第一章 概率论的基本概念一、随机事件其运算1．随机试验、样本点和样本空间(1)随机试验随机试验具有如下特点的试验．1、在相同的条件下，试验可以重复进行．2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个．3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω．随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件．在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件．3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ⊂．B A ⊂⇔A ∈∀ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系设A ,B 为二事件，若B A ⊂并且A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．(3)事件的并设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．(4)事件的交设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差设A ,B 为二事件，称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A −．B A − }|{B A ∉∈=ωωω且．见图1—5．(6)互不相容关系设A ,B 为二事件，若A ,B 不能同时发生，称A ,B 互不相容或互斥，记为AB φ=． A ,B 互不相容⇔AB φ=，见图1—6． (7)对立事件设A 为一事件，称事件“A 不发生”为A 的余事件或A 的对立事件，记为A ．A =A −Ω，即φ=Ω=+A A A A ，，见图1—7．(8)完备事件组 构成完备事件组，若,,,,21n H H H )( 21j i H H H H H j i n ≠=Ω=++++φ， ．换句话说，如果有限个或可数个事件两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组． ,,,,21n H H H 4．事件的运算法则对于任意事件，，有C B A ,, ,,,,21n A A A (1) 交换律 A B B A A B B A ∩∩∪∪==，．(2) 结合律 C B A C B A ∪∪∪∪)()(=；C B A C B A ∩∩∩∩)()(=．(3) 分配律 ；)()()(C A B A C B A ∩∪∩∪∩=)()()(C A B A C B A ∪∩∪∩∪=．() ∪∩∪ ∪∩ ∪∪ ∪∩)()(11n n A A A A A A A =． (4) 对偶律 ，；B A B A B A B A ∪∩∩∪==∩∩ ∩ ∪∪ ∪n n A A 11=； ∪∪ ∪ ∩∩ ∩n n A A 11=．下列关系和运算要熟记：Ω⊂⊂A φ；；B A B A B A ∪∩⊂⊂)(或B B A A B A B A ==⇒⊂∪∩且；A B A ⊂−；φ=−⇒⊂B A B A ；φφ=A ∩；A A =∪φ；φ=Ω；Ω=φ；A B B A ⊂⇒⊂；AB A B A B A −==−∩；)(A B A B A ∪∪=．【例1】写出下列随机试验的样本空间： (1)从袋中任取3个球，记录取球的结果．(2)从袋中不放回地接连取出3个球，记录取球的结果． (3)从袋中有放回地接连取出3个球，记录取球的结果．(4)从袋中不放回地一个一个地取球，直到取得白球为止录取球的结果．【例2】今有3个球、4个盒子．写出下列随机试验的样本空间：(1)将3个球任意地放入4个盒子中去、每个盒子放入的球数不限，记录放球的结果． (2)将3个球放入4个盒子中去，每个盒子至多放入1个球，记录放球的结果．【例3】写出下列随机试验的样本空间： (1)在上任取一点，记录其坐标． )1,0((2)将一尺之捶折成三段，记录三段的长度 (3)在上任取三点，记录三点的坐标．)1,0(【例4】写出下列随机试验的样本空间，用样本点的集合表示所述事件，并讨论它们之间的相互关系．(1)袋中有3个白球和2个黑球，从其中任取2个球，令A 表示 “取出的全是白球”，B 表示“取出的全是黑球”，表示“取出的球颜色相同”， (C i A 2,1=i )表示“取出的2个球中恰有i 个白球”，表示“取出的2个球中至少有1个白球”． D (2)袋中有2个正品和2个次品，从袋中有放回地接连抽取产品3次，每次任取1件，令 ()表示“第次取出的是正品”，i A 3,2,1=i i B 表示“3次都取得正品”． (3)从l，2，3，4这4个数字中，任取—数，取后放回，然后再任取一数．先后取了3次，令A 表示“3次取出的数不超过3”，B 表示“3次取出的数不超过2”，表示“3次取出的数的最大者为3”．C (4)将3个球任意地放入4个盒子中去，令A 表示“恰有3个盒子中各有1球”，B 表示“至少有2个球放入同1个盒子中”．【例5】设为3事件，试用表示下列事件： C B A ,,C B A ,,(1)至少有1个发生． C B A ,, (2)都不发生．C B A ,,(3)不都发生．C B A ,,(4)不多于1个发生． C B A ,,【例6】什么样的事件X 满足下列等式： (1)B A X A X =)()(∪∪∪． (2)．B A X A ∪∪=(3)． )()(C B C A X AB ∪∩∪∪=二、事件的概率及其性质1．事件概率的定义(1)古典概型满足下列条件的随机试验，称为古典概型．10 有限性：样本点的总数是有限的；20等可能性：所有基本事件是等可能的；①概率的定义：设随机试验为古典概型，样本空间为},,{1n ωω =Ω，A 是一个事件．},,{1r i i A ωω =，则事件的概率为含样本点的个数含样本点的个数Ω==A n r A P )(． ②概率的性质：对于古典概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30有限可加性：若两两互不相容，则n A A A ,,,21 ∑===ni i n i i A P A P 11)()(∪．(2)几何概型满足下列条件的随机试验，称为几何概型．10有限性：样本空间是直线、二维或三维空间中度量(长度、面积或体积)有限的区间或区域．20均匀性：样本点在样本空间上是均匀分布的(可通俗地称为是等可能的) ．①概率的定义：在几何概型中，Ω为样本空间，A 是一个事件，定义事件A 的概率)()()(Ω=L A L A P ． 其中,分别是)(A L )(ΩL A ,的度量．Ω②概率的性质：对于几何概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(3)事件的频率和性质以及概率的统计定义①事件的频率：将试验重复独立地进行次，若其中事件n A 发生了次，则称为A n A n A 在这n 次试验中出现的频数，称比值为n n A /A 在这次试验中出现的频率，记为，即．n )(A f n =)(A n f n n A /②频率的性质：事件的频率有如下性质： 101)(0≤≤A f n ． 20．1)(=ΩP 30 若两两互不相容，则m A A A ,,,21 ∑===mi i n m i i n A f A f 11)()(∪．2．概率的公理化定义及性质(1)概率的公理化定义设随机试验E 的样本空间为，以ΩE 的所有随机事件组成的集合(即的一些子集组成的集合)为定义域，定义一个函数(Ω)(A P A 为任意随机事件)，即任意一个随机事件A 与一个实数，且满足：)(A P 10．0)(≥A P 20．1)(=ΩP 30 可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(2)概率的性质 100)(=φP ．20 有限可加性：若两两互不相容，则．n A A A ,,,21 ∑===ni in i iA P A P 11)()(∪30可减性：如果B A ⊂，则)()()(A P B P A B P −=−，)()(B P A P ≤⇒． （无条件等式)()()(AB P B P A B P −=−） 40对于任意事件A ，有1)(≤A P ． 50一般加法公式：==)(1∪n i i A P ∑=ni i A P 1)(∑≤<≤−nj i j i A A P 1)( ++∑≤<<≤nk j i k j i A A A P 1)()()1(211n n A A A P −−+【例7】袋中有3个白球及5个黑球，(1)从袋中任取4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率．(2)从袋中不放回地接连取出4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率． (3)从袋中有放回地接连取出 4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率．【例8】设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间()，求下列事件的概率：n N N n < 事件：某指定的间房中各有1个人． 1A n 事件：恰有间房各有1个人． 2A n 韦件：某指定的房间中有个人．3A k 事件：当4A N n =时，恰有一间房空着．【例9】编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的车皮随机地发往三个地区,和的各2，3和4节，求发往同一地区的车皮编号相邻的概率． 1E 2E 3E【例10】从0,1,2,…,9这10个数字中任取1个，取后放回，先后取了6个数字，求下列事件的概率：事件：6个数字全不相同． 1A 事件：不含0与9． 2A 事件：0恰好出现2次． 3A 事件：至少出现2个0．4A 事件：6个数字中最大的是6． 5A 事件：6个数字的总和是20．6A【例11】有5名插班生，其中有3名男生、2名女生．现将他们按每班1人任意地分配到编号为1—5的5个班中去，求下列事件的概率：事件：3名男生被分到班号相连的3个班中．1A 事件：至少有2个男生被分到的班号或2个女生被分到的班号相连． 2A【例12】从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2 (n r ≤2)只，求下列事件的概率： 事件：所取1A r 2只鞋子中只有2只成双 事件：所取2A r 2只鞋子中至少有2只成双．事件：所取3A r 2只鞍子恰成r 双．【例13】在线段AB 上任取一点，该点将AB 分成两段，求下列事件的概率： 事件：其中一段大于另一段的倍． 1A m 事件：其中每一段都小于另一段的倍．2A m【例14】设只1个泊位的码头有甲、乙两艘船停靠，2船各自可能在1昼夜的任何时刻到达．设两艘船停靠的时间分别为1小时和2小时，求下列事件的概率： 事件：码头空闲超过2小时．1A 事件：一艘船要停靠必须等待一段时间． 2A【例15】在线段上任取3个点，求下列事件的概率： AC 321,,A A A 事件：位于与之间．1B 2A 1A 1A 事件：能构成1个三角形． 2B 321,,AA AA AA【例16】若,5.0)(=A P 4.0)(=B P ,3.0)(=−B A P ，求和)(B A P ∪)(B A P ∪.【例17】对于任意两个互不相容的事件A 与B ，以下等式中只有一个不正确，它是： (A) ；)()(A P B A P =−(B) )()(A P B A P =−1)(−+B A P ∪； (C) )()()(B P A P B A P −=−； (D) ； (E) )())()((A P B A B A P =−∩∪)()()(B A P A P B A P ∪−=−.三、条件概率和乘法公式1．条件概率的定义及性质(1)条件概率的定义设为两个事件，，则称B A ,0)(>B P )()()|(B P AB P B A P =为B 发生的条件下A 的条件概率．(2)条件概率的性质 条件概率满足： 10． 0)|(≥B A P 20．1)|(=ΩB P 30可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)|()|(i i i i B A P B A P ∪．2．关于条件概率的三个定理(1)乘法公式若，则0)(>A P )()()(A B P A P AB P =． 推广 若，则0)(21>n A A A P )()()()(12112121−=n n n A A A A P A A P A P A A A P ．(2)全概率公式设是样本空间的一个划分（或称为完备事件组），即两两不交：n B B B ,,,21 Ωn B B B ,,,21 j i B B j i ≠=,φ，且Ω=n B B B ∪ ∪∪21．则∑==ni i i B P B A P A P 1)()|()(．(3)贝叶斯公式设是样本空间Ω的一个划分，若事件n B B B ,,,21 A 满足：，则有0)(>A P n i B P BA PB P B A P A B P nj j ji i i ,,2,1,)()|()()|()|(1==∑=．)(i B P （），通常叫先验概率．，（n i ,,2,1 =)|(A B P i n i ,,2,1 =），通常称为后验概率．如果我们把A 当作观察的“结果”，而理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断．n B B B ,,,21【例18】在3重努利试验中，设5.0)(=A P ，若已知A 至少出现1次，求A 至少出现1次的概率．【例19】口袋个装有个白球、个黑球，一次取出球，发现都是同一颜色的球，求它们都是黑球的概率． 12−n n 2n【例20】假设一个人在一年内患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布；正在销售的一种药品A 对于75%的人可以将患感冒的次数平均降低到3次，而对于25%的人无效．现在有某人试用此药一年，结果在试用期患感冒两次，试求此药有效的概率α．【例21】对产品作抽样检验时，每100件为一批，逐批进行．对每批检验时，从其中任取1件作检查，如果是次品，就认为这批产品不合格；如果是合格品，则再检查下件．检验过的产品不放回．如此连续检查5件．如果检查5件产品都是合格品，则认为这批产品合格而被接受．假定一批产中有5％是次品，求这批产品被接受的概率．【例22】加工零件需要经过两道工序，第—道工序出现合格品的概率为0.9，出现次品的概今为0.1第一道工序加工出来的合格的，在第二道工序中出现合格品的概率为0.8，出现次品的概率为0.2；第一道工序加工出来的次品，在第二道工序出现次品或出现废品的概率都是0.5．分别求经过两道工序加工出来的零件是合格品、次品、废品的概率．【例23】在某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25％，35％，40％，并且在各自的产品中．废品各占5％，4％，2％，从产品中任取1件，求它是废品的概率．若取出的是废品，分别求它是甲、乙、丙机器生产的概率．【例24】乒乓球盒内有12个球，其中9个是新球．第一次比赛时任取3个使用，用后放回．第二次比赛时再任取3个球，求此3个球全是新球的概率．若第二次取出的3个球全是新球，求第一次取出使用的3个球也是新球的概率．【例25】袋中装有5个白球和2个黑球，从中任取5个放入一个空袋中．再从这个袋的5个球做任取3个球放入另一个空袋个．最后从第三个袋中任取1球，求从第三个袋中取出白球的概率．若从第三个袋取出的是白球，分别求从第一个袋中取出放入第二个袋的5个球全是白球的概率、从第二个袋中取出放入第三个袋的3个球全是白球的概率．四、事件的独立性1．二事件的独立性定义 设为二事件，若B A ,)()()(B P A P AB P =，则称相互独立． B A , 性质 若，则相互独立的充要条件是)0(>A P B A ,)()|(B P A B P =． 定理 若相互独立，则B A ,A 与B ，A 与B ，A 与B 均独立． 2．三个或三个以上事件的独立性（1）三个事件相互独立 设为三个事件，若满足： C B A ,,)()()(B P A P AB P =； )()()(C P A P AC P =；)()()(C P B P BC P =；)()()()(C P B P A P ABC P =，则称相互独立，简称独立.C B A ,,C B A ,,若只满足上面的前三个式子，称两两独立．两两独立，未必相互独立. C B A ,,C B A ,,（2）个事件相互独立 如果n 个事件满足：n n A A A ,,,21 )()()(j i j i A P A P A A P =， n j i ≤<≤1， 共个等式； 2nC )()()()(k j i k j i A P A P A P A A A P =， n k j i ≤<<≤1 共个等式； 3nC … … … … … … … … … … … … … … … … … …)()()()(2121n n A P A P A P A A A P = 共个等式 nn C 这等式成立，则称相互独立，简称独立．1232−−=+++n C C C n nn n n n A A A ,,,21 n A A A ,,,21 若相互独立，是中的个事件，则相互独立．n A A A ,,,21 k i i i A A A ,,,21 n A A A ,,,21 k k i i i A A A ,,,21若相互独立，将任意n A A A ,,,21 m )1(n m ≤≤个事件换成它的对立事件后，所得个事件仍独立．n 若相互独立，则．n A A A ,,,21 ∏==−−=ni in i iA P A P 11))(1(1)(∪3．独立试验序列概型贝努利试验 对一个试验E ，如果只考虑两个结果A 和A ，且，p A P =)(q p A P =−=1)(，则称E 为贝努利试验．n 重贝努利试验 将贝努利试验E 重复独立地做次，称为n 重贝努利试验．n 二项概率公式 在n 重贝努利试验中，若用表示在n 次试验中k n A ,A 出现次，则k kn k k n k n q p C A P −=)(,，，n k ,,1,0 =p q −=1．【例26】设有两门高射炮，每—门击中飞机的概率都是0.6，求同时射击一发炮弹能击中飞机的概率．若欲以99％的概率击中飞机，求至少需要多少门高射炮同时射击．【例27】今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，甲先射，谁先命中谁得胜，分别求甲、乙获胜的概率． 1p 2p【例28】甲、乙二人进行下棋比赛，假设每局甲胜的概率为α，乙胜的概率为β，且1=+βα，在每局比赛中谁获胜谁得1分．如果谁的积分多于对方2分，谁就获得全场的胜利，分别求甲、乙二人获得全场胜利的概率．【例29】检查产品质量时，从其中连续抽查若干件，如果废品不超过2件，则认为这批产品合格而被接收．现有一大批产品，其废品率为0.1． (1)若连续抽查10件．求这批产品被接收的概率．(2)为使这批产品被接收的概率不超过0.9．应至少抽查多少件产品．【例30】保险公司为某年龄段的人设计一项人寿保险，投保人在1月1日向保险公司交纳保险费10元，1年内若投保人死亡，家属可向保险公司领取5000元，已知在1年内该年龄段的人的死亡率为0.0005，(1)若有10000人投保，水保险公司获利不少于50000元的概率． (2)若有7000人投保，求保险公司亏损的概率．。
