必修3统计、概率专题
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【题目1】如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .【题目2】已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .【题目3】按下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图.已知图甲中从左向右第一组的频数为4000. 在样本中记月收入在[)1000,1500，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n = ▲ ；图乙输出的S = ▲ ．（用数字作答）【题目4】某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.【引申探究5】某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客候车时间不超过10分钟的概率.【引申探究6】某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到达车站立即上车的概率.【题目7】伴随着新高考的改革，全国各地均采用“3+3”高考新模式：即语文、数学、英语三门课必选，物理、化学、生物、政治、历史、地理六门功课中任选3门，如：语文+数学+英语+政治+历史+地理就是一个班级组合.某生物理特别突出，他首选物理，不选历史，则按照新方案，他选择班级组合的概率是多大？【题目8】某中学为了了解学生课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是【题目9】已知,,a b c 为集合{1,2,3,4,5}A =中三个不同的数，通过如图所示算法流程图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数5a =的概率是【题目10】将容量为100的样本拆分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下的三组的频数成等比数列，其公比为整数且不为1，求剩下的三组中频数最大的一组的频率.专题一 与抛骰子有关的古典概率类型题知识归纳 梳理重点 化解难点正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；古典概型的概率计算公式： ().A P A =包含的基本事件个数总的基本事件个数探究应用 动手动脑 不断探索【题目11】将一颗骰子先后抛掷２次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数之和是３的倍数的结果有多少种？(3)两数之和是３的倍数的概率是多少？【变式训练12】(1)向上的点数之和是13的概率是多少?(2) 向上的点数之和不超过12的概率是多少?(3) 向上的点数之和为奇数的概率是多少?(4) 向上的点数之和为质数的概率是多少?(5) 向上的点数之积为奇数的概率是多少?(6) 向上的点数之积为偶数的概率是多少?(7) 向上的点数之积为3的倍数的概率是多少?(8) 向上的点数之积为5的倍数的概率是多少?(9) 向上的点数第一次记为x ,第二次记为y ,求2log ()x y +=3的概率.专题二 与正方体涂色有关的古典概率类型题知识归纳 梳理重点 化解难点正确理解古典概型的两大特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等；古典概型的概率计算公式： ().A P A =包含的基本事件个数总的基本事件个数探究应用 动手动脑 不断探索【题目13】如图，边长为１的红色小正方体与白色小正方体相间堆成一个4×4×4大正方体（同色正方体都没有相邻的面），从中任选一个小正方体，选中红色正方体的概率是多少？【变式训练14】(1) 一个各面都涂有红色的正方体，被锯成33327⨯⨯=个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：①有一面涂有红色的概率；②有两面涂有红色的概率；③有三面涂有红色的概率；④表面上均无红色的概率.(2) 一个各面都涂有红色的正方体，被锯成1010101000⨯⨯=个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：①有一面涂有红色的概率；②有两面涂有红色的概率；③有三面涂有红色的概率. ④表面上均无红色的概率.(3) 一个各面都涂有红色的正方体，被锯成3(3)n n n n n ⨯⨯=≥个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：①有一面涂有红色的概率；②有两面涂有红色的概率；③有三面涂有红色的概率；④表面上均无红色的概率知识归纳 梳理重点 化解难点（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：d P D 的测度的测度探究应用 动手动脑 不断探索【题目15】在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币直径的2倍,向方框中投硬币. 若硬币中心必须落在正方形框内，求硬币完全落入正方形内的概率.【变式训练16】在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币直径的2倍,向方框中投硬币. 若硬币完全落在正方形外的忽略不计，求硬币完全落入正方形内的概率.知识归纳 梳理重点 化解难点（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式： d P D =的测度的测度探究应用 动手动脑 不断探索【题目17】如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：①AOC ∆为钝角三角形的概率；②AOC ∆为锐角三角形的概率．【变式训练18】如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，过点A 任作一直线交直线OB 于点C.试求：①AOC ∆为钝角三角形的概率；②AOC ∆为锐角三角形的概率．【题目19】在平面直角坐标系中，已知点(4,0),(0,4),,P Q M N 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线PQ 相切，当圆C 的面积最小时，在四边形MPQN 内任取一点，则该点落在圆C 内的概率为___________.【题目1】如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 . 【答案】8π 【解析】由于点落在正方形内的每一点都是等可能的，故属于几何概型， 由几何概型公式2211228d P D ππ⋅===的测度的测度. 因此该点落在半圆内的概率为8π.【题目2】已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 . 【答案】13【解析】4张卡片，从中任取2张的方法总数为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，共6种，其中2张卡片中最小号码是2的有(2,3),(2,4)，2种，故由几何概型公式，这2张卡片中最小号码是2的概率为2163P ==. 【题目3】按下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图.已知图甲中从左向右第一组的频数为4000. 在样本中记月收入在[)1000,1500，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n = ▲ ；图乙输出的S = ▲ ．（用数字作答）【答案】10000 ，6000【解析】∵第一组的频率为0.00085000.4p =⨯=，∴4000100000.4n == . 图乙中，输出234561100001000040006000S A A A A A A =++++= -= - = .【题目4】某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.【思路分析】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，先根据题意，得出d 与D 的测度，再根据几何概型公式计算出结果.【详细解答】如图所示线段中，设相邻两班车的发车时刻为1212,,15T T TT =.设0203,10T T TT ==，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为时间A .则当乘客到站时刻t 落到1TT 上时，事件A 发生.∵112153102,15TT TT =--==，∴1122()15TT P A TT ==. 【题后反思】解决此类问题时，每隔15分钟有一辆车发出，基本事件的长度是15分钟，不是18分钟，这是易错点.【引申探究5】某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客候车时间不超过10分钟的概率. 【参考答案】1121315TT P T T == 【引申探究6】某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到达车站立即上车的概率. 【参考答案】021231155T T P TT === 【题目7】伴随着新高考的改革，全国各地均采用“3+3”高考新模式：即语文、数学、英语三门课必选，物理、化学、生物、政治、历史、地理六门功课中任选3门，如：语文+数学+英语+政治+历史+地理就是一个班级组合.某生物理特别突出，他首选物理，不选历史，则按照新方案，他选择班级组合的概率是多大？【思路分析】本题主要考查古典概型问题，将所有班级组合一一列举出来，再从中找出符合题意的班级组合.【详细解答】总共班级组合有（物、化、生），（物、化、政），（物、化、历），（物、化、地），（物、政、生），（物、历、生），（物、地、生），（政、化、生），（历、化、生），（地、化、生），（物、政、历），（政、化、历），（历、政、生），（物、政、地），（政、化、地），（政、地、生），（物、历、地），（历、化、地），（历、地、生），（政、历、地）20种，其中符合题意的班级组合有（物、化、生），（物、化、政），（物、化、地），（物、政、生），（物、地、生），（物、政、地）6种，根据古典概型计算公式，概率为632010P ==.【题后反思】【题目8】某中学为了了解学生课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是【思路分析】本.【详细解答】600.【题后反思】【题目9】已知,,a b c 为集合{1,2,3,4,5}A =中三个不同的数，通过如图所示算法流程图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数5a =的概率是【思路分析】本. 【详细解答】63105P ==. 【题后反思】【题目10】将容量为100的样本拆分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下的三组的频数成等比数列，其公比为整数且不为1，求剩下的三组中频数最大的一组的频率.解析：设三组数分别为2,,(,,1)a aq aq a q N q *∈>，则2221(1)21a aq aq a q q ++=⇒++=，又因为213q q ++>，所以22171a q q =<++ q 是整数 a ∴是21的正约数，故1a =或3a =，当1a =时，2121(4)(5)04q q q q q ++=⇒-+=⇒=，5q =-舍去！频数最大的一组是216aq =，频数最大的一组的频率是0.16.当3a =时，217(2)(3)02q q q q q ++=⇒-+=⇒=，3q =-舍去！频数最大的一组是212aq =，频数最大的一组的频率是0.12.新课标教学下的概率四专题柳金爱【关键词】概率|专题|古典概型|几何概型 【内容摘要】为了在具体情境中了解随机事件发生的不确性及频率的稳定性,需要进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别。
