云南省大理州祥云县2020-2021学年高二上学期期末统测数学(理)试题及答案

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祥云县 2020~2021 学年上学期期末统测试卷 高二理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B D A C D A B D B C C C
a
a
解得
a
=
−
1 12
，
b
=
7 12
，故选
D．
3．根据余弦定理，得 c2 = a2 + b2 − 2abcosC = 52 + 82 − 5 × 8 = 49 ，所以 c = 7 ，则 △ABC 的周
长为 20，故选 A．
4．设等差数列{an} 的首项为
a1 ，公差为
d
，由
a3
+
a4
= 12 ， S3 =9
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2021-2022学年云南省高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B =（） A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】根据交集的运算直接求解即可.【详解】因为集合{1,2,3}A =,{2,3,4}B =,故A B ={2,3}， 故选：A.2．6π弧度等于（） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】B【分析】根据1801rad=π︒⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】因为1801rad=π︒⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以180=3066πππ︒︒⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭. 故选：B.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（） A ．圆柱 B ．圆锥C ．圆台D ．球【答案】D【分析】由三视图可得几何体为球【详解】因为该几何体的三视图是大小相同的圆， 所以该几何体是球， 故选：D4．函数()2()log 1f x x =+的定义域是（） A ．()1,-+∞ B ．()0,+∞C ．[)1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A【分析】根据对数的概念，可知10x +>，由此即可求出结果. 【详解】因为()2()log 1f x x =+，所以10x +>，所以()1,x ∈-+∞， 所以函数()2()log 1f x x =+的定义域是()1,-+∞. 故选：A.5．sin135等于（）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【分析】利用诱导公式化简计算可得结果.【详解】由诱导公式可得()sin135sin 1804522sin 45=-==. 故选：D.6．已知sin 2cos αα=，则tan α=（） A ．2- B ．12-C ．12D ．2【答案】D【分析】直接化简已知即得解. 【详解】解：因为sin 2cos αα=， 所以sin 2,tan 2cos ααα=∴=. 故选：D7．在数列{}n a 中，11a =， 12n n a a +=，则3a 等于（） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】C【分析】由递推式及11a =，直接写出3a . 【详解】由题设，2122=a a =，3242=a a =. 故选：C.8．下列运算结果正确的是（）A 10=-B ．若31x =，则13x =C ．222log 3log 4log 7+=D ．5log 5=1【答案】D【分析】计算得：A.10=，所以该选项错误；B. 0x =，所以该选项错误； C.222log 3log 4log 12+=，所以该选项错误；D. 5log 5=1，所以该选项正确.【详解】解：A.|10|10-=，所以该选项错误；B. 若31x =，则0033x x =∴=，，所以该选项错误；C. 22222log 3log 4log (34)log 12log 7+=⨯=≠，所以该选项错误；D. 5log 5=1，所以该选项正确. 故选：D9．函数()2sin 2f x x =的最小正周期和最大值分别是（） A ．2,2π B ．,2π C ．2,1π D ．,1π【答案】B【分析】根据周期公式求出周期，再由正弦函数的性质得出最值. 【详解】函数()2sin 2f x x =的最小正周期和最大值分别为22T ππ==,2 故选：B10．对于下面的程序框图，输入的值是3，则输出的y 值是（） A ．2 B ．3C ．4D ．5 【答案】C【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】解：3,32,314,x y =≥=+=输出4. 故选：C11．某班有学生30人，其中男生18人，女生12人，若采用分层抽样的方法从该班学生中随机抽取10人去参加学校举行的消防知识竞赛，则应抽取女生的人数是（） A ．2 B ．4C ．6D ．10【答案】B【分析】由分层抽样的等比例性质求随机抽取10人应抽取女生的人数即可. 【详解】由题设，设应抽取女生的人数是x 人，则123010x=，解得4x =人. 故选：B.12．初等数学的应用性发展，其突出的一点就是三角术的发展.三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的.对于一切ABC ，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，始终满足：2sin sin sin a b cR A B C===（其中，R 是ABC 外接圆的半径）.若ABC 的边长4a =，ABC 外接圆半径3R =，则sin A 等于（）A ．16B ．13C ．23D ．43【答案】C【分析】由正弦定理建立方程求解即可.【详解】解：由已知得2sin a R A=，即423sin A =⨯，解得42sin 63A ==， 故选：C.13．下列函数有零点的是（） A ．1y x= B ．2x y = C ．21y x =+ D ．1y x =-【答案】D【分析】根据零点的定义进行求解即可.【详解】A ：当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，当0x =时，函数没有定义，因此本函数没有零点；B ：因为20x >，所以本函数没有零点；C ：因为210y x =+>，所以本函数没有零点；D ：令101y x x =-=⇒=，因此本函数有零点， 故选：D14．已知向量2b a =，1a =，则a b +等于（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据22||2a b a a b b +=+⋅+得出答案.【详解】2222||212241443a b a a b b a a a +=+⋅+=+⋅+=++ 故选：C15．不等式()()320x x --≤的解集是（） A ．{}2,3x x x ≤≥或 B ．{}23x x ≤≤ C ．{}23x x << D ．{}2,3x x x 或【答案】B【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，写出该不等式的解集即可． 【详解】因为不等式()()320x x --≤对应方程()()320x x --=的实数根为2和3， 所以该不等式的解集为{}23x x ≤≤． 故选：B.16．在某学校的五次考试中，甲、乙两名同学的数学成绩绘制成茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲同学的平均成绩比乙同学好，甲同学成绩更稳定B ．乙同学的平均成绩比甲同学好，乙同学成绩更稳定C ．乙同学的平均成绩比甲同学好，甲同学成绩更稳定D ．甲同学的平均成绩比乙同学好，乙同学成绩更稳定 【答案】A【分析】通过平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】甲的平均成绩：11(8182838789)84.45x =++++=，乙的平均成绩：21(7576828391)81.45x =++++=，12x x >,所以甲同学的平均成绩比乙同学好；甲的成绩的方差：22222211[(8184.4)(8284.4)(8384.4)(8784.4)(8984.4)]9.445s =-+-+-+-+-=；乙的成绩的方差：22222221[(7581.4)(7681.4)(8281.4)(8381.4)(9181.4)]33.045s =-+-+-+-+-=.2212s s <，所以甲比乙成绩稳定.故选:A.17．如图，在ABC 中，,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，在ABC 内任取一点，取到的点在DEF 内部的概率是（） A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】B【分析】根据几何概型计算公式，结合中点的性质进行求解即可. 【详解】因为,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点， 所以,,,ADF DBE DEF FEC 的面积相等，所以ABC 内任取一点，取到的点在DEF 内部的概率是14DEF ABCS S=， 故选：B18．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,+∞上单调递增，则（） A ．()()11f f -=- B ．()()21f f -< C ．()()12f f -< D ．()()12f f >【答案】C【分析】由题设可得(2)(2)(1)(1)f f f f -=>=-，结合各选项即可判断正误.【详解】由题设，()()f x f x -=，又()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴(2)(2)(1)(1)f f f f -=>=-. 故选：C.19．用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（） A ．281m B ．236mC ．218mD ．29m【答案】A【分析】设矩形的长为()018x x <<m ，表示出宽，写出面积的表达式，再利用基本不等式求积的最值即可.【详解】设矩形的长为()018x x <<m ，由题意，宽为()18m x -，所以该菜园的面积为()18S x x =-，则由基本不等式得()()21818814x x S x x -+=-≤=，当且仅当9x =时取等号，所以该菜园面积的最大值为81. 故选：A 二、填空题20．已知向量()1,2a =，()2,1b =-，则a b +=_________. 【答案】()3,1【分析】由向量的坐标运算计算即可. 【详解】()()()1,22,13,1a b +=+-= 故答案为：()3,121．直线:2l y -的斜率k =_________.【分析】根据直线的斜率的概念，即可求出结果.【详解】由直线的斜率的概念，可知k =22．已知函数()22,11,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则()()10f f +=_________.【答案】3【分析】利用函数直接求解.【详解】因为函数()22,11,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，所以()()10f f +=122013++=， 故答案为：323．已知,x y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则z x y =-的最大值是_________.【答案】2【分析】作出不等式组表示的可行域，再利用数形结合分析求解. 【详解】解：作出不等式表示的可行域，如图所示，由z x y =-得y x z =-，它表示斜率为1，纵截距为z -的平行直线系， 当直线y x z =-经过点(2,0)A 时，直线的纵截距z -最小，z 最大. 此时max 202z =-=. 故答案为：2 三、解答题24．已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (1)求1a ，2a 及其公差d 的值； (2)求数列{}n a 的前5项和. 【答案】(1)211,3,2a a d === (2)25【分析】(1)利用通项公式求解； (2)逐项相加，即可求解. (1)解：21121,3,2a d a a a ===-=; (2)解：数列{}n a 的前5项和51357925S =++++=.25．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1BC 交1B C 于点O ，棱长为2. (1)求正方体的体积；(2)证明：1//A D 平面11B BCC ；(3)证明：1BC ⊥平面11A B CD . 【答案】(1)8 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据体积公式计算即可；（2）先由四边形11A B CD 为平行四边形得出11//A D B C ，再结合线面平行的判定定理证明即可；（3）由11A B ⊥平面11B BCC 得出111BC A B ⊥，再由11BC B C ⊥，结合线面垂直的判定证明即可. (1)正方体的体积为2228V =⨯⨯= (2)1111//,A B DC A B DC =，∴四边形11A B CD 为平行四边形又1B C ⊂平面11B BCC ，1A D ⊄平面11B BCC 1//A D ∴平面11B BCC(3)11A B ⊥平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC又11BC B C ⊥，1111A B B C B =，111,A B B C ⊂平面11A B CD1BC ∴⊥平面11A B CD26．某校1200名学生参加了一次数学测验 （满分为100分），为了分析这次数学测验的成绩，从这1200名学生的数学成绩中随机抽取200名的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：(1)求a 和b 的值；(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P （注：60分及60分以上为及格）. 【答案】(1)100a =，0.05b =； (2)0.81【分析】（1）根据频数和为200列式计算求解100，再由[20,40)对应的频数除以总数即可求得频率b ；（2）求解[60,80)和[]80,100两组的频率和，即可得概率P (1)由题意，3102562200a ++++=，得100a =；100.05200b == (2)由统计表可得，成绩在[60,80)，[]80,100的学生人数对应的频率和为0.50.310.81+=，由样本估计总体可知，从这1200名学生中随机抽取一人，估计这名学生该次数学测验及格的概率0.81P =.27．已知直线:0l x y c -+=，圆()()22:221-++=M x y . (1)写出圆M 的圆心坐标和半径r 的值； (2)当直线l 过圆心M 时，求c 的值；(3)若直线l 与圆M 有公共点，求c 的取值范围. 【答案】(1)()2,2-，1 (2)4-(3)44⎡--⎣【分析】（1）根据圆的标准方程即可写出圆心坐标和半径； （2）圆心M 的坐标代入直线方程即可求出结果；（3）因为直线l 与圆M 有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，由此即可求出结果. (1)解：因为()()22:221-++=M x y ，所以圆M 的圆心坐标为()2,2-和半径r 的值1.(2)解：因为直线l 过圆心M ，将()2,2-代入:0l x y c -+=， 所以()220c --+=，所以4c =-. (3)因为直线l 与圆M 有公共点，所以圆心()2,2M -到直线:0l x y c -+=1≤，所以4c 4-≤≤-44c ⎡∈--⎣.。

2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320x y --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （9）已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++ （C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F12∆的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率152e +=③512λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =. （14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = . （15）已知数列{}na 满足11a =，111+)nn a n N a *-=∈(，则4a =（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22)M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为.（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和nT .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 123456789101112A C DB B A D B AC BD 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 13 14 151617 18 19 20 2 35321m m <->-或 632,8p AB ==5n =或6，15232768=53三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CDABkk⨯=-，得1CDk=-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >）， 由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分 （Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为232-41314d ==+（）………………10分所以，22224123MN r d =-=-=………………12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}nc 的前n 项和为n T ，121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n n B n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n n A n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ (9)分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k k D k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++，………………6分 则3(0)4OP k k k =-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OPEQ kk ⋅=-，即32()14n k km--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M 点的横坐标为22343x k =±+，………………9分由//OM l 可得：22249=343D AE A D A M M x x x x x x AD AEk OM x x k -+--++==+2216(43)22343k k =+++≥，………………11分当且仅当2264343k k +=+，即32k =±时取等号，………………12分 所以当32k =±时，AD AEOM +的最小值为22.………………13分。

云南省大理州祥云2020-2021学年上学期高二年级期末统测数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷选择题，共60分一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{错误!}，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{2，3，4}2．已知a是实数，错误!是纯虚数，则a＝A．1 B．－1 C．错误! D．－错误!3．已知下表为与y之间的一组数据，若y与线性相关，则y与的回归直线y＝b＋a必过点A2，2 B．，0 C．1，2 D．，44．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是6．已知α∈0，π，若tan错误!＝错误!，则sin 2α＝图1A ．－错误!B ．错误!C ．－错误!D ．错误! 7．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 等于A ．40B ．20C ．32D ．388．设等比数列{a n }的公比q ＝错误!，前n 项和为S n ，则错误!＝A ．错误!B ．错误!C ．4D ．29．已知直线y ＝－2＋1是曲线y ＝错误!2－3ln ＋m 的一条切线，则实数m 的值为A ．1B ．2C ．－错误!D ．－错误!10．甲、乙两组统计数据用如图2所示的茎叶图表示，设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则图2A ．x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B ．x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C ．x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D ．x 甲>x 乙，m 甲<m 乙11．已知a ，错误!为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围为A ．B ．C ．D ．12．设函数f 是定义在R 上的偶函数，且f ＋2＝f2－，当∈时，f ＝错误!错误!－1在区间－2，6上关于的方程f －log 8＋2＝0的解的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷非选择题，共90分本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效． 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13．命题“∃0∈错误!，tan 0≤sin 0”的否定是____________．14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，错误!－错误!＝6，则a 5＝____________．15．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1a>b>0的右焦点为F，直线l：y＝错误!与椭圆C相交于A，B两点，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为____________．16．已知实数，y满足约束条件错误!＝＋tyt>0的最大值为11，则实数t＝____________．三、解答题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．本小题满分12分某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：Ⅰ估计文科数学平均分及理科考生的及格人数90分为及格分数线；Ⅱ在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关本题可以参考独立性检验临界值表参考公式：K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d18．本小题满分12分已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．Ⅰ若△ABC的面积S△ABC＝错误!，c＝2，A＝60°，求a，b的值；Ⅱ若a＝c cos B，且b＝c sin A，试判断△ABC的形状．19．本小题满分12分如图3，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：图3ⅠCD⊥AE；ⅡPD⊥平面ABE20．本小题满分12分已知函数g＝错误!2－错误!＋ln ＋bⅠ当b＝－错误!时，求g在1，g1的切线方程；Ⅱ若函数g在上有两个不同的零点，求实数b的取值范围．21．本小题满分12分图4如图4，已知三点A，P，Q在抛物线C：2＝8y上，点A，Q关于y轴对称点A在第一象限，直线PQ过抛物物线的焦点FⅠ若△APQ的重心为G错误!，求直线AP的方程；Ⅱ设△OAP，△OFQ的面积分别为S1，S2，求S错误!＋S错误!的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．本小题满分10分【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系Oy中，直线l的参数方程为错误!t为参数，在极坐标系与直角坐标系Oy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴的正半轴为极轴中，圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0，圆C与直线l交于A，B两点，P点的直角坐标为1，1Ⅰ将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ求错误!＋错误!的值．23．本小题满分10分【选修4－5：不等式选讲】已知函数f＝错误!－错误!，g＝错误!－错误!Ⅰ解不等式f>4；Ⅱ∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，求实数a的取值范围．高二数学（文科）参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．集合{|4}A x x x =<≤，{12345}B =，，，，，则{234}A B =，，，故选D ．2．i (i)(1i)1(1)i =1i (1i)(1i)2a a a a -----+=++-，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，，1a =，故选A ． 3．由题可得32x =，4y =，222233330(14)1(34)2(54)3(74)2222333301232222b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1025=，34212a =-⨯=，则回归方程为21y x =+，将A ，B ，C ，D 四项分别代入方程，只有(1.54)，这个点在直线上，故选D ．4．若 l α⊥，αβ⊥，则l β⊂或l β∥，即A 不符合题意；若l α∥，αβ∥，则l β⊂或l β∥，即B 不符合题意；若l α∥，αβ⊥，则l ，β平行或垂直或相交，即D 不符合题意，故选C ．5．因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B ． 6．π1tan 1tan 41tan 3ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得1tan 2α=，22tan 14sin 211tan 514ααα===++，故选B ．7．本程序的功能为54433238S =⨯+⨯+⨯=，故选D ．8．因为等比数列{}n a 的公比12q =，所以21112a a q a ==，4141112151812a S a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，则42154S a =，故选A ． 9．曲线213ln (0)2y x x m x =-+>的导数为3y x x'=-，由题意直线21y x =-+是曲线213ln 2y x x m =-+的一条切线，设其切点为00()x y ，，∴0032x x -=-，解得01x =舍负，切点在直线上，所以切点坐标为(11)-，，所以112m +=-，即32m =-，故选D ．10．甲的平均数568101014181822252730303841433451616x +++++++++++++++==甲，乙的平均数1012182022232327313234343842434816x +++++++++++++++==乙 45716，所以x x <甲乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m m <甲乙，故选B ．11．由a ，b 是单位向量，0a b =，可设(10)a =，，(01)b =，，()c x y =，，由向量c 满足||2c a b --=，∴|(11)|2x y --=，，2，即22(1)(1)4x y -+-=，其圆心(11)C ，，半径2r =，∴||OC ，∴22||2c x =+B ．12．由题意，原方程等价于()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题．由(2)f x +=(2)f x -，可知()f x 的图象关于2x =对称，作出()f x 在(02)，上的图象，再根据()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，结合对称性，可得作出()f x 在(26)-，上的图象，如图1所示．再在同一坐标系下，画出8log (2)y x =+的图象，同时注意其图象过点(61)，，由图可知，两图象在区间(26)-，内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为命题x ∃，P 的否定为x ∀，p ⌝，故答案为π02x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，，tan sin x x >．14．设2n S an bn =+，则n S an b n =+， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其公差是a ，其中1111S a ==， 由73673S S -=知，46a =，32a =，所以3311(1)222n S n n n =+-⨯=-，53157522S =⨯-=， 535S =，4311144222S =⨯-=，422S =，554352213a SS =-=-=．15．如图2所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||OA OF c ==．由直线 y=得60AOF =︒∠，∴||AF c =，且130AF F =︒∠，1||AF =．由椭圆的定义可得， 1||||2AF AF c a +=+=，∴1c e a ===．图116．由已知得到可行域如图3：可求出三个交点坐标(32)A ，，(12)B -，，5233C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，目标函数(0)z x ty t =+>的最大值为11，几何意义是直线1z y x t t =-+截距的最大值为11，由图得知，当1zy x t t =-+过点A 截距取得最大值， 故1132t =+，解得4t =．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵1524547581053135376.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………（3分）∴估计文科数学平均分为．……………………………（4分） 又理科总人数50140010005020⨯=+，样本中理科考生有28人及格，所以估计有10002856050⨯=， ∴理科考生有560人及格．………………………………………（7分）（Ⅱ）2270(1520530) 1.4 2.70620502545K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，……………………………（10分） 故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关．…………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴12sin 602b ︒=1b =．………………………………………（3分） 由余弦定理得222222cos 12212cos603a b c bc A =+-=+-⨯⨯︒=，所以a =6分）（Ⅱ）由余弦定理得2222222a c b a ca b c ac+-=⇒+=， 所以90C =︒∠．………………………………………………………（9分） 在Rt △ABC 中，sin a A c =，所以ab ca c==， 所以△ABC 是等腰直角三角形．……………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为 PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AC CD ⊥，PA AC A =，所以CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由PA AB BC ==，60ABC =︒∠， 可得AC PA =，因为E 是PC 的中点，所以AE PC ⊥． 由（Ⅰ）知AE CD ⊥，且PCCD C =，所以AE ⊥平面PCD ．………………………………………………………（7分） 又PD ⊂平面PCD ，所以AE PD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥． 又AB AD ⊥，PAAD A =，PA ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，………………………………（10分） 又PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． 又AEAB A =，所以PD ⊥平面ABE ．………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为2135()ln 424g x x x x =-+-， 所以131()22g x x x'=-+，……………………………………………（2分） 所以13(1)1022g '=-+=， 又因为切点为512⎛⎫- ⎪⎝⎭，，…………………………………………………（4分）所以切线的方程为52y =-．………………………………………（5分）（Ⅱ）若函数()g x 在[14]，上有两个不同的零点， 可得213ln 42b x x x -=-+在[14]，内有两个实根．…………………………………（6分） 设213()ln 42h x x x x =-+，131(1)(2)()222x x h x x x x--'=-+=， 当(12)x ∈，时，()h x 递减，当(24)x ∈，时，()h x 递增， 由5(1)4h =-，(2)2ln 2h =-+，(4)ln 42h =-，…………………………………（9分）画出()y h x =的图象，如图4所示，可得52ln 24b -+<--≤， 解得52ln 24b <-≤．…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设11()A x y ，，22()P x y ，，11()Q x y -，，则212233x y y G +⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以212833233x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，所以122A ⎛⎫⎪⎝⎭，，(88)P ，， 所以AP ：5480x y --=．…………………………………………………（4分） （Ⅱ）设PQ ：2y mx =+，由228y mx x y =+⎧⎨=⎩，，得28160x mx --=， 所以12()16x x -=-，即1216x x =．………………………………………（6分） 又设AP ：y kx n =+，由28y kx n x y=+⎧⎨=⎩，得2880x kx n --=，所以12816x x n =-=，所以2n =-，所以AP ：2y kx =-．…………………………………………………（8分） 即AP 过定点(02)E -，， 所以121211||||||2OAP OEP OEA S S S S OE x x x x ==-=-=-△△△， 2111||||||2OFQ S S OF x x ===△，………………………………………（10分）所以222222122112112()3223232S S x x x x x x +=-+=-+-=≥， 当且仅当7412x =，9422x =时等号成立，所以2212S S +的最小值为32．………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，消去参数t 得20x y +-=， 即直线l 的普通方程为20x y +-=．………………………………………（2分） 把222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入26cos 50ρρθ-+=，整理得22650x y x +-+=，故圆C 的直角坐标方程22650x y x +-+=，即22(3)4x y -+=．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）把121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，t 为参数代入22(3)4x y -+=，化简得：210t -+=，………………………………………………（7分） 184140∆=-=>．设1t ，2t 是该方程的两根，则12t t +=121t t =．所以10t >，20t >，又直线l 过(11)P ，，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．…………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）由题得211()312122x x f x x x x x ⎧⎪-+-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，，，≥， ∴()4f x >等价于241x x -+>⎧⎨-⎩，≤或34112x x ->⎧⎪⎨-<<⎪⎩，或2412x x ->⎧⎪⎨⎪⎩，≥， 解得2x <-或6x >，综上，原不等式的解集为{|26}x x x <->或．…………………………………（5分） （Ⅱ）∵||||2||x a x a a --+-≥， 由（Ⅰ）知13()22f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，∴32||2a --≤，∴实数a 的取值范围为3344⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．…………………………（10分）。