自回归移动平均模型(课堂PPT)
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自回归移动平均模型
12
线性时间序列
z 如果要生成一个不独立的序列，我们可以利用白
噪声的线性组合，
∞
∑ xt = at +ψ 1at−1 +ψ 2at−2 + ... = ψ j at− j
j=0
z 其中，ψ0=1，{at}为白噪声序列。
z 平实均际而上生，成上观式测将序白列噪x声t。{a依t}这的种现方行式值生和成过的去过值程的 称为线性过程，实际上是移动平均过程。
矩都不随时间的变化而变化。
{ } { } z 强平稳表明了 xt1 和 xt1+k的概率分布相同，
z
xt1 , xt2 的联合分布和 xt1+k , xt2 +的k 联合分布相同，…，
{ } { } z xt1 , xt2 ," xtn 同。
的联合分布和
xt1 , xt2 ," xtn
的联合分布相
7
z 2研与,…究其}时过间间去的序值动{列态xt{-相1x,t}x关的t-2性,目…。的}存如，在果就着用是线线分性性析关模xt系与型。其分过析去，值意{x味t-1着, x3xt-t
滞后算子
z 滞后算子“L”是这样定义的 Lxt = xt−1
z Lxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1
z 自相关函数(ACF)定义为， ρk = γ k γ 0
z 间对系“，于相它每似可个”的以k，度作ρ量为k是。xt过的程一在次相实隔现时与间时为移kk的后一的对同值一的次相实关现关之 z 注=要ρ。意-k。，自ρk相只关是函k的数函在数建，立与自观回测归值移的动时平期均t无模关型，时而非且常，重ρk
z 因此，当k=0时，则 γ 0 − φγ −1 = σ 2 = γ 0 − φγ 1
线性时间序列
z 如果要生成一个不独立的序列，我们可以利用白
噪声的线性组合，
∞
∑ xt = at +ψ 1at−1 +ψ 2at−2 + ... = ψ j at− j
j=0
z 其中，ψ0=1，{at}为白噪声序列。
z 平实均际而上生，成上观式测将序白列噪x声t。{a依t}这的种现方行式值生和成过的去过值程的 称为线性过程，实际上是移动平均过程。
矩都不随时间的变化而变化。
{ } { } z 强平稳表明了 xt1 和 xt1+k的概率分布相同，
z
xt1 , xt2 的联合分布和 xt1+k , xt2 +的k 联合分布相同，…，
{ } { } z xt1 , xt2 ," xtn 同。
的联合分布和
xt1 , xt2 ," xtn
的联合分布相
7
z 2研与,…究其}时过间间去的序值动{列态xt{-相1x,t}x关的t-2性,目…。的}存如，在果就着用是线线分性性析关模xt系与型。其分过析去，值意{x味t-1着, x3xt-t
滞后算子
z 滞后算子“L”是这样定义的 Lxt = xt−1
z Lxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1
z 自相关函数(ACF)定义为， ρk = γ k γ 0
z 间对系“，于相它每似可个”的以k，度作ρ量为k是。xt过的程一在次相实隔现时与间时为移kk的后一的对同值一的次相实关现关之 z 注=要ρ。意-k。，自ρk相只关是函k的数函在数建，立与自观回测归值移的动时平期均t无模关型，时而非且常，重ρk
z 因此，当k=0时，则 γ 0 − φγ −1 = σ 2 = γ 0 − φγ 1
第2讲-自回归求和移动平均模型4
2.4 ARIMA模型
自回归求和移动平均模型
前面我们围绕着平稳时间序列的问题进行讨论。 但是，在实际应用中，我们经常会遇见不满足平 稳性的时间序列，尤其在经济领域和商业领域中 的时间序列多数都是非平稳的。
图1是美国1961年1月—1985年12月16-19岁失业女
性人数的月度数据；图2是美国1871年—1979年烟草
d阶差分
xt (1 B) xt (1)
d d i 0
d
i
i Cd xt i
导致非平稳的原因？
均值非平稳 （差分处理）
方差与协方差非平稳 （变换处理）
非二阶矩过程 （随机游走，差分平稳）
均值非平稳
均值非平稳性将对于时变均值函数的估计提出各种问题， 我们将引入两种比较常用的模型。
d d 1 d 1 i i 0 d i d t i
一阶差分 xt xt xt 1 xt Bxt (1 B) xt
二阶差分
xt (xt ) xt xt 1 ( xt xt 1 ) ( xt 1 xt 2 )
2
xt 2 xt 1 xt 2 (1 2 B B 2
上述的确定性趋势可以通过差分运算加以消除。
对于最简单的线性趋势 ，易得 X t X t 1 1 t t 1
X t 的一阶差分序列 Yt
Yt X t X t 1 X t 1 t
则 Yt 是一个平稳。
如果趋势为k次多项式
稳时间序列的作用。
一阶差分的定义
二阶和d阶差分定义为
xt xt xt 1
2 xt xt xt 1 ( xt xt 1 ) ( xt 1 xt 2 ) xt 2 xt 1 xt 2 L xt xt xt 1 (1) C x
自回归求和移动平均模型
前面我们围绕着平稳时间序列的问题进行讨论。 但是，在实际应用中，我们经常会遇见不满足平 稳性的时间序列，尤其在经济领域和商业领域中 的时间序列多数都是非平稳的。
图1是美国1961年1月—1985年12月16-19岁失业女
性人数的月度数据；图2是美国1871年—1979年烟草
d阶差分
xt (1 B) xt (1)
d d i 0
d
i
i Cd xt i
导致非平稳的原因？
均值非平稳 （差分处理）
方差与协方差非平稳 （变换处理）
非二阶矩过程 （随机游走，差分平稳）
均值非平稳
均值非平稳性将对于时变均值函数的估计提出各种问题， 我们将引入两种比较常用的模型。
d d 1 d 1 i i 0 d i d t i
一阶差分 xt xt xt 1 xt Bxt (1 B) xt
二阶差分
xt (xt ) xt xt 1 ( xt xt 1 ) ( xt 1 xt 2 )
2
xt 2 xt 1 xt 2 (1 2 B B 2
上述的确定性趋势可以通过差分运算加以消除。
对于最简单的线性趋势 ，易得 X t X t 1 1 t t 1
X t 的一阶差分序列 Yt
Yt X t X t 1 X t 1 t
则 Yt 是一个平稳。
如果趋势为k次多项式
稳时间序列的作用。
一阶差分的定义
二阶和d阶差分定义为
xt xt xt 1
2 xt xt xt 1 ( xt xt 1 ) ( xt 1 xt 2 ) xt 2 xt 1 xt 2 L xt xt xt 1 (1) C x
ARIMA模型-自回归移动平均模型
自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)[编辑]什么是ARIMA模型?ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归, p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
[编辑]ARIMA模型的基本思想ARIMA模型的基本思想是：[编辑]ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
（四）进行参数估计，检验是否具有统计意义。
（五）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（六）利用已通过检验的模型进行预测分析。
[编辑]相关链接[编辑]各国的box-jenkins模型名称[编辑]ARlMA模型案例分析[编辑]案例一:ARlMA模型在海关税收预测中的应用2008年。
16189-数学建模-培训课件-ARIMA模型
什么是ARIMA模型?ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归,p为自回归项;MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
ARIMA模型的基本思想ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
（四）进行参数估计，检验是否具有统计意义。
（五）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（六）利用已通过检验的模型进行预测分析。
ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）ARMA模型概述ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
自回归滑动平均模型讲课文档
Yt
1 (B)
Zt
iZt i
i0
是明确定义的，因而是因果的。
第十九页，共36页。
第19页，共36页。
3.3.4 AR 模型的协方差结构
给定一个因果 AR(p)模型，我们有
(k) E(YtYt k ) E
iZt i
Zl t k l
i0
l0
2 i0
i ki
例 3.2 对于 AR(1)模型Yt Yt 1 Zt ，我们有 i
1, 2 。
根据定理 3.2，条件 i
1, i 1, 2 ，保证了{Yt}是因果的。可以证明
这个条件等价于下列三个不等式：
1 2 1，
1
2
1，
2 1。
(3.9)
第二十二页，共36页。
第22页，共36页。
为了看出为什么有此结果，设此 AR(2)过程是因果的。于是，其特征多
是(3.4)的平稳解。然而可以证
j
明(见习题 1)对于一个新定义的噪音{Zt} i.i.d.(0, 2 ) ，{Yt}也满足
Yt
1Yt 1 Zt , Zt i.i.d.(0, 2 ) 。
因此，不失一般性，我们可以仅仅考虑因果过程！对于 AR(1)情形，因
果表达式是 Yt
。 Zj
j0
tj
第十四页，共36页。
形式上，AR(p)模型{Yt}可以写为 (B)Yt Zt ，这里 (B) (1 1B
pBp) ，
BYt Yt 1 。于是，Yt 1Yt 1
pYt p Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1 称{Yt}为 AR(p)过程，如果
(i) {Yt}是平稳的； (ii) 对所有的 t ，{Yt}满足 (B)Yt Zt 。
自回归滑动平均模型演示文稿
自回归滑动平均模型 演示文稿
（优选）自回归滑动 平均模型
3.2 滑动平均模型
设{Zt}是具有均值为零方差为 2 的独立同分布的随机变量序列并用 Zt i.i.d.(0, 2 ) 表示之。假如我们只要求{Zt}是不相关的而不必是独立的， 则{Zt}有时被称为白噪音序列并用 Zt WN(0, 2) 表示之。从直观上说，这 意味着序列{Zt}是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用 {Zt}表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt WN(0, 2 ) 或者意味着 Zt i.i.d.(0, 2 ) 或者意味着{Zt}是具有均值为零方差为 2 的不相关的随机变 量序列。用 {Z t } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
Yt
1 Zt 1 1 Yt !
1
11
1
Zt 1
Yt 2
Zt 2
1
1
Zt 1
2 Zt 2
。 1
Y k 1 t k 1
因此， Yt
j 1 jZt j 是(3.4 模型Yt
Zt
1Zt
。它的相关函数满足
1
1,
k 0,
Y (k)
1 (1
2 1
),
0,
k 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1
Xt Zt
Zt 1
1
那么有 X (k) Y (k) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
更可取呢？
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
Zt Yt 1Zt 1 Yt 1(Yt 1 1Zt 2 )
（优选）自回归滑动 平均模型
3.2 滑动平均模型
设{Zt}是具有均值为零方差为 2 的独立同分布的随机变量序列并用 Zt i.i.d.(0, 2 ) 表示之。假如我们只要求{Zt}是不相关的而不必是独立的， 则{Zt}有时被称为白噪音序列并用 Zt WN(0, 2) 表示之。从直观上说，这 意味着序列{Zt}是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用 {Zt}表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt WN(0, 2 ) 或者意味着 Zt i.i.d.(0, 2 ) 或者意味着{Zt}是具有均值为零方差为 2 的不相关的随机变 量序列。用 {Z t } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
Yt
1 Zt 1 1 Yt !
1
11
1
Zt 1
Yt 2
Zt 2
1
1
Zt 1
2 Zt 2
。 1
Y k 1 t k 1
因此， Yt
j 1 jZt j 是(3.4 模型Yt
Zt
1Zt
。它的相关函数满足
1
1,
k 0,
Y (k)
1 (1
2 1
),
0,
k 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1
Xt Zt
Zt 1
1
那么有 X (k) Y (k) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
更可取呢？
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
Zt Yt 1Zt 1 Yt 1(Yt 1 1Zt 2 )
时间序列分析第二章 自回归模型 ppt课件
单摆的120个观测值(a=-0.35)
8
6
4
2
0
-2
-4
0
20
40
60
80
100
120
时间序列分析第二章 自回归模型
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
100
120
时间序列分析第二章 自回归模型
单摆的10000个观测值(a=1)：
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
在某种意义下收敛，就定义
j
j
() bjj j
()Xt bjj Xt bj Xtj
j
j
并称B是时间t的后向推移算子，简称推移算子。
推移算子有称为时滞算子或延迟算子，推移算子的性质：
（1）对和t无关的随机变量Y有BY=Y，
（2）B n(a X t)a B nX ta X t n （3）B n m X t B n (B m )X t X t n m
p
(6) 对时间序列{ X t } ，{ Y t } ,多项式 (z) c j z j 和随机变量U,V,W有
j0 ( B ) ( U X t V Y t W ) U ( B ) X t V ( B ) Y t W ( 1 )
时间序列分析第二章 自回归模型
二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 a 1,a2, ap,ap0,我们称
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
时间序列分析第二章 自回归模型
自回归移动平均模型
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
3 t 3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var
( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var (xt
)
2
1
2
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var (xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
等,则称xt 为随机过程 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
0 1, k k , k 1
自相关函数的估计
T
ˆx
(xt x)(xtk x)
t 1 T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T t 1
xt
平稳序列的判断
ARMA模型ppt课件
k
k 1, j k j
j 1
k 1
1 k 1, j j
j 1
k 1 k 2,3,
k 其中 k 是滞后 期的自相关系数，
kj k1, j kkk1,k j , j 1, 2, , k 1
9
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2 , , p 称为自回归系数，是待估参数.
随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定
Xt
均值为0，否则令
X
t
Xt
3
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
【6】
注4：ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 (B) 的根均在单位圆外
可逆条件是滞后多项式 (B) 的根都在单位圆外 7
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
二、随机时间序列的特性分析
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 Xt , Xt1, Xt2, , Xtk 之间的简单
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
4
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 Xt：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差
项的线性函数，即可表示为
X t ut 1ut1 2ut2 qutq 【3】
式【3】称为 q阶移动平均模型，记为MA（ q ）
移动平均法PPT课件
组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预 测值。
在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实 际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新 观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值， 再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一 新的移动平均值就作为下一期的预测值。
3
2.一次移动平均方法的两种极端情况 在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数
实际观测值
203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 259.5
α=0.3
— 203.8 206.9 213.8 216.8 218.0 212.1 210.8 216.1 213.2 217.3 226.5
指数平滑法
三个月移动平均值
215.9 222.6 224.8 214.6 209.0 211.6 214.3 220.6 227.0
五个月移动平均值
218.4 217.4 216.1 215.8 212.4 213.6 223.5
8
2019/12/25
9
• 某公司2003年—2010年某种产品产量如下表所示：
N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；
N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测 值。
当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样
有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；
反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，
这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也
少。
4
3.一次移动平均方法的应用公式
12
由一次指数平滑法的通式可见：
一次指数平滑法是一种加权预测，权数为α。
在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实 际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新 观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值， 再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一 新的移动平均值就作为下一期的预测值。
3
2.一次移动平均方法的两种极端情况 在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数
实际观测值
203.8 214.1 229.9 223.7 220.7 198.4 207.8 228.5 206.5 226.8 247.8 259.5
α=0.3
— 203.8 206.9 213.8 216.8 218.0 212.1 210.8 216.1 213.2 217.3 226.5
指数平滑法
三个月移动平均值
215.9 222.6 224.8 214.6 209.0 211.6 214.3 220.6 227.0
五个月移动平均值
218.4 217.4 216.1 215.8 212.4 213.6 223.5
8
2019/12/25
9
• 某公司2003年—2010年某种产品产量如下表所示：
N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；
N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测 值。
当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样
有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；
反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，
这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也
少。
4
3.一次移动平均方法的应用公式
12
由一次指数平滑法的通式可见：
一次指数平滑法是一种加权预测，权数为α。
自回归滑动平均模型课件
，比一阶时小多了
平稳序列时序图
非平稳序列时序图
ARMA(1,1)，MA(1)
对ARMA(2,1)， 若
则
→ ARMA(1,1)
若
则
→ MA(1)
ARMA(2,1)适用性检查：
① 是否为白噪声： 方法同前： ，
②过拟合检验 再建立多阶模型ARMA(3,2)
若 ， 都接近0，且其置信区间包含0，则认为
有
当
时，展开
即 可化为 的线性组合
于是：
的均值：
所以
（算子定义）
② 的方差：
3.模型适用检查
模型建立之后，要进行适用性检查，最根本 的是检查 是否为白噪声
对
检查两方面：
（1） 是否与
无关
即计算 的自相关函数：
若 很小，则合格，
不用算了。
（2） 是否与
无关
若
很小时，则认为无关。
例：
所以建模为： 计算残差：
存在关系：
这反映： ①在同一t时刻，两个随机变量之间的相关性与时间无关，是
静态的 ②在t时刻 回归到
现若一个时间序列 以 ， 组成数据对：
也存在相关关系：
则①此式反映同一随机变量在不同时刻的相关性。
这种相关性与时间有关（t→t-1）,因此是一种动态模型
②此种回归是 示为：
回归到
本身，称为自回归，因此表
ARMA(2,1)是适用的。
③检查残差的平方和S是否显著减小 对于ARMA(2,1)
方差
若S(2,1)比S(1)显著减小，ARMA(2,1)适用 若S(3,2)比S(2,1)无显著减小，ARMA(2,1)适用
ARMA(n,m)模型
对于系统分析，AR的阶数总比MA的阶数高。 取ARMA(n,n-1)：
平稳序列时序图
非平稳序列时序图
ARMA(1,1)，MA(1)
对ARMA(2,1)， 若
则
→ ARMA(1,1)
若
则
→ MA(1)
ARMA(2,1)适用性检查：
① 是否为白噪声： 方法同前： ，
②过拟合检验 再建立多阶模型ARMA(3,2)
若 ， 都接近0，且其置信区间包含0，则认为
有
当
时，展开
即 可化为 的线性组合
于是：
的均值：
所以
（算子定义）
② 的方差：
3.模型适用检查
模型建立之后，要进行适用性检查，最根本 的是检查 是否为白噪声
对
检查两方面：
（1） 是否与
无关
即计算 的自相关函数：
若 很小，则合格，
不用算了。
（2） 是否与
无关
若
很小时，则认为无关。
例：
所以建模为： 计算残差：
存在关系：
这反映： ①在同一t时刻，两个随机变量之间的相关性与时间无关，是
静态的 ②在t时刻 回归到
现若一个时间序列 以 ， 组成数据对：
也存在相关关系：
则①此式反映同一随机变量在不同时刻的相关性。
这种相关性与时间有关（t→t-1）,因此是一种动态模型
②此种回归是 示为：
回归到
本身，称为自回归，因此表
ARMA(2,1)是适用的。
③检查残差的平方和S是否显著减小 对于ARMA(2,1)
方差
若S(2,1)比S(1)显著减小，ARMA(2,1)适用 若S(3,2)比S(2,1)无显著减小，ARMA(2,1)适用
ARMA(n,m)模型
对于系统分析，AR的阶数总比MA的阶数高。 取ARMA(n,n-1)：
自回归移动平均模型
第二章 自回归移动平均模型一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由Box 和Jenkins 创立的ARMA 模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息，并由此对时间序列的变化进行建模和预测。
第一节 ARMA 模型的基本原理ARMA 模型由三种基本的模型构成：自回归模型（AR ，Auto-regressive Model ），移动平均模型（MA ，Moving Average Model ）以及自回归移动平均模型（ARMA ，Auto-regressive Moving Average Model ）。
2.1.1 自回归模型的基本原理 1．AR 模型的基本形式AR 模型的一般形式如下：t p t p t t t y y y y εφφφ+++++=--- 2211c其中，c 为常数项， p φφφ 21, 模型的系数，t ε为白噪声序列。
我们称上述方程为p 阶自回归模型，记为AR(p )。
2．AR 模型的平稳性此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。
即若时间序列}{t y 是平稳的，即μ=)(t y E ，2)(σ=t y Var ，2),(s s t t y y Cov σ=-。
为了描述的方便，对式（2.1）的滞后项引入滞后算子。
若1-=t t x y ，定义算子“L ”，使得1-==t t t x Lx y ，L 称为滞后算子。
由此可知，k t t kx x L -=。
对于式子（2.1），可利用滞后算子改写为：t t p p t t t y L y L Ly y εφφφ+++++= 221c移项整理，可得：t t p p y L L L εφφφ+=----c )1(221AR(p )的平稳性条件为方程01221=----pp L L L φφφ 的解均位于单位圆外。
3．AR 模型的统计性质（1）AR 模型的均值。
假设AR(p )模型是平稳的，对AR(p )模型两边取期望可得：)c (E )(Ε2211t p t p t t t y y y y εφφφ+++++=---根据平稳序列的定义知，μ=)(E t y ，由于随即干扰项为白噪声序列，所以0)(E =t ε，因此上式可化简为：021)1(φμφφφ=----p所以，pφφφφμ----=2101（2）AR 模型的方差。
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只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation
function)：
T k
(Yt Y )(Yt k Y )
ˆk t 1 T
(Y数值 ρk 是否为0， 可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白
噪声生成，则对所有k > 0， k ~ N(0, 1/T )
二、趋势平稳与差分平稳随机过程
1. 确定性时间趋势
描述非平稳经济时间序列一般有两种方法，一 种方法是包含一个确定性时间趋势：
Yt atut
(*)
其中 ut 是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。
这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(*)
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
13
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现， 如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的， 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随 机误差项仍然满足极限法则。
5
3. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列：
Xt = t ， t ~ N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。 由定义知：白噪声序列是平稳的。
6
另一个简单的随机时间列序被称为随机游走 (random walk)，该序列由如下随机过程生成：
Xt = Xt-1 + t 这里，t 是一个白噪声, t ~ N(0,2)。
该序列 同均值，但方差不同：
• E(Xt ) = E(Xt -1)
X1 = X0 + 1 X2 = X1 + 2 = X0 + 1 + 2
就是平稳的。 如果Yt 是二阶齐次非平稳过程，则序列：
Wt = Yt − Yt-1= 2Yt 就是平稳的。
9
5. 单整与非单整
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列，也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。
• 为了检验所有k > 0的自相关函数 ρk 都为0的联 合假设，可以采用Box-Pierce的Q 统计量：
K
QT(T 2)
ˆk2
k1T k
• Q 统计量近似地服从自由度为k 的 2分布。如 果计算出Q 值大于显著性水平 α下的临界值，就
有1-α的把握拒绝所有k (k > 0)同时为0的原假设。
12
• I(0)代表平稳时间序列。
• 多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单 整的(non-integrated)。
10
6. 自相关函数、Q统计量
随机时间序列Yt 的自相关函数(autocorrelation function, ACF)：
k=k / 0
自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
对一个随机过程只有一个实现(样本), 因此，
……
Xt = X0 + 1 + 2 +… + t
• var(Xt ) = t2， Xt的方差与时间 t 有关，而非常
数，因此随机游走是非平稳序列。
7
4. 齐次非平稳过程
对随机游走序列Xt取一阶差分(first difference)：
Xt XtXt1t
由于 t 是一个白噪声，则序列{ΔXt }是平稳的。
前提假设：时间序列是由某个随机过程 (Stochastic process) 生成的。即，假定序列 X1,X2,…,XT 的每一个数值都是从一个概率分布中 随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就 得到该随机过程的一个可能结果或实现 (realization)。
3
1. 时间序列的平稳性
假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即 假定时间序列Xt的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果时间序列Xt 满足：
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k
有关，与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)， 而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
4
2. 平稳性与经典回归
经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机 抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项 满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而 进行的参数估计和统计推断是可靠的。
以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定， 则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重 要问题。
这提示我们如果一个时间序列是非平稳的，常 常可以通过取差分的方法形成平稳序列。
如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多 次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列 的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平 稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。
8
如果Yt 是一阶齐次非平稳过程，则序列： Wt =Yt −Yt-1= Yt
第四章 时间序列计量经济学模型的 理论与方法
第一节 随机时间序列的特征 第二节 随机时间序列分析模型 第三节 协整分析与误差修正模型 第四节 向量自回归模型
1
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
2
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
14
2. 差分平稳过程
非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，
得到具有平稳性的序列，考虑下式
yt ayt1ut
(*)
也可写成： yt(1L )yta u t
(**)
其中 a 是常数, ut 是一个白噪声序列。式(*)的差分 序列是含漂移 a 的随机游走，说明 yt 的差分序列 yt是平稳序列。 （**）式中L表示滞后算子。
Y t a 1 t 2 t 2 L n t n u t (**)
t = 1, 2, , T 同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。