高考数学第1轮总复习 全国统编教材 8.4轨迹和轨迹方程(第2课时) 理

【高三学习指导】高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解【摘要】历届高三同学都有一个共同体会：高三的专项复习见效最快。

高考一轮复习正是打基础，逐一击破的阶段。

同学们一定要有一颗持之以恒的心，的高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解，帮助大家有效复习!符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

2
且与抛物线C交于另一点Q.
若直线l与过点P的切线垂直，
求线段PQ的中点M的轨迹方程.
解：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)， 依题意知x1≠0，y1>0，y2>0. 由 y 1 x2①由①得y′=x,
2
所以过点P的切线的斜率k切=x1.
11
所以直线l的斜率 kl 所以直线l的方程为y -
21 ; 6
解法2：设点P的坐标为(x，y).
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以 x12
y12 4
1,④
x22
y22 4
1.⑤
由④-⑤得
x12
-
x22
1 4
(
y12
-
y22
)
0,
所以
(
x1
-
x2
)(
x1
x2
)
1 4
(
y1
-
y2
)(
y1
y2
)
0.
当x1≠x2时,有
x1
x2
1 4 ( y1
1
1(x 0).
方得则将所法 上 以xy01 -式2Pyyx：2Q11 代--的xy由1222入x中12yk-1②l12点x式12-22Mx1x112并，，12的(所yx整21轨以理x迹221x)x(2，21方x，1-得xx程-02x)10为y.x0x102(yxxx1022-，xx222)1x202 1x2
解：设椭圆下方的焦点为F(x0，y0)， 由定义知 | AF | 1 , 所以|AF|=1，
22
故点F的轨迹方程为(x0-1)2+(y0-2)2=1. 又所设以椭点圆P的下轨方迹顶方点程为是P((xx,-y1)),2则+(x320=yx-,2y0)=2=132. y,

过点(0,1)及A2(
2 ，0)的直线与双曲线只有唯一交点
A2，所以所求轨迹不过(0,1)，同理不过(0，－1)，即x≠0. x2 2 综上所述，所求轨迹方程为 2 ＋y ＝1，x≠0且x≠± 2.
易错点：忽视限制条件求错轨迹方程 如图所示，过点 P(0 ，－ 2) 的直线 l 交抛物线 y2 ＝ 4x 于 A，B两点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M 的轨迹方程．
3 2 1－ x ＋2－y2 2 1 ∴ ＝4 1 22 即9(x－ ) ＋4(y－2)2＝1(x＞0)． 3
22 答案：9(x－3) ＋4(y－2)2＝1(x＞0)
5．设m＜0，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y
＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，则动点M(x，y)的轨迹方程 是__________，表示的曲线为______________． 解析：因为a⊥b，所以a·b＝0， 即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，mx2＋y2－1＝0.
动，将点P的坐标代入已知曲线的方程，从而求得点M的轨迹
方程，这种求轨迹方程的方法称为相关点法 (或代入法、转移 法)．
3．参数法 根据动点的运动规律，选择一个或几个中间变量作为参 数，然后找出动点坐标 x 、y 与参数间的关系式，即得到动点 轨迹的参数方程，再消去参数就得轨迹的普通方程，这种求 轨迹方程的方法叫参数法．
曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过
点P.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点 E、F，求
直线l斜率的取值范围．
解：(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)， P( 3，1)依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB| ＝ 2＋ 32＋12－ 2－ 32＋12＝2 2＜|AB|＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线． 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2,2a＝2 2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2. x2 y2 ∴曲线C的方程为 － ＝1. 2 2

B,则 O、P、A、B 四点共圆且直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2.
解析:①中两圆可能相内切;②中两圆可以相内切、相交、内含;③ 中若两圆相交所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线方程,若 两圆相切应为两圆公切线的方程;④设过点 P 的圆 O 的切线 l,A 为 l 上任意一点且与点 P 不重合. OP =(x0,y0), PA =(x-x0,y-y0)且
考点二 直线与圆的位置关系
【例 2】 (1)(2014 高考浙江卷)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( ) (A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8 (2)(2014 高考安徽卷)过点 P(- 3 ,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共 点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )
(2 3)2 r2 a2,
r 13 r 37.
∴圆的方程为(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37.
反思归纳 (1)求圆的方程,一般采用待定系数法. ①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程. ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程. (2)在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质: ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一弦的垂直平分线上.
1 225 5
d=
=1,
12 22
故弦长为 2 r2 d 2 =2 ( 5)2 12 =4.
5.下列说法正确的序号是
.
①如果两圆只有一个交点,则两圆相外切. ②如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆一定相交. ③联立两圆方程消去 x2,y2 后得到的二元一次方程是两圆公共弦所 在直线方程. ④过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程 x0x+y0y=r2. ⑤过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A、