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第9章 真空中的静电场9.1 两个电量都是q +的点电荷分别固定在真空中两点A B 、，相距2a 。
在它们连线的中垂线上放一个电量为q '的点电荷，q '到A B 、连线中点的距离为r 。
求q '所受的静电力，并讨论q '在A B 、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q '在A B 、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就q '与q 同号和异号两种情况进行讨论。
解：()1222014qq F F a r πε'==+ ()1322022cos 2qq rF F arθπε'==+方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。
令0dFdr= ()()()1222223220202a r a r dF qq dr a r πε⎡⎤+-'⎢⎥==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()2220a r -=r = 在q '为正电荷时，在中垂线某位置由静止释放时，q '将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q '为负电荷，q '以AB 连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB 连线中点，静止释放时，无论q '为正、负电荷均因受力为0而不运动。
9.2 在正方形的顶点上各放一个点电荷q 。
（1）证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零。
（2）若在正方形中心放一个点电荷q '，使得顶点上每个点电荷受到的合力恰好为零，求q'与q的关系。
解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：220011422qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭q'所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q'受力为0。
⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：1214qqFaπε=22142qqFaπε=32200112442qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q'应为负电荷。
真空中的静电场习题班级 姓名 学号 成绩一、选择题1、一个带电体可作为点电荷处理的条件是【 】(A)电荷必须呈球形分布 (B)带电体的线度很小 (C)带电体的线度与其它有关长度相比可以忽略不计 (D)电量很小2、下面列出的真空中的静电场的场强公式哪个是正确的？【 】(A) 点电荷的电场: )4/(20r q E πε=(B)“无限长”均匀带电直线(电荷线密度λ)的电场: r r E302πελ=(C)“无限大”均匀带电平面(电荷面密度σ)的电场: 02εσ±=E(D)半径为Ｒ的均匀带电球面(电荷面密度σ)外的电场: r rR E302εσ= 3、一高斯面所包围的体积内电量代数和0=∑iq，则可以肯定：【 】 (A)高斯面上各点场强均为零 (B)穿过高斯面上每一面元的电通量均为零 (C)穿过整个高斯面的电通量为零 (D)以上说法都不对4、一点电荷放在球形高斯面的中心处。
下列哪种情况通过高斯面的电通量发生变化【 】 （A ）将另一点电荷放在高斯面外 （Ｂ）将另一点电荷放在高斯面内 （C ）将球心处的点电荷移开,但仍在高斯面内 （D ）将高斯面半径缩小5、如图所示，CDEF 为一矩形，边长分别为l 和2l 。
在FC 延长线上CA =l 处A 点有一点电荷q +，在CD 的中点有一点电荷q -.若将单位正电荷从C 点沿路径CDEFC 移到D 点,则电场力作的功等于【 】(A)l l q--51540πε(B)55140-l q πε (C)51540-l qπε(D)31340-l qπε6、在点电荷q +的电场中，若取P 处为电势零点，则M 点的电势为【 】 (A) )4(0a q πε (B) )8(0a q πε (C) )4(0a q πε- (D))80a q πε-7、关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是【 】 （A ）在电场中，场强为零的点，其电势必为零 （B ）在电场中，电势为零的点，其场强必为零（C ）在电势不变的空间中，场强处处为零 （D ）在场强不变的空间，电势处处为零8、在真空中半径分别为R 和2R 的两个同心球面，其上分别均匀带电+q 和-3q 起，今将一带电量为+Q 的带电粒子从内球面处静止释放，则该带电粒子到达外球面时的动能为【 】（A ）)4(0R Qq πε （B ）)20R Qq πε （C ）)8(0R Qq πε （D ）)830R Qq πε二、填空题１、真空中有一均匀带电球面，球半径R ，总带电量Q （Q 大于零），今在球面上挖去一很小面积dS （连同其上电荷），设其余部分电荷仍均匀分布，则挖去以后球心处电场强度为 . 方向为２、如图所示，在边长为a 的正方形平面的中垂线上，距中心O 点2/a 处，有一电量为q 的正点电荷，则通过该平面的电通量为 。
⼤学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案第6章真空中的静电场习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。
⼀试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合⼒等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑⼒的⼤⼩及⽅向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合⼒才可能为0，所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三⾓形的三个顶点。
试问：(1)在这三⾓形的中⼼放⼀个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑⼒之和都为零)?(2)这种平衡与三⾓形的边长有⽆关系?解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由⼒平衡知，q '为负电荷，所以2220)33(π4130cos π412a q q aq'=εε故 q q 3='(2)与三⾓形边长⽆关。
3. 如图所⽰，半径为R 、电荷线密度为1λ的⼀个均匀带电圆环，在其轴线上放⼀长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的⼀端处于圆环中⼼处。
求该直线段受到的电场⼒。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产⽣的场强。
在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产⽣的场强⼤⼩为)(4220R x dq dE +=πε根据电荷分布的对称性知，0==z y E E2322)(41 cos R x xdq dE dE x +==πεθ式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹⾓。
+=23220)(4dq R x xE x πε232210(24R x R x +?=πλπε232201)(2R x xR+=ελ下⾯求直线段受到的电场⼒。
在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场⼒⼤⼩为dq E dF x =dx R x xR 232221)(2+=ελλ⽅向沿x 轴正⽅向。
一． 选择题[ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋λ(x ＜0)和－λ(x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E为(A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D)()j i a+π04ελ． 【提示】左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a )处产生的场强大小E ＋、E －大小为：E E +-==矢量叠加后，合场强大小为：02E aλπε=合，方向如图。
［ B ］ 2（基础训练2） 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为：【提示】由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面。
据Guass 定理：SE dS=iiq ε∑⎰r R ≤时，有：()22012rL=r E L R λππεπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即：20r =2E R λπε r R >时，有：()012rL=E L πλε ，即：0=2rE λπε ［ C ］ 3（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A)06εq ． (B) 012εq． (C) 024εq ． (D) 048εq ．【提示】添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。
则大立方体的外表面构成一个闭合的高斯面。
由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为qε。
另一方面，该高斯面可看成由24个面积与侧面abcd 相等的面组成，且具有对称性。
所以，通过侧面abcd 的电场强度通量等于24εq ［ D ］ 4（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-．【提示】200248P a M M aq qU E dl dr r a πεπε-===⎰⎰［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为：(A)rQ Q 0214επ+． (B) 20210144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1014R Q επ． 【提示】根据带电球面在球内外所激发电势的公式，以及电势叠加原理即可知结果。
第九章 真空中的静电场9–1 如图9-1所示，电量为+q 的三个点电荷，分别放在边长为a 的等边三角形ABC 的三个顶点上，为使每个点电荷受力为零，可在三角形中心处放另一点电荷Q ，则Q 的电量为 。
解：由对称性可知，只要某个顶点上的电荷受力为零即可。
C 处电荷所受合力为零，需使中心处的点电荷Q 对它的引力F 与A ，B 两个顶点处电荷的对它的斥力F 1，F 2三力平衡，如图9-2所示，即 因此 即 解得9-2 真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ 和-λ，点P 1和P 2与两带电线共面，其位置如图9-3所示，取向右为坐标x 正向，则1P E = ，2P E = 。
解：（1）P 1点场强为无限长均匀带电直线λ，-λ在该点产生的场强的矢量和，即 其大小为方向沿x 轴正方向。
（2）同理可得 方向沿x 轴负方向。
9-3 一个点电荷+q 位于一边长为L 的立方体的中心，如图9-4所示，则通过立方体一面的电通量为 。
如果该电荷移到立方体的一个顶角上，那么通过立方体每一面的电通量是 。
解：（1）点电荷+q 位于立方体的中心，则通过立方体的每一面的电通量相等，所以通过每一面的通量为总通量的1/6，根据高斯定理1d in Sq ε⋅=∑⎰⎰E S Ò，其中S 为立方体的各面所形成的闭合高斯面，所以，通过任一面的电通量为0d 6Sqε⋅=⎰⎰E S 。
（2）当电荷+q 移至立方体的一个顶角上，与+q 相连的三个侧面ABCD 、ABFE 、BCHF 上各点的E 均平行于各自的平面，故通过这三个平面的电通量为零，为了求另三个面上的电通量，可以以+q 为中心，补作另外7个大小相同的立方体，形成边长为2L 且与原边平行的大立方体，如图9–5所示，这个大立方体的每一个面的电通电都相等，且均等于6εq ，对原立方体而言，每个面的面积为大立方q AC q Bq 30QF 1F30oF 2图9–2图9-3 P 1P 2xdd2d-λ λq ACq BqQ图9–1图9-4qLqLq2LB CD EFA2L2L体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也为大立方体一个面的电通量的1/4，即此时通过立方体每一面的电通量为0111d 4624S q ε⋅⋅=⎰⎰E S Ò。
（真空中的静电场(习题课后作业)(22)1、真空中半径为R 的球体均匀带电，总电量为q ，则球面上一点的电势U=R q 04/πε；球心处的电势U 0=R q 08/3πε 。
(将均匀带电球体微分成球面,利用电势叠加求得结果)2、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为σ，P 点与平面的垂直距离为d ，若取平面的电势为零，则P 点的电势Up==-Ed 02/εσd -，若在P 点由静止释放一个电子(其质量为m,电量绝对值为e)则电子到达平面的速率V=0/εσm ed 。
(221mv Ue p=)3.如图，在真空中A 点与B 点间距离为2R,OCD 是以B 点为中心，以R 为半径的半圆路径。
AB两处各放有一点电荷，带电量分别为:+q (A 点)和－q (B 点)，则把另一带电量为Q(Q ＜0)的点电荷从D 点沿路径DCO 移到O 点的过程中，电场力所做的功为=-=)(o D U U Q A R Qq 06/πε-。
4、点电荷Q 被闭合曲面S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至曲面外一点，如图所示。
则引入q 前后：( B )(A)曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强不变；(B)曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强变化；(C)曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强不变；(D)曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强变化。
5、选择正确答案：( B )(A)高斯定理只在电荷对称分布时才成立。
(B)高斯定理是普遍适用的，但用来计算场强时，要求电荷分布有一定的对称性。
(C)用高斯定理计算高斯面上各点场强时，该场强是高斯面内电荷激发的。
(D)高斯面内电荷为零，则高斯面上的场强必为零。
6、一无限大平面，开有一个半径为R 的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。
解：利用圆环在其轴线上任一点场强结果2/3220)(4/x R Qx E +=πε任取一细环ρ~ρ+d ρ，ρπρσd dq 2= 2/3220)(4ρπε+=r rdqdE⎰=∞R dE E 222Rr r+=εσ217、真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，(1)试求在直杆延长线上距杆的一端距离为a 的p 点的电场强度和电势。
