毕氏定理的证明方法

畢氏定理又稱「商高定理」、 「陳子定理」、「勾股定理」
中國以前也叫"畢達哥拉斯定理"。50年代初，曾 展開關於這個定理命名問題的討論。有人主張叫
做「商高定理」，理由是中國在商高時代(約公
元前1100年)已經知道「勾三股四弦五」的關係 早於畢達哥拉斯時代，也有人認為3:4:5的關係， 僅僅是特例，到陳子才提出了普遍的定理，故應
F 6.同理可證
正方形ACFG的面積＝長方形 AHIK的面積 7. ∴.正方形BCDE的面積＋正 方形ACFG的面積＝正方形 ABJK的面積
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證法六
此證明是印度的數 學家巴斯卡拉（公 元1114-1185年） 所做的，他把左上 方兩個圖畫在一起， 而只說一聲
「看！」
後人再畫出左下 方兩個圖，便明 瞭此為畢氏定理 的證明。
即：AC2＋BC2＝AB2
D
LE
<幾何原本>中畢氏定理的證明
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證法二
左下圖的兩個大正方形面 積相等
同時減掉四個相同的直 角三角形
即：弦2＝勾2＋股2
b c
c a
a-b
c
證法三
在中國，最先明確證明勾股定 理的是漢朝數學家趙君卿，他 在注《周髀算經》中，用4個 同樣大小的直角三角形，將他 們拼成左邊的圖形，再用代數 c 式來證明商高定理
大正方形的面積＝4個直角三角 形＋1個小正方形
即a2－2ab＋b2＋2ab＝c2 ∴a2＋b2＝c2
證法四
青出
青 青 出
青 入
朱 朱出
朱 青入 入
劉徽注＜九章算術＞裡的商高定理 證明
劉徽注文：「勾自 乘為朱方，股自乘 為青方，令出入相 補，各從其類，因 就其餘不動也，合 成弦方之羃。」

畢氏定理
• 圖中較深色的部分為『出』，較淺色的則是 『入』。從圖中可見，深綠色的是一個正方形， 以『股』為邊；深紅色的也是一個正方形，以 『勾』為邊。經過分合之後，得出一個以『弦』 為邊的大正方形。即是： 『股』正方面積 +『勾』正方面積 =『弦』正方 面積，即是， 股2 + 勾2 = 弦2 『勾股定理』由此得證。
畢氏定理
82833 宋遠澤
什麼是畢氏定理??
• 西方國家普遍相信「畢氏定理」是由 古希臘數學家畢達哥拉斯 (Pythagoras, 公 元前 572 至公元前 492 年)發現的，或者是 至少是由他證明的。其實早在公元前 1100 年左右，中國數學家商高已發現「勾三、 股四、弦五」的關係，並用它作計算及測 量，所以此定理又稱「勾股定理」或「商 高定理」。勾指直角三角形中短的直角邊， 股為長的直角邊，弦為斜邊。
畢氏定理應用
• 把三角形邊上的正方形，改成相似的圖 形，也會滿足：兩股上的圖形面積和等於 斜邊上的面積！
畢氏定理運用
• • • • • • 畢氏定理中的 a2 + b2 = c2 a2 = a*a 邊長為a 的正方型面積來表示 圖中的藍正方形 A'''AC'A' b2 = b*b 邊長為b的正方形面積來表示 圖中的紅正方形 AB''A''D 兩個淡黃色的三角形 a、b為兩股，c為斜邊的直角三角形 左淡黃色三角形以A’為中心做逆時鐘旋轉90度 即為右圖的三角形 A’I’C’’ 右淡黃色三角形以A”為中心順時中旋轉90度 即為右圖的三角形 A”B’I =
試題
請問x等於多少
ห้องสมุดไป่ตู้
結答
• 16+9= • •

畢氏定理⏹直角 C 的對邊c ，是直角三角形 最長的邊，稱為斜邊⏹與直角相鄰的兩條邊a 和b ， 稱為直角邊AB Cbac直角三角形兩條直角邊的長度與斜邊的長度，有甚麼關係呢?可用畢氏定理計算找出黃色正方形的面積及其邊的長度。

⏹黃色⏹黃色6243=⨯=25)64()77(=⨯-⨯=525==34可否將黃色部份表示成兩個較小的正方形?345面積=52IIIIIIIV34IIIIIIIV 43344334IIIIIIIV43344334將部份I 及III; 部份II 及IV 拼湊在一起將部份I 及III; 部份II 及IV 拼湊在一起面積=52IIIIIIIV34可以用動畫演示拼湊過程?⏹黃色正方形邊長 = 5 (*邊長:紅線) ⏹黃色正方形的面積 = 52 ⏹兩個較小的黃色正方形的面積總和 = 32 + 42⏹∴ 32 + 42 = 52面積=52 IIIIII IV 3 4 面積=32面積=42考慮一般的情況:面積=a2面積=c2面積=b2⏹黃色正方形邊長 = c (*邊長:紅線)⏹黃色正方形的面積 = c2⏹兩個較小的黃色正方形的面積總和 = a2 + b2⏹∴ c2 = a2 + b2A BCa bcc 2 = a 2 + b 2百牛定理⏹勾⏹股⏹弦《周髀算經》《周髀算經》：「勾股各自乘，並而開方除之。

」即弦 = √勾2 + 股2或弦2 = 勾2 + 股2畢氏定理又稱勾股定理或商高定理•畢氏定理又稱「勾股定理」或「商高定理」。

三角形勾股定理公式勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem 或Pythagoras's theorem ）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称百牛定理”在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。

而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

公式在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方二斜线C的平方这就是勾股定理经典证明方法细讲方法一：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P.••• D、E、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 也Rt △ EBD,••• / EGF = / BED••• / EGF + / GEF = 90°,••• / BED + / GEF = 90°，••• / BEG =180 — 90° = 90 °又••• AB = BE = EG = GA = c ，••• ABEG是一个边长为c的正方形.••• / ABC + / CBE = 90°••• Rt △ ABC也Rt △ EBD,••• / ABC = / EBD.••• / EBD + / CBE = 90°即 / CBD=90又••• / BDE = 90°,/ BCP = 90BC = BD = a.••• BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG!—个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则J••• BDPC的面积也为S, HPFG勺面积也为S由此可推出：a A2+b A2=c A2方法二作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF, AE为边长做正方形FCJI和AEIG••• EF=DF-DE=b-a EI=b ,••• FI=a ,G,I,J在同一直线上，-CJ=CF=a CB=CD=c/ CJB = / CFD = 90° ,••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD ,同理,Rt △ ABG^ Rt △ ADE••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD 也Rt △ ABG也Rt △ ADE•••/ ABG = / BCJ,v/ BCJ +/ CBJ= 90° ,•••/ ABG +Z CBJ= 90° ,v/ ABC= 90••• G,B,I,J在同一直线上,所以a A2+b A2=c A2勾股数的相关介绍①观察3, 4, 5;5, 12, 13;7, 24, 25;…发现这些勾股数都是奇数，且从 3 起就没有间断过。