动能定理的应用

动能定理的应用广东高考理综物理试题的两道计算题，是理综试题中考察考生掌握物理知识的程度，展示思维和解题能力的题目。

物理计算题的命制注重体现展示考生解决物理问题的思维过程和方法，通过设置典型的多过程的组合型题目，要求考生必须能够拆解、剖析各个过程，正确运用物理规律解决各阶段运动的题设问题。

无论是力学还是电学的计算题，均为多过程、多运动模型的组合体。

其中动能定理是必考的考点，而且往往在题目中起到承上启下的作用，所以学生必须完全掌握动能定理，做到该知识点不丢分。

【教学目标】一、知识与技能1．理解动能定理表述的物理意义，并能进行相关分析与计算；2．深化性理解动能定理的物理含义，区别共点力作用与多物理过程下动能定理的表述；二、过程与方法1．理解恒力作用下牛顿运动定律理与动能定理处理问题的异同点，体会变力作用下动能定理解决问题的优越性；三、情感态度与价值观1．感受物理学中定性分析与定量表述的关系，学会用数学语言推理的简洁美；2.培养学生观察生活中的物理现象，理论联系实际的能力；【教学重、难点】动能定理的理解与应用。

【教学关键点】动能定理的应用。

【教学过程】例1． (2012·潮州模拟)(18分)如图所示，绝缘小球A 静止在高为h ＝0.8 m 的光滑平台上，带电量为q B ＝＋0.3 C 的小球B 用长为L ＝1 m 的细线悬挂在平台上方，两球质量m A ＝m B ＝0.5 kg ，整个装置放在竖直向下的匀强电场中，场强大小E ＝10 N/C ，现将细线拉开角度α＝60°后，由静止释放B 球，在最低点与A 球发生对心碰撞，碰撞时无机械能损失.不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，求：(1)B 球在碰撞前的速度大小；(2)A 球离开平台的水平位移大小.解：(1)设B 球在最低点速度为v 0，碰撞前对B 球由动能定理得：m B gL(1－cosα)＋q B EL(1－cosα)＝12m B v 20 (4分) 解得：v 0＝4 m/s (2分)(2)碰撞后A 球、B 球速度分别为v A 、v B ，由动量守恒得：m B v 0＝m B v B ＋m A v A (3分)由能量守恒得：12m B v 20＝12m B v 2B ＋12m A v 2A (3分)联立解得v A ＝4 m/s(v B ＝0) (2分)碰后A 先匀速运动，再平抛运动竖直方向：h ＝12gt 2 t ＝2h g ＝2×0.810 s ＝0.4 s (2分)水平位移s ＝v A t ＝4×0.4 m ＝1.6 m (2分)答案：(1)4 m/s (2)1.6 m例2．如图所示，AB 为1/4光滑圆弧轨道，圆弧轨道的半径为R=3m ，A 点为1/4圆弧轨道的顶端，A 点与圆心o 在同一水平面上。

BC 为粗糙水平轨道，滑块与BC 轨道的动摩擦因数为μ=0.5，BC 长L=2m 。

CD 是倾角为θ=30°光滑斜轨道。

一质量为m=3kg 小滑块从A 点以v 0=2m/s 的初速度沿AB 圆弧滑下，（斜轨道与水平轨道交接处有一段很小的圆弧，滑块经过交接处时与轨道的碰撞所引起能量损失可以不计，g 取10m/s 2）求：（1）滑块第一次经过光滑圆弧最低点B 点时，轨道对滑块的支持力N 的大小；（2）滑块沿光滑斜轨道CD 能上升的最大高度h ；（3）滑块最后停止的位置到B 点的距离。

解：（1）、A→B ：根据动能定理有：222121A B mv mv mgR -= ⑴经过B 点时，小球做圆周运动，R v m mg N B2=- ⑵其中：R=3m ，v A =2m/s ，由⑴⑵式可得N=94N ⑶ ⑵、以A 点运动到斜面最高点为全过程，根据动能定理有2210A BC mv mgh s f mgR -=-⋅- ⑷mg f μ= ⑸代入数据，由⑷⑸式可得，h=2.2m ⑹⑶、滑块最终只能停止在水平轨道上，从开始到停止的全过程，根据动能定理有2210A mv s f mgR -=⋅-总 ⑺根据⑵小题中的相关数据，可求得s 总=6.4m ⑻s 总=6.4m ，表示滑块在水平轨道上通过的路程为6.4m ，由于BC 长为2m ，所以最终滑块停止的位置距离B 点的距离为1.6m 。

变式题：右端连有光滑弧形槽的水平桌面AB 长L=1.5m ，如图所示，将一个质量为m=0.5kg 的木块在F=1.5N 的水平拉力作用下，从桌面上的A 端由静止开始向右运动，木块到达B 端时撤去拉力F ，木块与水平桌面的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s 2.求：（1）木块沿弧形槽上升的最大高度；到达B 点时的速度：at v B = ⑵ 位移： 221at L =⑶木块沿弧形槽上滑，由动能定理得221B mv mgh =⑷ 由⑵⑶可得：aL v B 22= ⑸ 由⑴可得：22/1/)102.05.05.1(s m s m mg m F a =⨯-=-=⑹由⑶⑸可得：al gh 221⋅= ⑺木块沿弧形槽上升的最大高度：m m g aL h 15.0105.11=⨯== ⑻ aL m mv mgs fs B 221212⨯===μ木块沿弧形槽滑回B 端后，在水平桌面上滑动的最大距离：m m g aL s 75.0102.05.11=⨯⨯==μ例3．某兴趣小组的同学对一辆自制遥控小车的性能进行测试。

他们让小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，其v —t 图象如图所示。

已知小车质量m=1kg,在2s ～14s 小车功率保持不变，在14s 末关闭遥控器而让小车自由滑行。

v —t 图象中除2s ～10s 图象为曲线外，其余时间图象均为直线。

在整个运动过程中小车所受的阻力视为不变。

g=10m/s 2。

求：（1）小车所受到的阻力大小；（2）小车匀速行驶阶段的功率；（3）小车在变加速运动过程中的位移大小．解：（1）在14s ～18s 时间段只受摩擦阻力f,222226/ 1.5/1814v a m s m s t ===-由牛顿第二定律：2=1 1.5 1.5f ma N N =-⨯=-阻小车所受到的阻力大小为1.5N（2）在10s ～14s 小车作匀速直线运动，牵引力：F=－f=1.5N功率：Pe=Fv=1.5×6W=9W（3）0～2s 内2s 末小车速度为v 2=3m/s,10末速度为v 10=6m/s, 由动能定理得：2210211s=22Pt f mv mv --阻 解得22221022298-16+13s==3922 1.5Pt mv mv m mf -+⨯⨯⨯⨯=⨯阻变式题：（2012 福建）如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。

已知拖动缆绳的电动机功率恒为P ，小船的质量为m ，小船受到的阻力大小恒为f ，经过A 点时的速度大小为v 0，小船从A 点沿直线加速运动到B 点经历时间为t ，A 、B 两点间距离为d,缆绳质量忽略不计。

求：（1）小船从A 点运动到B 点的全过程克服阻力做的功W f ；（2）小船经过B 点时的速度大小v B ；（3）小船经过B 点时的加速度大小a 。

解：（1）：小船从A 点到达B 点，受到的阻力恒为f,其克服阻力做的功为：fd FS W f ==①（2）小船从A 运动到B 点时，电动机牵引绳对小船做功W=Pt ②从A 到B 由动能定理可知：③ 解得：()202v mfd Pt v B +-= ④ (3)设小船经过B 点时的绳的拉力大小为F ，绳与水平方向夹角为θ，电动机牵引绳的速度大小为u ，则 Fu P = ⑤合速度v B 与分速度u 的关系 ⑥由牛顿第二定律有⑦由④⑤⑥⑦式解得总结升华：动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

力做功时可以是连续的，也可以是不连续的，可以是在一条直线上的，也可以是不在一条直线上的。

222121A B mv mv fd Pt -=-mf fd Pt m v m P a --+=)(2202θcos B v u =maf F =-θcos课后练习：1.如图所示，质量为m=2kg 的小球，从半径R=0.5m 的半圆形槽的边缘A 点沿内表面开始下滑，到达最低点B 的速度v=2m/s 。

求在弧AB 段阻力对小球所做的功W f 。

设半圆形槽座固定在地面上，思路点拨：物体在弧AB 段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做负功。

在这一过程中，可用动能定理。

解析：重力的功。

由动能定理有：所以2.(18分)一滑块(可视为质点)经水平轨道AB 进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC ，已知滑块的质量m ＝0.50 kg ，滑块经过A 点时的速度v A ＝5.0 m/s ，AB 长s ＝4.5 m ，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.10，圆弧形轨道的半径R ＝0.50 m ，滑块离开C 点后竖直上升的最大高度h ＝0.10 m. g 取10 m/s 2.求：(1)滑块第一次经过B 点时速度的大小； (2)滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B 点压力的大小；(3)滑块在从B 运动到C 的过程中克服摩擦力所做的功.思路点拨：解答本题时应注意以下两点： (1)滑块对轨道上B 点的压力与轨道对滑块的支持力的关系；(2)滑块在从B 运动到C 的过程中受到的摩擦力为变力.解：(1)滑块由A 到B 的过程中，应用动能定理得：－f·s ＝12mv 2B －12mv 2A(3分) 又f ＝μmg (2分)解得：v B ＝4.0 m/s (2分)(2)在B 点，滑块开始做圆周运动，由牛顿第二定律可知N －mg ＝m v 2B R(2分) 解得轨道对滑块的支持力N ＝21 N (2分)根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道上B 点压力的大小也为21 N (2分)(3)滑块从B 经过C 上升到最高点的过程中，由动能定理得－mg(R ＋h)－W f ′＝0－12mv 2B(3分) 解得滑块克服摩擦力做功W f ′＝1.0 J (2分)答案：(1)4.0 m/s (2)21 N (3)1.0 J3．如图所示，质量m=2kg 的物体，从光滑斜面的顶端A 点以v 0=5m/s 的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h=5m ，求弹簧的弹力对物体所做的功。

思路点拨：由于斜面光滑，故机械能守恒，弹簧的弹力是变力，且对物体做负功，所以弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。

解：取B 所在水平面为零势面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A ： E A = mgh+2021mv 对状态B ： E B =－W 弹簧+0 由机械能守恒定律得： W 弹簧=－（mgh+2021mv ）=－125（J ）。