2015考研数学真题(数一)

考研数学一真题2015年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其二阶导函数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为______。

（分数：4.00）A.0B.1C.2 √D.3解析：[考点] 拐点的判定。

[解析] 若曲线函数在拐点处有二阶导数，则在拐点处二阶导数异号(由正变负或由负变正)或不存在。

因此，由f"(x)由的图形可得，曲线y=f(x)存在两个拐点，故选C项。

2.______。

（分数：4.00）A.a=-3，b=2，c=-1 √B.a=3，b=2，c=-1C.a=-3，b=2，C=1D.a=3，b=2，C=1解析：[考点] 二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——由已知解来确定微分方程的系数。

[解析] 由题意可知，为二阶常系数齐次微分方程y"+ay"+by=0的解，所以由常系数齐次微分方程的解与其特征方程根的关系知2，1为特征方程r 2 +ar+b=0的根，从而a=-(1+2)=-3，b=1×2=2，从而原方程变为y"-3y"+2y=ce x，再将特解y=xe x代入得c=-1，故选A项。

3.若级数条件收敛，则和x=3______。

（分数：4.00）A.收敛点，收敛点B.收敛点，发散点√C.发散点，收敛点D.发散点，发散点解析：[考点] 幂级数的收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

[解析] 已知条件收敛，即x=2为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为(0，2)。

因幂级数与其导数的收敛区间相同，故的收敛区间还是(0，2)，则与x=3依次为幂级数的收敛点，发散点，故选B项。

4.设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则=______。

A．B．C．D．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[考点] 将二重积分化成极坐标系下的累次积分和极坐标变换。

2015年考研数学一真题及答案解析D234(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选5（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

【解析】因为1nn a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。

而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2)。

因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。

(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线6y x=，3y x=围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，7所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。

考研数学一真题2015年(总分150,考试时间90分钟)一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

)1. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其二阶导函数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为______。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则______。

A. a=-3，b=2，c=-1B. a=3，b=2，c=-1C. a=-3，b=2，C=1D. a=3，b=2，C=13. 若级数条件收敛，则和x=3依次为幂级数的______。

A. 收敛点，收敛点B. 收敛点，发散点C. 发散点，收敛点D. 发散点，发散点4. 设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D 上连续，则=______。

A．B．C．D．5. 设矩阵，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为______。

A．B．C．D．a∈Ω，d∈Ω6. 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换为x=Py下的标准形为，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为______。

A．B．C．D．7. 若A，B为任意两个随机事件，则______。

A．P(AB)≤P(A)P(B)B．P(AB)≥P(A)P(B)C．D．8. 设随机变量X，Y不相关，且EX=2，EY=1，DX=3，则E[X(X+Y-2)]=______。

A. -3B. 3C. -5D. 5二、填空题(请将答案写在题中横线上。

)1. =______。

2. =______。

3. 若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz|(0,1)=______。

4. 设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则dxdydz=______。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C).2、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】211,23x xe e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为1n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故()11n n n na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★【详解】由y x =得，4πθ=；由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥Θ)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()()2P A P B P AB +∴≤故选（C ）8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】()()()()()()()()()22222225E X X Y E X XY X E X E XY E X D X EX E X E Y E X ⎡⎤+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=【答案】12-【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx xππππ+==+⎰⎰ 11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz =.【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，又当0,1x y ==时，0z =，所以(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'∂，(0,1)0y z F zy F '∂=-='∂，因而(0,1)dz dx =-12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=【答案】14【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6zdx dydz Wòòò=6zdz 01òdx dy D zòò其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为121-z ()2.所以 x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6z dx dydz Wòòò=6z ×121-z ()2dz =01ò3z 3-2z 2+z ()dz =01ò1413、n 阶行列式2002-1202002200-12LL M M O M M LL=【答案】122n +- 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得=2n +1-214、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ，则(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N Q ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<}{}{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><，1111122222=⨯+⨯=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题2015年考研数学一真题及答案（完整版）一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,12015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。

2015年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】设f'O=0左边的零点为H=a,右边的零点为x=b,又在x=0处/"（z）不存在.因为工=a的左、右两侧于〃（工）都大于零，所以（a,/（«））不是拐点；因为工=0左、右两侧f'\x）异号，所以（0,/（0））为拐点；因为工=b左、右两侧）异号，所以（6,/（6））为拐点，故有两个拐点，应选（C）.方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上对应的点为拐点.（2）【答案】（A）.【解】因为;y=+孑+（広）e"为y'+ay'+by=ce"的特解，所以y"+ay'+=0的特征方程的特征值为入1=12=2,则a—~3,b=2.显然y为原方程的特解，将代入原方程得c=—1,应选（A）.（3）【答案】（E）.【解】因为£a”条件收敛，所以的收敛半径为1,n=1n=\oo》a”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0＜工＜2.77=1因为Vy—1G（—1」）93—1幺］—l」］9所以级数工a〃（乂一1）"在工=^3处绝对收敛，在x=3处发散，n=l因为〉（工一1）"与工5（攵一1）"收敛半径相同、收敛区间相同97?=1"=1OO所以一1）"在攵=^3处绝对收敛，在乂=3处发散，应选（E）.n=\（4）【答案】（E）.■亠.A=rcos°，（兀”c—兀1—/1\…,【解】令｛一W厂W/［,则\y—rsin0,I43丿2sin20J s in20丿JJ/（jr,j/）clrd_y=d0j*""："/（rcos0,rsin（9）rdr,应选（B）.D45/2sin20（5）【答案】（D）.【解】因为AX=b有无数个解，所以r（A）=r（A）＜3,由|A|=（q—l）（a—2）=0得a=1山=2,1 1 11 0 ：d - 10 0 d 2 — 3d 十 2当a = 1时，Z 111111 \ IA =121010八1 一I41川3—J '因为方程组有无数个解，所以d -1或〃==2；当a = 2时9I 111卩111 \ IA = 122小11—1 一444d 2'33因为方程组有无数个解，所以〃 =1或〃 =2,应选（D ）.111d — 1d 2 一 3d + 2110方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解 的两个关键点、为：厂（A ） < 3及r （A ） =r （A ）.（6）【答案】（A ）.【解】 因为/'（I ,工2，工3）经过正交变换X=PY 化为标准形2y\+yl-y\,所以A 的特征值为A j = 2,入2 =1，入3 = — 1，其对应的特征向量为ei ,e2山3, 因为S , -e 3,e 2为特征值2, — 1,1对应的特征向量，所以X =QY 下二次型的标准形为2yl~yl+yf ，应选（A ）.方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩阵的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征值的 次序要保持一致.(7) 【答案】(C).【解】P(A -bB) =P(A) + P(B) -P(AB),因为 P(A +E) > P(AB),所以 P(A) +P(B) - P(AB) > P(AB), .> D/AQ 、x P(A ) + P (B )宀住 /八、 故 P(AB) <---------------------，应选(C).(8) 【答案】(D).【解】 由X,Y 不相关得Cov(X,Y) =0,从而E(XY) =E(X)E(Y).E[X(X +Y —2)]=£*) +E(XY) — 2E(X)= D(X) + [E(X )T+E(X)E(Y) —2E(X)=3 + 4 + 2 — 4=5,应选(D).二、填空题（9）【答案】I【解】方法一ln(cos x ) .. ln[l + (cos z —1)] .. cos x 一1 1lim -------2-----= lim ------------------------------= lim --------°-----=------工->0 x 工-*0 x 工-*0 x Lsin x方法二1. ln(cos x ) — cos x 1 .. sin x lim -------:-----= lim —--------=-----lim ----------x~»0 X X —o 2x 2 x —0 X丄1cos XK 2(io)【答案】T【解】sin x -y 1 + COS X一兀 | jr | djc = 2•A22 7tJCdj ：=—o4方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即/(J7 )djf =—a[/(J7 ) + —工)]dz ，特别地,当 /(— ) = f (JC )时，/(jr )d:r =2 f {x )djrJ o当 f (一x) = — f O 时,/(J7 )dj ： = 0.—a(11)［答案】一山.【解】 方法一 将工=0,夕=1代入e= + + z 十e z + xyz + j; + cos 工=2两边分别对x ,y 求偏导得dz_ 3x •訂+夕z +工cos X =2 中，得 z =0,• z ° Z+ 1 一 sin jr = 0, e z • -----\~ x 3yN +夕3z \八3z=—1 •—代入得器dx=I dj? + 字 | djy = - dz .I (0,1) djc I dy | (0,1)方法二 将j ： =0 = 1代入e ” + xyz +工+ cos jc = 2中得n =0・e z + xyz +无+ cos = 2两边求全微分得e z dz + yzdx + xzAy + xydz + dr — sin x Ax = 0 ,0 代入得 dz |(0.1)= — dx .故dz(0,1)(0,1)=0,(0,1)将 z = o q (12)【答案】 44【解】方法一由对称性得]J(_z+2y + 3z)dQ=6『QQ=6「drJ 0=[(1—jr)3dj?J o4方法二 0 = {(无9夕9之)| (乂，夕)G D,0W n W1—h —j /}9其中1) = {(工9』)|0冬力€1，0€丿£1—“9则'l —T —y (jc + 2y + 3n ) dz1 9之(0,1)'1—x 0'l_zp zdz3「clzJ 0(1— 乂)41—X(1 一 x 一 y}2 Ayoi 1o =T'IJJ (jc + 2jz + 3n ) dv QJj dyDD「drJ o(j? +2j/)(l — x 一 y ) + ^-( 1 一 x 一 y )2 ckr dj/3x +2夕)(1 一 x 一 夕)+~^~(1 — z — y)2^=4(13)［答案】2"+i —2.20220-12【解】D…2D ”一i + 2 X A lr ,220002X(-1)"T =2D ”t +2=2D ”-i = 2(2D -1I + 2 X (— 1 )"+i 八i — i ) = llj ”_2 + 2)十 2=25,1+22+2...=2” ------- 2? + 2 = ：")= 2,,+1 — 2.1 — 2(14)【答案】 j.【解】 因为p =0,所以X,Y 独立且不相关，且X 〜N(1,1),Y 〜N(0,l),P{XY-Y< 0} - P{(X - 1)Y< 0}= P{X <1}P{Y>Q}+P{X>1}P{Y<Q}= *(P{X < 1} +P{X > 1})=y-方法点评：本题考查二维正态分布的性质.设(x,y )服从二维正态分布，则x ,y 独立与X,Y 不相关等价.三、解答题2 3 3(15)【解】 方法一 由 ln(l+H )=H —*- + 2- + o (h 3), sin x =x — + o (jc 3)得Z 3 623 /、/(jc ) =x ~\~ax —号—b —|— bx 2 + o (h 3)=(1+q )jc + (b —守+3 +o (jc 3) 9因为fCx )〜g (工)，所以 1 + a = 0,6 — -|-=0,-|-=^,解得 a = — l,h=----yk =-------.方法二 由1=1")•Z —0 1. x ~\r a ln( 1 + jc ) + sin x2)=映kx 3alim1 + -~--------p b sin x bx cos xV + x丿曰 “—~ 29 彳可 a = — 193k j :2再由1 = limx-*01-丄3kx 2+ 6sin x + bx cos x=limx-*0z~~-----p b sin x -Ybx cos x1 +3kx 2lim x-*0再由1 = lim•r f 0----------r + 2b cos x 一 bx sin x (1+J ，得 5丄I&kx1 . 1_____cos ,+_,sln , 亍齐―g怛—融—&kx123—+ sin x !• （1 +工）' 1 伯 L hm ------------------------------= _ 百，得&乂~0 bk 3k丄Qk （16） 【解】y — f （x ）在点（工（），/'（攵0））处的切线方程为y — f （x 0）—力0）,/（ J? o ）令；y = 0 ,贝」z =工 ° 一 r ----r ,J （工。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c(C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y(C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx→=(10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L LM M OM M L L(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量.答案解析（1）【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.（2）【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）（3）【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.（4）【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰，故选（B ） （5）【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） （6）【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） （7）【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .（8）【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) .（9）【答案】12-【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===-方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- （10）【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰（11）【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-（12）【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（13）【答案】122n +- 【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-L L LL L221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122n +=-（14）【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. （15）【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx→⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k+=-==111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=21sin cos 1lim13x ab x bx x x kx →++++==因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-（16）【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.（17）【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=.（18）【解析】（I ）0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=0()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+（II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L（19）【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==（20）【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠（21）【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP（22）【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰， 从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()，12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑，所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().（23）【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明：（I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112 A a B aa a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a为何值时，方程AX B=无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2015年考研数学一真题一、选择题 1 — 8小题•每小题4分，共32分.1 •设函数f(X )在(」：，•：：)上连续，其二阶导数 「(X )的图形如右 图所示，则曲线 、二f(x)在(」：，•：：)的拐点个数为(A )0( B )1( C ) 2( D )3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在•从图上可以看出有两个二阶导 数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 X 二0 •但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点•而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐 点，所以应该选(C )11 2.设ye 2x (x )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程\ ay ： by = ce x 的一个特解，则23(A ) a = -3, b = 2, c = -1 (B ) a = 3, b = 2,c = -1 (C ) a - -3, b = 2, c = 1(D ) a= 3,b = 2,c = 1【详解】线性微分方程的特征方程为 r 2 ar b = 0 ,由特解可知r, =2 —定是特征方程的一个实根.如 果r 2 =1不是特征方程的实根，则对应于 f (x)二ce x 的特解的形式应该为 Q(x)e x ，其中Q(x)应该是 个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r 2 -1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得a =-(2 1^ -3,b = 2 1-2，同时y* =xe x 是原来方程的一个解，代入可得c = -1应该选(A )□03 •若级数a a n 条件收敛，则nd(0,2)，显然 x -3 ,x =3依次为收敛点、发散点，应该选(B )4 .设D 是第一象限中由曲线 2xy =1,4xy = 1与直线y = x, y 二.3x 所围成的平面区域，函数f (x, y)在QOx = 3,x 二3依次为级数7 na n (x-1)n 的n T(A)收敛点，收敛点 (E)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点cd【详解】注意条件级数 a a n 条件收敛等价于幕级数nACO' a n x n 在x 二1处条件收敛，也就是这个幕级数的 n d□0-1，所以a na n (x-1)n 的收敛半径n=1RJmna n (n 1)a n 1二1，绝对收敛域为立，当然应该选(D ).Q= ei ，-e 3,e 2，则 f(X 1 ,x ?, x 3)在 x = Qy 下的标准形为222(A) 2y 1 - y 2y32 丄 22(B) 2 y 1 y 2 一 y 31 1 1 1、1 1 11 、1 1 1 1 、 12 a d T 0 1 a-1 d -1 T 0 1 a-1 d-1 订 4 2 adJ1° 3 a 2 -1d 2T 」1° 0 (a-1)(a- 2)(d_1)(d_ 2 ”【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换: B =(A,b)二 (a _1)(a _2) = 0,(d _ 1)(d _ 2) = 0同时成 方程组无穷解的充分必要条件是 r(A)二r(A, b) 3，也就是 D 上连续，则 f(x,y)dxdy=() DJi(A) 3dr sin ^ f(rcoB,rsin^)rdr (B)3dr ~4 2sin 2 1si ；2r f(rcos ,rsinv)rdr2 sin 2r Tt1:dr 甲 f(rcos ,rsin 日)dr ■4 2^n2 -d【详解】积分区域如图所示，(C) (D) 「3 dr41；sin 2 r 1 ■'2sin 2 71f (r cos ,rsinv )dr化成极坐标方程: 4 xy =1 = 也就是D :2r 2sin v cosv 4r 2 sin v cos" JI < —3=1 ==1 =< /sin 二JT1_-_ 1Jsin 2B1___________ —2 sin 2=—r2 sin 2r所以.1.1 f(x, y)dxdy 二 3 dr.響2二 f (r cosr, rsinv)rdr ，所以应该选(B )•"1 1 1、『1、 5.设矩阵A =1 2 a ,b = dJ 42a丿2 2>Ax 二b 有无穷多解的充分必要(A )a",dF(B)1, d - 'J6 .设二次型 f (洛，x 2, x 3)在正交变换 x 二Py 下的标准形为2y" yl~ y 3，其中P 丸耳叵鸟，若D4 2sin 2,若集合门-「1,2，则线性方程组 条件是(A ) P(AB)辽 P(A)P(B)(B ) P(AB) _ P(A)P(B)(C) P(AB) J (A )P(B)(D) P(AB)_P(A )P(B)【详解】P(A) _ P(AB), P(B) _ P(AB),所以 P(AB) 一出…旦故选择ln(cosx) 9. lim 2—x x 2 3【详解】只要注意sinx为奇函数，在对称区间上积分为零,1 + cosx2 2【详解】Q f 二 x T Ax c2 2 22 y i- y 2 - y 3（2=y T PAPy (1 0 0、n 0 0、[1 00 '0 1 =P0 1,Q T= 0 0 -1 <0-1 °」1° -1 °丿1 °」(D )—e i , _e 3 ,e 2 ~ ei , e2,e3P TTy小 22 22屮目2 y 3广1 0、0 0、广10 0、广2广1 0、z2所以Q T AQ = 0 0 -1 P T AP0 0 1 = 0 0 -1 10 0 1=-11° 1 °」<° -1 °」<° 1 °」k一1」<° -1 °>故选择（A ）.7.若A,B 为任意两个随机事件，则（)二 y&设随机变量X,Y 不相关,且 EX = 2,EY =1, DX =3，则 E(X(X Y - 2))(A) -3(B)(C )-5(D) 5【详解】E(X(X Y -2))-2 EX = 5故应该选择（D ）. 二、填空题（本题共 6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）C ).I 详解】l x m o 常x 102 x10.2二sinx-2 1 cosx11.若函数 z=z(x, y)是由方程 e z • xyz x • cosx = 2 确定，则 dz |(o,n :- 【详解】设 F (x, y, z^ e z xyz x cosx - 2，则zF x (x, y,z) =yz 1 -sinx,F y (x, y,z) = xz,F z (x, y,z) =e xy也就得到 dz |(o ,1)=_dx. 12 .设i ］是由平面x y1和三个坐标面围成的空间区域，则iii(x 2y 3z)dxdydz = _______________ . Q【详解】注意在积分区域内，三个变量 x, y,z 具有轮换对称性，也就是111 xdxdydz 二 ydxdydz 二 zdxdydz Q Q Q1 1 21JJJ (x + 2y+ 3z)dxdydz = 6川zdxdydz = 6J zdzjjdxdy= 3J z(1 -z) dz=-五五D ；42 0III 0 2-1 2III 0 213. n 阶行列式+ ++*=III 2 20 0 III -1 2【详解】按照第- 「行展开， 得D n = 2D n 」+ (- 1)n *2(-1)n 」= 2D n 」+2，有 D n + 2 = 2( % j + 2)由于D^2,D 2=6 , 得 D n =2 2 (Dr +2)_2 = 2n * -2 . 14•设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1; 0)，则 P XY Y :: 0^二______________________ 【详解】由于相关系数等于零，所以 X , Y 都服从正态分布， X ~ N(1,1),Y ~ N(0,1)，且相互独立.则 X -1 ~ N(0,1).P "：XY Y ：： 0； ^P Y(X 一1)：： 0 •； = P0,X -1 0? P 〈Y 0,X 一1：：0^=丄---2 2 2 2 2三、解答题15.(本题满分10分)设函数f (x^ x a ln(V x) bxsinx , g(x)二kx 3在x — 0时为等价无穷小，所以兀2i JI Tsinx1 cosx dx 二 2【xdx 「且当x =0, y =1时,z =- 0,所以 .:z.x1( 0,1)-F 「(0,1,0) _ 1 cz F ；(0,1,0) F z (0,1,0)「, ：y (k F z (0,1,0)求常数a,b,k的取值.【详解】当X— 0时，把函数f(x)二x a ln(1 x) bxsin x展开到三阶的马克劳林公式，得2 3 .x x 3 1 3o(x 3))f(x)二x a(x o(x )) bx(x x2 3 6a 2 a 3 3=(1 a)x (-― b)x2(―)x3 o(x3)2 3由于当X-. 0时，f(x), g(x)是等价无穷小，则有1 1解得，a _ _1,b_ -一，k _ __.2 316.(本题满分10分)设函数y二f ( x)在定义域|上的导数大于零，若对任意的x0• I，曲线目二f ( x)在点(x0, f ( x0))处的切线与直线x =x°及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0) = 2，求f (x)的表达式.【详解】y二f(x)在点(X。