质点系动能定理的微分形式

力系的功率 P = 功率方程： 式中 P , P
(a )
动能定理的微分形式： 在质点系运动过程中的任意时刻或任意位形， 质点系动能)
dT = P (a ) + P (c ) dt
分别为主动力和约束力的功率。
动能定理的积分形式
T2 − T1 = W (a ) + W (c ) ，
10-6 一复摆绕 O 点转动如图示。复摆的质量为 m，对其质心 C 的回转半径为 ρ C 。设 OC = x ，问当 x 为何值时，摆从水平位 置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速 度。 解：复摆对 O 点的转动惯量为 J O = mρ C + mx ，动能为
2 2
题 10-6 图
10-2 匀质杆 OA 长 l，质量为 m，绕 O 点转动的角速度为 ω ；匀 质圆盘半径为 r，质量也为 m。求下列三种情况下系统的动能： （1）圆盘固结于杆； （2）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 − ω ； （3）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 ω 。 解： （1）圆盘固结于杆。对 O 点转动惯量为
T=
1 1 2 J Oω 2 = m ρC + x2 ω 2 ， 2 2
(
)
仅重力做功， W = mgx ，由动能定理得：
1 2 m ρC + x 2 ω 2 = mgx ，解出 2
(
)
ω2 =
2 gx 。 ρ + x2
2 C
令 dω dx = 0 ，解得 x =
ρC ，从而有 ω max = g ρ C 。
其中 L = T − V 为拉格朗日函数。 拉格朗日方程的普遍形式
d ∂L ∂L = Q′j − & j ∂q j d t ∂q

θ
ω AB
y
G1
R
δ W = G1δ yC
(b)
A vA ω A
G2
Cv1 dT dT δ W 由dT = δ W,有 ,将式(b)代入,有 (b) = dt dt l d( cosθ ) 3 G2 1 G1 2 G1 l 2 l 2 vA aA + [ l + ]ω ABα AB = G1 = G1 sin θω AB 2 g 12 g g 4 dt 2
T T0 = ∑W
(包括内,外力功)
6-2-1 动能定理的三种形式 6-2-2 动能定理的应用
第六章 质点系动能定理
6-2-1 动能定理的三种形式 1 .微分式
dT = δW
所有力的元功之和
2 .积分式 外主动功 T2 T1 = W1 2 约束功 内 功 对于理想约束,约束力功为零(如光滑铰,光滑面…)
b
图(b)示瞬时,C为BC杆瞬心
θ0
mg mg
(a)
θ0
C
vC = 0 ,ωC = 0
由 T T0 = ∑W 而 T0 = 0,
A
r
m1
(a)
A
B
C
ω AB
(b)
1 1 2 2 T = mb ω AB × 2 2 3
6-2 质点系动能定理
6-2-2 动能定理的应用 代入式(a)得
1 2 2 mb ω AB = Fb sin θ 0 + mgb sin θ 0 3
k
l 2
l 2
(a)
对!弹簧静力与重力在转动时仍平衡,其功之和 为零,可同时不考虑.又如图(b)
k
1 2 V = kδ 2
6-2 质点系动能定理

2. 弹性力的功
设物体受弹性力; 作用点 A 的轨迹为曲 线A1 A2。 在弹性范围内， 弹性力的大小满足：
F

dr
A0
A dr
A2
r
r2
1
A1
r1
O
r0
2
F k
l0
力的方向指向自然位臵（弹簧未变形时端点的位臵A0） 以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。 令沿矢径方向的单位矢量为r0，弹簧的自然长度为l0。 F k (r l0 )r0 则弹性力
称为质点动能定理的微分形式：
dr v dt
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 d ( mv 2 ) W 2
积分： 或

v2
v1
1 d ( mv 2 ) W12 2
1 1 2 mv 2 mv12 W12 2 2
称质点动能定理的积分形式： 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 可见： 力作正功，质点动能增加； 力作负功，质点动能减小。
F k (r l0 )r0
弹簧伸长时r＞ l0 ， 力F与r0的方向相反； 弹簧被压缩时 r＜ l0 ， 力F与r0的方向一致。
F

dr
A0
A dr
A2
r
r2
1 点A由A1到A2时， 弹性力作功为 A2 A2 W F dr k (r l0 )r0 dr
x
重力作功： 与开始和末了位臵（z1-z2）有关； 与运动轨迹的形状无关。
W12
M2
M1
( Xdx Ydy Zdz)
重力作功为： W 12

M1
M2
（矢量式）
（直角坐标表达式）

M2
M1
Xdx Ydy Zdz
三．合力的功 质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R 的功
W R dr ( F1 F2 Fn )dr
M1 M1
M2
M2
F1 dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
第十四章 动 能 定 理
本章重点、难点
⒈重点
力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。
⒉难点
动力学普遍定理的综合应用。
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
作纯滚动，初始时系统静止) 解：① 取系统为研究对象； ② 计算主动力的功；
Байду номын сангаас
W
(F )
m Qh ( h / R)
③ 运动分析计算动能；
T1 0
1 1Q 2 1 2 2 T2 J O A v J C B 2 2g 2 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 R A v R B 2 2g 2g 2 2g v2 (8Q 7 P) 16 g
W k ( r l0 )dr
r 1 r2 r2 r 1
k d ( r l0 ) 2 2
k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 k 即 W ( 1 2 2 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。