2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x （2x+1）=0 （2）3x （x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x -+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题． 对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0；方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m ）为210 4.9x x-．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P47随堂练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
2．4 用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程；(重点)2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(难点)一、情景导入王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形的边长相等，矩形土地的长为80m ，工作人员说，正方形土地的面积是矩形面积的一半．你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝0 解析：把(x －3)看成一个整体，利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x －3)(x ＋1)－(x －3)＝0，所以(x －3)(x ＋1－1)＝0，即x －3＝0或x ＝0，所以原方程的解为x 1＝3，x 2＝0.故答案为D.易错提醒：解形如ax 2＝bx 的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x ，得到x＝ba，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x 1＝0，x 2＝ba.如本题中易出现在方程两边同除以(x －3)，从而得到x ＝0的错误．探究点二：选用适当的方法解一元二次方程用适当的方法解方程： (1)3x (x ＋5)＝5(x ＋5)；(2)3x 2＝4x ＋1；(3)5x 2＝4x －1. 解：(1)原方程可变形为3x (x ＋5)－5(x ＋5)＝0，即(x ＋5)(3x －5)＝0，∴x ＋5＝0或3x －5＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝53；(2)将方程化为一般形式，得3x 2－4x －1＝0.这里a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x ＝4±282×3＝4±276＝2±73，∴x 1＝2＋73，x 2＝2－73；(3)将方程化为一般形式，得5x 2－4x ＋1＝0.这里a ＝5，b ＝－4，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程没有实数根．方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解法或直接开平方法的选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b 2－4ac 的值，若b 2－4ac ＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法．三、板书设计用因式分解法求解一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧步骤⎩⎪⎨⎪⎧①移项，将方程的右边化为0②把方程的左边分解成两个一次 因式的积③令每个因式分别等于0，得到两 个一元一次方程④解这两个一元一次方程选用适当的方法解一元二次方程经历因式分解法解一元二次方程的探索过程，发展学生合情合理的推理能力．积极探索方程不同的解法，体验解决问题方法的多样性．通过交流发现最优解法，在学习活动中获得成功的体验.。
北师大初中数学
九年级
重点知识精选
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．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
讲练结合法
教学后记
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用公式法解正确；
，是非同解变形，结果丢掉一根，
解，正确。
解：（
你能用因式分解法解方程
x=0
一边为
成两个一次因式时，就可用分
）分解因式时，用公板书设计：
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们
更理性地看待人生。
2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－32．方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝03．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝34．在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，解得x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是( )A．甲的错误，乙的正确B．甲的正确，乙的错误C．两人的都正确D．两人的都错误二、填空题5．一元二次方程7x2＝2x的解为____________．6．一元二次方程x(x－1)＝x的解是__________．7．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，则x2＋bx＋c分解因式的结果是______________．8．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．9．已知(x2＋4x－5)0＝x2－4x＋5，则x＝________．三、解答题10．解下列方程：(1)4x2－225＝0；(2)5x2＋20x＋20＝0；(3)(2x－1)2＝3x(2x－1)；(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(5)2(t－1)2＋t＝1；(6)2(x－3)2＝x2－9；(7)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.11．请选择适当的方法解下列方程：(1)(2x＋3)2－25＝0；(2)x2＋2x－224＝0；(3)2x(x－3)＝x－3；(4)2x2＋4x＝－1.12．已知一个等腰三角形的三边长都满足方程(x－3)(x＋3)＝10(x－3)，求这个等腰三角形的周长．13．阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x2－10x＋21＝0；②x2＋2x＝8；③x2－5x－6＝0.14 阅读例题，解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0.解：当x≥0时，原方程变形得x2－x－2＝0，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝2；当x＜0时，原方程变形得x2＋x－2＝0，解得x＝1(不合题意，舍去)或x＝－2. 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－2.依照上述解法解方程：x2－|x－1|－1＝0.1．[答案] D 2．[答案] C3．[解析] D 由原方程移项，得 (x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)(x －2－1)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 故选D .4．[解析] A (x ＋2)(x －2)＝5.整理，得x 2－9＝0.分解因式，得(x ＋3)(x －3)＝0，则x ＋3＝0或x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3.所以甲的错误，乙的正确．故选A .5．[答案] x 1＝0，x 2＝27[解析] 移项，得7x 2－2x ＝0， 左边分解因式，得x(7x －2)＝0， ∴x ＝0或7x －2＝0， ∴x 1＝0，x 2＝27.故答案为：x 1＝0，x 2＝27.6．[答案] x 1＝0，x 2＝2[解析] 原方程变形，得x(x －1)－x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2. 7．[答案] (x －6)(x ＋2) 8．[答案] 10或11 9．[答案] 2[解析] 依题意知x 2－4x ＋5＝1，x 2－4x ＋4＝0，(x －2)2＝0，解得x 1＝x 2＝2.当x ＝2时，x 2＋4x －5≠0，所以x ＝2符合题意．10．解：(1)利用平方差公式分解因式，得(2x ＋15)(2x －15)＝0， ∴2x ＋15＝0或2x －15＝0， ∴x 1＝－7.5，x 2＝7.5.(2)方程两边同除以5，得x 2＋4x ＋4＝0，写成平方形式，得(x ＋2)2＝0，∴x ＋2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.(3)(2x －1)(－x －1)＝0， ∴x 1＝12，x 2＝－1.(4)[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0， (7x －16)(4－3x)＝0，∴x 1＝167，x 2＝43.(5)2(t －1)2＋(t －1)＝0， (t －1)(2t －1)＝0， ∴t －1＝0或2t －1＝0， ∴t 1＝1，t 2＝12.(6)右边分解因式，得2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.∴x －3＝0或2(x －3)－(x ＋3)＝0. 解得x 1＝3，x 2＝9.(7)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0， (2x ＋1＋2)2＝0，∴x 1＝x 2＝－32.11．解：(1)(2x ＋3)2－25＝0， 2x ＋3＝±5， 解得x 1＝1，x 2＝－4. (2)x 2＋2x －224＝0， x ＋1＝±15，解得x 1＝14，x 2＝－16. (3)2x(x －3)＝x －3， 2x(x －3)－(x －3)＝0， (x －3)(2x －1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝12.(4)2x 2＋4x ＝－1，即2x 2＋4x ＋1＝0， a ＝2，b ＝4，c ＝1，b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8＞0，则x ＝－4±82×2，∴x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22.12．解：由(x －3)(x ＋3)＝10(x －3)， 得(x －3)(x －7)＝0，∴x 1＝3，x 2＝7.(1)当腰长为3，底边长为7时，3＋3<7，不能构成三角形； (2)当腰长为7，底边长为3时，周长l ＝7＋7＋3＝17； (3)当三角形为边长为3的等边三角形时，周长l ＝3×3＝9； (4)当三角形为边长为7的等边三角形时，周长l ＝7×3＝21. 所以这个等腰三角形的周长为9，17或21. 13．解：①分解因式，得(x －3)(x －7)＝0， ∴x －3＝0或x －7＝0，∴x 1＝3，x 2＝7. ②整理，得x 2＋2x －8＝0， 分解因式，得(x －2)(x ＋4)＝0， ∴x －2＝0或x ＋4＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－4.③分解因式，得(x －6)(x ＋1)＝0， ∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.14 解：当x －1≥0，即x ≥1时，原方程变形得x 2－x ＝0，即x(x －1)＝0， 解得x ＝0(不合题意，舍去)或x ＝1；当x －1＜0，即x ＜1时，原方程变形得x 2＋x －2＝0，即(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝1(不合题意，舍去)或x ＝－2. 综上所述，原方程的解是x 1＝1，x 2＝－2.。
