数列通项公式的十种求法
例1 已知数列{}n a 满足1
232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足1
12313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例4
已知数列{}n a 满足1
132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知数列{}n a 满足1
12(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足
11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
例7 已知数列{}n a 满足1
12356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例8 已知数列{}n a 满足1
135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例9 已知数列{}n a 满足21
123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例10 已知数列{}n a 满足5
1
23n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
例11 已知数列{}n a 满足3(1)21
15n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
例12 已知数列{}n a 满足1122
8(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。
例13 已知数列{}n a
满足1
11
(14116
n n a a a +=
+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例14 已知数列{}n a 满足1
12124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
例15 已知数列{}n a 满足1
172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
一、选择题：
3、等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则
a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于 ( )
A ．2
)12(-n B ．)12(31-n C ．14-n D ．
)14(3
1-n
8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －
1，…的前n 项和为（ ）
A.2n －n －1
B.2n +1－n －2
C.2n
D.2n +1－n
9．已知数列{}n a 的通项公式为n
n n
a 2=，则该数列的前n 项的和为 ( ) A. 242n n +- B. 22
n
n + C. 222n n +- D. 1242n n
++- 11. 数列｛a n ｝中，
n a =
，若s n = 9 ，则n 等于 （ ）
A. 9
B. 10
C. 99
D. 100 三、解答题：
17.（本小题满分10分）已知等差数列{a n }中，a 2=8,前10项和S 10=185.
（1）求通项n a ；
（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项 (2)
项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .
18．（2003年天津文19）已知数列).2(3
,1}{11
1≥+==--n a a a a n n n n 满足
（Ⅰ）求;,32a a （Ⅱ）证明.2
1
3-=n n a 20. 数列{a n }的前n 项和为.64,8}{,53112
+==+=n n n n b b b b n n S 中数列 （1）求通项a n ；
（2）是否存在常数a 、b ，使得对一切自然数n 都有b b a n a n +=log 成立.若存在，
求出a 、b 的值；若不存在，说明理由.
21.设数列{n a }的首项1a =1前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈N,n ≥2)． （1） 求证数列{n a }是等比数列；
（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1
(
1
-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．
22.数列｛a n ｝满足a 1=1,a n =
1
2
a n-1+1 (n ≥２) ⑴ 写出数列｛a n ｝的前５项；
⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式。
答 案
3.D 8. B 9. C 11.C 二、解答题：
17.（本小题满分10分）已知等差数列{a n }中，a 2=8,前10项和S 10=185.
（1）求通项；
（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .
考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】 （1）设{a n }公差为d ,有
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+18529
1010811d a d a 解得a 1=5,d =3∴a n =a 1+(n －1)d =3n +2(2)∵b n =a n 2=3×2n +2 ∴T n =b 1+b 2+…+b n =(3×21+2)+(3×22+2)+…+(3×2n +2)=3(21+22+…+2n )+2n =6×2n
+2n －6.
18． （Ⅰ）∵a 1=1 . ∴a 2=3+1=4, a 3=32+4=13 . （Ⅱ）证明：由已知a n －a n －1=3n －
1,故
.
2
1
3133
3
)()()(2
1
1
12211-=++++=+-++-+-=-----n n n n n n n n a a a a a a a a 所以
证得2
1
3-=n n a
20. 数列{a n }的前n 项和为.64,8}{,53112
+==+=n n n n b b b b n n S 中数列 （1）求通项a n ；
（2）是否存在常数a 、b ，使得对一切自然数n 都有b b a n a n +=log 成立.若存在，
求出a 、b 的值；若不存在，说明理由.
解：①.8,2623n n n b n a -=+=
②假设存在这样的a ,b ，使得对一切自然数n 都有,log 成立b b a n a n +=
则.8log 38log 8log )23(8log log 26223a a a n a n a b n b n b b b n ++=+-=+=+=+--
令⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩
⎪⎨⎧-===⎩⎨⎧+==--.11,
21,8log 32)21(8,8log 32,8log 662
62b a b a b a a a 即∴存在这样的数.11,21==b a
21. 分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与
n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公
式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得
t
t a 33
22+=
， 于是t t a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，
t
s t ts n n 3)32(321=+---（
n=3,4
，
…
…
），
两
式
相
减
，
得
0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ，即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ．于是，得
t
t a a n n 33
21+=-（n=3,4……）． ……②综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为t t 332+的等比数列．（2）解 由（1），得3
2
1332)(+=+=t t t t f ，32)1(
11+==--n n n b b f b 即3
2
1=
--n n b b ． 22. 数列｛a n ｝满足a 1=1,a n =
1
2
a n-1+1 (n ≥２) ⑴ 写出数列｛a n ｝的前５项； ⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式。
