第一轮复习讲义知识点二十四简单的线性规划问题

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【解析】 x－3y＋6≥0 表示直线 x－3y＋6＝0 及其右下方部分，x－y＋2＜0 表示直线 x－y ＋2＝0 左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B. 答案 B
变式练习 3：不等式( x －2 y ＋1)( x ＋ y －3)≤0 在坐标平面内表示的区域（用阴影部分
表示） ，应是下列图形中的( )
简 单 的 线 性 规 则 问 题
考 点 知 识 梳 理 一、二元一次不等式（组）表示的平面区域
1、一般地，二元一次不等式 A x ＋B y ＋C＞0 在平面直角坐标系中表示直线 A x ＋B y ＋C ＝0 某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线。 不等式 A x ＋B y ＋C≥0 所表示的平面 区域包括边界直线，把边界直线画成实线。 2、对直线 A x ＋B y ＋C＝0 同一侧的所有点( x ， y )，代入 A x ＋B y ＋C 所得值的符号都 相同， 所以只需取一个特殊点( x 0 ，y 0 )作为测试点， 由 A x 0 ＋B y 0 ＋C 的符号可判断 A x ＋ B y ＋C＞0 表示的是直线 A x ＋B y ＋C＝0 哪一侧的平面区域。 3、不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
四、利用数形结合寻求最优解的一般步骤
（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域 （2）确定目标函数 z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有： （设 a 、 b 为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如 z ＝ a x ＋ b y ，则有 y ＝－
a z x ＋ ，从而 z 的 b b
变式练习 1：下列各点中，不在 x ＋ y －1≤0 表示的平面区域内的是(
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A：(0，0)
B：(－1，1)
C：(－1，3)
D：(2，－3)
【解析】 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合.答案 C
x 3 y 6 0 变式练习 2：不等式组 x y 2 0
表示的平面区域是(
取值与动直线的纵截距相关，要注意 b 的符号，若 b ＞0，则 z 的最大值与纵截距最大值相 关；若 b ＜0，则 z 的最大值与纵截距最小值相关。 ② 分式——与斜率相关（分式） ：例如 z ＝ 定点( a ， b )连线的斜率。 ③ 含平方和——与距离相关：例如 z ＝ ( x a) ＋ ( x b) ：可理解为 z 是可行域中的点
三、如何在直角坐标系中作出可行域：
（1）画直线：先做出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的 两个特殊点（比如坐标轴上的点） ，以便快速做出直线； （2）定虚实：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
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（3）定区域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1) 或(1，0)来验证。
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y b ：可理解为 z 是可行域中的点( x ， y ， b )距离的平方。 （3）根据 z 的意义寻找最优解，以及 z 的范围（或最值） 。
五、线性目标函数影响最优解选取的要素
（1）在斜率符号相同的情况下：｜ k ｜越大，则直线越“陡” 。
（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 确 。 ． ． （3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可 能达到最值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．． 的最优解有无数多个（位于可行域的边界上） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （4）当目标函数的斜率含参数时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以 约束条件中同符号的斜率作为分界点。
例 1：思考辨析（在括号内打“√”或“×” ） （1） 不等式 A x ＋B y ＋C＞0 表示的平面区域一定在直线 A x ＋B y ＋C＝0 的上方。 ( （2）线性目标函数的最优解可能是不唯一的。( ) （3）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上。( )
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（4）在目标函数 z ＝ a x ＋ b y ( b ≠0)中，z 的几何意义是直线 a x ＋ b y － z ＝0 在 y 轴上的截距。( ) 【解析】 (1)不等式 x－y＋1>0 表示的平面区域在直线 x－y＋1＝0 的下方. z (4)直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截距是 .答案 (1)× (2)√ b (3)√ (4)× )
x－2y＋1≥0， x－2y＋1≤0， 【解析】 (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒ 或 画出平面区域后，C x＋y－3≤0 x＋y－3≥0.
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x y 2 例 2：若变量 x ， y 满足约束条件 x 1 则 z ＝2 x ＋ y 的最 y 0
二、线性规划的相关概念
名称 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义
由 x 、 y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对 x，y 的约 束条件 关于 x 、 y 的解析式 关于 x 、 y 的一次解析式 满足线性约束条件 的解( x ， y ) ．．．．．． 所有可行解 组成的集合 ．．． 使目标函数达到最大值 或最小值 的可行解 ．．． ．．． 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值 的问题 ．．． ．．．
大值和最小值分别为( ) A：4 和 3 B：4 和 2 C：3 和 2 D：2 和 0 【解析】 ：选 B 画出可行域如图，作 l0∶2x＋y＝0，所以当直线 z ＝2x＋y 过 A(2,0)时 z 最大，过 B(1,0)时 z 最小，zmax＝4，zmin＝2.
x y 2 例 3：若变量 x ， y 满足约束条件 x 1 则 z ＝2 x － y 的最大 y 0