012高考天津文科5）设x ∈R ，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设命题“若p ，则q ”为真，其否命题为假，则q 是p 的（ ）条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要D.既不充分也不必要 4.设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“,la lb ⊥⊥”是“l α⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：（1）“0c =”是“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的 条件；（2）“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的充要条件是 ；（3）求证：“0c =”是“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的充要条件.2、引导探究、获得新知探究：对于（3），“0c =”，“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”，哪个是条件p ，哪个是结论q ？ 要证“p 是q 的充要条件”， 既要证明p q ⇒（充分性），还要证明q p ⇒（必要性）.你能从这两个方面证明“0c =”是“二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过原点”的充要条件吗？反思：（1）求充要条件时，需先寻求让结论成立的等价条件，再从充分性和必要性两个方面进行证明.（2）证明充要条件要注意从“充分性（p q ⇒）”与“必要性（q p ⇒）”两个方面入手. 应用举例例1.直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切的充要条件为 . 分析： 解： 反思：变式练习：求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件. 例2.求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一个根为1的充要条件是0a b c ++=.分析：该题中，哪个是条件p ，哪个是结论q ？证明充要条件，既要证明充分性（p q ⇒），还要证明必要性（q p ⇒）. 解： 反思：变式练习：求证：一元二次方程02=++c bx ax 有一个正根和一个负根的充要条件是0ac <.例3.已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.分析：该题中，哪个是条件p ，哪个是结论q ？证明充分性（p q ⇒），就是要证明“若d r =，则直线l 与O 相切”，证明必要性（q p ⇒），就是要证明“若直线l 与O 相切,则d r =”. 解： 反思：变式练习：证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.（提示：分0b =和0b ≠讨论）【随堂练习】1.（2012年高考福建）已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=xB ．1-=xC ．5=xD ．0=x 2.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 3.求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是04a <<.三、小结:1.求充要条件的方法.2 证明充要条件，既要证明充分性（p q ⇒），还要证明必要性（q p ⇒）. 四、作业：1.求不等式2210ax x ++>恒成立的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边. 【课后巩固】1.已知直线,a b 和平面α，则//a b 的一个必要不充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.,a b αα⊥⊥C.//,a b αα⊂D.,a b 与平面α成等角2.（1）设A 、B 是两个集合，则B A ⊆的一个充分但不必要条件是（ ）A.A B A =B.B B A =C.B A =D.B A ≠（2）已知221,()x xa f x a+>=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A.10x -<<B.21x -<<C.20x -<<D.01x << 3.（1）已知,x y 是非零实数，且xy >，求证：11x y<的充要条件是0xy >. （2）试求关于x 的方程2320x mx m -+-=的两根均大于1的充要条件.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）。
1．2.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件．( ) (2)若p 是q 的充分条件，则綈p 是綈q 的充分条件．( ) (3)“x ＝1”是“x 2＝x ”的必要条件．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编P 10T 4(1))“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)． (2)若p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的________条件． (3)“a >0，b >0”是“ab >0”的________条件．(4)“若p ，则q ”的逆命题为真，则p 是q 的________条件． 答案 (1)充分 (2)充分 (3)充分 (4)必要探究1 充分条件与必要条件的判断例1 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1；(4)p ：ab ≠0，q ：直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交． [解] (1)∵x 2＝2x ＋1⇒/x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1， ∴p 是q 的必要条件，且p 不是q 的充分条件． (2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0，a ＋b ＝0⇒/a 2＋b 2＝0，∴p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(3)由于a <b ，当b <0时，ab >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，ab<1时，可以推出a >b .所以p 不是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(4)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．拓展提升充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p ⇒q 和q ⇒p 是否成立，然后得结论． (2)等价法：利用命题的等价形式：p ⇒q ⇔綈q ⇒綈p ，q ⇒p ⇔綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈p ⇔綈q 的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/小范围．(4)传递法：由推式的传递性：p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ，则p 1⇒p n .【跟踪训练1】 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：|a |≥2，a ∈R ，q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根； (2)p ：sin α>sin β，q ：α>β；(3)p ：四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1) 当|a |≥2时，如a ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根，则必有a ≤－2或a ≥6，可推出|a |≥2，故p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件．(2)当α＝π2，β＝3π4时，sin α＝1，sin β＝22，此时sin α>sin β，而α<β，故充分性不成立；而当α＝3π4，β＝π2时，sin α＝22，sin β＝1，此时α>β，而sin α<sin β，故必要性也不成立．故p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件．探究2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且綈p 是綈q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }，则∁R A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54，∁R B ＝(－∞，－2m )，因为綈p 是綈q 的必要条件，所以∁R B ⊆∁R A ，所以－2m ≤－54，解得m ≥58，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[解法探究] 此题有没有其他解法？ 解 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为綈p 是綈q 的必要条件， 所以p 是q 的充分条件，∴A ⊆B ， ∴－2m ≤－54，∴m ≥58，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞.[条件探究] 如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？解 由已知得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }． 因为綈p 是綈q 的充分条件， 所以p 是q 的必要条件，所以B ⊆A ， 所以－2m ≥－54，解得m ≤58，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，58.拓展提升利用充分、必要条件求参数的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【跟踪训练2】 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N . 于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为[－2,7]．探究3 充分条件与必要条件的实际应用例3 在下面电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件？[解] 如题图(1)，闭合开关A 或闭合开关C ，都可使灯泡B 亮．反之，若要灯泡B 亮，不一定非要闭合开关A .因此，闭合开关A 是灯泡B 亮的充分不必要条件；如题图(2)，闭合开关A 而不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，若要灯泡B 亮，开关A 必须闭合，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件；如题图(3)，闭合开关A 但不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，灯泡B 亮也不必闭合开关A ，只要闭合开关C 即可，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件．拓展提升充分、必要条件实际应用的解题策略将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．(1)p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”． (2)q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立．【跟踪训练3】 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．解“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．1.充分与必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件(也称充要条件)；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.等价转化法的应用一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且p⇐ /q”等价于“綈p⇐綈q且綈p⇒/綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.3.集合观点的应用若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：“小充分，大必要”.1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．2．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3答案 A解析x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2.3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac <bc ”是“a <b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 若a ＝b ，则ac ＝bc ；若ac ＝bc ，则a 不一定等于b ，故“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．4．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案 必要解析 a ，b ，c 成等比数列⇒b 2＝ac . 5．下列说法是否正确？请说明理由． (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件；(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的充分条件； (3)α＝π6是sin α＝12的必要条件；(4)x ＋y >2是x >1，y >1的必要条件． 解 (1)正确，因为x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0.(2)正确，因为△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′. (3)错误，因为sin α＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x >1，y >1⇒x ＋y >2.。
