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第五章图像恢复与重建

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第五章 图像复原(恢复)

第五章 图像复原(恢复)

即满足所谓的齐次性和叠加性条件，则成系统H为线性系统， 对二维空间函数，如果H还满足：
H [ f ( x − α , y − β )] = g ( x − α , y − β )
则成该系统为线性空间（位置）不变系统，即系统在某 点的响应只与该点的值有关，而与其位置无关。 尽管现实世界多为非线性和空间变化系统，但通常难以 直接解决问题。通常须采用线性系统的成熟理论基础， 把系统进行线性空不变近似来解决图像复原问题。
⋯ he ( j,1) ⋯ he ( j,2) ⋯ he ( j,3) ⋱ ⋮ ⋯ he ( j,0)
17
(3)n是MN 维噪声向量，则最后的退化模型为： n
g = Hf + n
因此，图像复原的过程就是在已知退化图像g的情况下，通过 退化参数H和n的有关先验知识，尽可能对原图像对最好最准 确的估计。
7
5.1.2 连续退化模型
根据二维冲激函数δ(x, y)的卷积取样特性，对线性系统H：
f ( x, y ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
∫∫
f (α , β )δ ( x − α , y − β )dα d β
g ( x, y ) = H [ f ( x, y )] = H[ ∫ = =
+∞ +∞ +∞ +∞
f. 双极脉冲（椒盐）噪声
Pa for z = a p ( z ) = Pb for z = b 0 otherwise
当Pa或Pb中有一个为零时，则称是单极的；当没有一个为零时，称为双 极的，当二者近似相等时，噪声象散布的椒盐粒子，所以通俗叫椒盐噪 声。由于脉冲噪声相对于图像强度大得多，通常被数字化成图像的极值 （纯黑或白）. 以上几种噪声各有特点，可以用于不同场合的噪声建模，见p226。 21

5-第五章-图像恢复

5-第五章-图像恢复

ge (x, y) = ∑∑fe (m,n)he (x −m, y −n) +ne (x, y)
m=0 n=0
M−1N−1
（5.12） ）
y x＝0， 1， 2， L， M − 1； ＝0， 1， 2， L， N − 1
5.1.4 图像的离散退化模型
并进一步可以将式（5.12）表示成矩阵形式： 并进一步可以将式（5.12）表示成矩阵形式：
g e ( x, y) = ∑∑ f e (m, n)he ( x − m, y − n)
m=0 n=0
M −1 N −1
x＝0， 1， 2， L， M − 1；
（5.11） ）
y＝0， 1， 2， L， N − 1
5.1 图像的退化模型
5.1.4 图像的离散退化模型
如果把式（5.1）中的噪声项n(x,y)也离散化， 如果把式（5.1）中的噪声项n(x,y)也离散化，并周 n(x,y)也离散化 期性地延拓成M 个样本，并记为n (x,y)， 期性地延拓成M×N个样本，并记为ne(x,y)，则退化图像 的二维离散模型就可以表示成： 的二维离散模型就可以表示成：
并可以表示为： 并可以表示为：
g(x, y) = H[ f (x, y)] + n(x, y)
（5.1） ）
5.1 图像的退化模型
5.1.3 离散退化模型 1. 一维离散退化模型
是具有A个均匀采样值的一维离散函数 设f(x)是具有 个均匀采样值的一维离散函数， 是具有 个均匀采样值的一维离散函数， h(x)为具有 个均匀采样值的系统脉冲响应， g(x) 为具有C个均匀采样值的系统脉冲响应 为具有 个均匀采样值的系统脉冲响应， 是系统的输出函数。 是系统的输出函数。 当利用卷积计算时， 当利用卷积计算时，由A个样本表示的函数与由 个样本表示的函数与由 C个样本表示的另一个函数进行卷积将得到 个样本表示的另一个函数进行卷积将得到A+C-1个 个样本表示的另一个函数进行卷积将得到 个 样本序列。 样本序列。

图像复原与重建

图像复原与重建

图像退化的数学模型 1.线性位移不变成像系统图像退化模型
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
g(x,y)—退化图像
f(x,y)--理想图像
h(x,y)--点扩散函数
n(x,y)
n(x,y)--加性噪声
f(x,y)
第五章 图像复原与重建
H
降质系统 12
g(x,y)
2020年9月19日11时43分
第五章 图像复原与重建
h(i)
1 ,if L
L 2
i
L 2
0,
其他
(3). 大气湍流造成的图像降质
这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光 时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：
h(i,
j)
K
exp(
i2
2
j2
2
)
式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位 值，σ2可以决定模糊的程度。
找退化原因→建立退化模型→反向推演→ 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程 的先验知识所掌握的精确程度，体现在建立的退 化模型是否合适。
4
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而 是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果 。因此，图像增强可以不顾增强后的图像是 否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退 化的机制和过程等先验知识，据此找出一种 相应的逆处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再 作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。
像，其方法是添加零。即：
f (x, y) fe (x, y) 0
0 x A 1 0 y B 1
其它

第五章+图像恢复与重建

第五章+图像恢复与重建
第五章 图像恢复
图像退化的数学模型 无约束恢复方法 有约束恢复方法 常见模糊图像及其恢复
第一节 图像退化的数学模型
卷积与光学成像系统 图像退化模型 图像恢复过程
一、卷积与成像光学系统
按照电子学中系统分析的观点，任何信号处理单 元都可以描述为一个系统，该系统的特性可由其脉冲 响应函数决定，对应于一个输入信号，其输出信号为 输入信号与系统脉冲响应函数的累积积分。光学成像 系统也可以采用这样的描述方式，只不过将脉冲响应 函数换成点扩展函数（Point Spread Function，PSF）。
二、约束最小二乘恢复
约束最小二乘恢复方法要求恢复过程必须同时满足以 下条件：
min{|| g(x, y) f (x, y) h(x, y) ||2 || n(x, y) ||2}
和
min{|| C f (x, y) ||2}
其中C通常选Laplace算子。
利用Lagrange乘数法求解上述优化问题可以得到约 束最小二乘恢复的滤波函数：
• 实测 • 利用点、线物估计 • 利用既有模型估计 • 利用统计方法估计 • 利用图像频谱分析
选择恢复方法
• Wiener Filter • Inverse Filter • ME • ……
f(x,y)
二、常见图像模糊PSF的数学模型
1、离焦模糊
由于拍摄时对焦不准而导致的图像模糊称之为离焦 模糊。离焦模糊的PSF通常用一个圆盘函数近似：
第三节 有约束恢复
由于噪声的存在，直接进行逆滤波往往不可行。为了 在恢复图像的同时对噪声进行平滑，对恢复过程添加一些 人为设置的约束条件，这样的恢复方法称为有约束恢复 （constrained restoration）。有约束滤波的方法有很多种， 因约束条件的不同而不同。

数字图象处理-Chapter5 图像复原与重建

数字图象处理-Chapter5 图像复原与重建
对任意的 f(x，y)与任意的a，b
退化模型
？ g(x, y) H f (x, y) n(x, y)
g(x, y) f (x, y)* h(x, y) n(x, y)
G(u,v) F(u,v)H u,v N(u,v)
Interpretation
f (x, y) f , x a, y dd
直方图均衡化效果
引言
图像增强与图像复原
图像复原（Restoration）？
原图
退化结果（Degradation）
原图
退化结果（Degradation）
退化 复原
Adobe最新去模糊技术
主要内容
退化模型 噪声模型 空间域去噪方法 频率域图像复原方法 图像重建
图像复原
图像复原方法分类 技术：无约束和有约束 策略：自动和交互 处理所在域：频域和空域 从广义的角度上来看： 几何失真（退化 ）---- 校正（恢复 ） 投影（退化 ）---- 重建（恢复 ）
噪声模型
噪声
最常见退化原因之一：对讲机，手机通话， 电视上的雪花点，手机对音响、电视的干 扰
随机性、规律性
How to acquire H(u,v)?
Estimation by Modeling
H u, v e k u2 v2 5/6
Motion Bluring
g x,
y

T
0
f
x

x0
t,
y

y0
t dt
How to acquire H(u,v)?
H u, v T e j2 ux0tvy0tdt 0

06_第五章-图像复原与重建

06_第五章-图像复原与重建

高斯噪声
高斯随机变量z 的概率密度函数：
p(z)
1
e( z z )2 / 2 2
2
z 表示灰度值，z 表示z 的平均值， 表示z 的标准差
z的70%落在范围 (z ),(z ) z的95%落在范围 (z 2 ),(z 2 )
瑞利噪声
瑞利噪声的概率密度函数：
p(
z)
2 b
(
z
• 带阻滤波器 理想
巴特沃思
高斯
• 带通滤波器
HBP (u, v) 1 H BR (u, v)
noise pattern
• 陷波滤波器
• 最佳陷波滤波
• 当存在几种干扰分量时，之前介绍的方法有时就不能采用了 ，因为他们在滤波过程中可能会消除太多的图像信息 • 另外，干扰成分通常不是单频脉冲，他们通常携带干扰模式 信息的宽边缘，从正常的变换背景中不容易检测到这些边缘
Harmonic Q=1.5
Harmonic Q=-1.5
Wrong Q!
Harmonic Q=-1.5
Harmonic Q=1.5
统计排序滤波器
中值滤波器：f (x, y) mediang(s,t) ( s,t )Sxy
最大值滤波器：f (x, y) max g(s,t) ( s,t )Sxy
f (, )H (x , y )dd
f ( , )h(x,, y, )d d
系统H的 冲激响应
如果 H 是线性、位置不变算子
H (x , y ) h(x , y )
g(x, y) H f (x, y)
f (, )H (x , y )dd
令 ps (zi ), i 0, 1, ..., L -1, 表示 S 中像素灰 度的概率估计（归一化直方图值），

第五章图像恢复和重建


第三节
硬件实现方法
图像重建
为了获得P(t)平行线投影数据，设投影射线为x射线，当x射线
穿过物体时，由于物体内部组织的吸收、散射、反射等作用，会 使射线强度衰减，射线的衰减规律可表达为
N out N in exp( u ( x, y )ds )
s
(5.1)
S为射线方向，u(x,y)为射线穿过物体时的衰减系数，它正好反 映了物体内部的组织性质，这样，u(x,y)表征了物体断面的图象 f(x,y)的组织信息，Nin是射线入射剂量，Nout是穿过物体后射线 的剂量，他们都可以通过物理测量而得到。式(*)可变换为
4）卷积-逆滤波法
第 五 章 图 像 恢 复 和 重 建 第 三 节 图 像 重 建
第三节
解联立方程组法
图像重建
设的步进长度为，t的步进长度为t，令P(i,j)=P(i ,jt)， 则经过扫描投影后，可得矩阵
P (0,1) P (0,0) P (1,1) P (1,0) P (n 1,0) P ( n 1,1)
A D E 10 o 0 B C F 9 解联立方程组 D C F 15 o 60 A B C 6 A B D 7 o 120 E F C 14
把以上方法推广到多像素多扫描线的情况，便可以得到重建图象的 一般解联立方程组方法。
0


第 五 章 图 像 恢 复 和 重 建 第 三 节 图 像 重 建
第三节
图像重建
令
Q( , t ) F ( , ) | | exp( j 2 ( x cos y sin ))d


则

数字图像处理第五章图像复原与重建

第五章 图像复原与重建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复(选) 频域恢复(选) 几何校正
背景知识
光学 系统 的像 差
摄影 胶片 的非 线性
传感 器非 线性 畸变
产生原因
大气 流的 扰动 效应
光学 系统 中的 衍射
几何 畸变
图像 运动 造成 的模 糊
背景知识
F (u, v) N (u, v) H (u, v)
做傅里叶反变换得复原图像
fˆ(x, y) f (x, y)
N (u, v)H源自1(u,v)e
j2 (uxvy)dudv
退化图像中噪声问题：在H(u,v)为零或很小，N(u,v)/H(u,v)
会变得很大，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，使
去除匀速直线运动造成的模糊
获取图像过程中，由于景物和摄像机之间 的相对运动造成的图像模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
去除匀速直线运动造成的模糊
退化模型估计：
设f(x,y)进行平面运动， x0(t)和y0(t)分别是在 x和y方向上随时间变化的运动参数, g(x,y)为 模糊图像，t为运动时间， T为快门打开到关 闭的总曝光时间，模糊图像表示为
基准图像f
几何畸变图像g
空间坐标变换（数学模型）
根据两图像中的连接点，建立函数关系，进 行坐标变换，通常函数关系用二元多项式近 似
n ni
x '
aij xi y j
G(u,v) F(u, v)H (u, v) N(u, v)
无噪声理想情况下
G(u, v) F(u, v)H (u, v) 则F(u, v) G(u, v) / H (u, v)

数字图像处理与分析 第5章 图像复原ppt课件

运动方向 也可由图像的频谱估计出来
.
5.4.1 模糊模型
2．由图像中的点或线估计（后验知识）
1）原始景物中有一清晰的点或点光源。由所成的像得到退化 系统的PSF 2）原始景物中确定一条线，成像，由直线产生模糊，根据模 糊可以测定在于边缘垂直方向上的PSF断面曲线，得出一维 PSF，如果PSF对称，旋转一维PSF得到二维PSF
有效方法：针对特定条件，用特定模型处理
.
5.2.2 离散的退化模型
对于图像降质过程进行数学建模
MN
y(i,j) h(i,j;k,l)f(k,l)n(i,j) k1l1
f(i, j)：原始图像 y(i, j)：降质图像 h(i, j; k, l)：点扩散函数 图像为M×N维 假设为空间移不变h(i, j; k, l)，则：
.
5.4.2 水平匀速直线运动引起模糊的复原
a) 原始图像
b) 模糊图像
c) 复原图像
M N
y ( i ,j) h ( i k ,j l)f( k ,l) n ( i ,j) h ( i ,j) f( i ,j) n ( i ,j) k 1 l 1
.
5.3 图像复原的方法
寻找滤波传递函数，通过频域图像滤波得到 复原图像的傅立叶变换，再求反变换，得到 复原图像
非约束还原 有约束还原 非线性约束还原
原因
维纳滤波是基于平稳随机过程模型，且假设退化模 型为线性空间不变系统的原因，这与实际情况存在 一定差距。另外，最小均方误差准则与人的视觉准 则不一定匹配
.
5.3.2 约束还原法
最大平滑复原
准则：以函数平滑为基础
1）使函数的二阶导数为最小。二阶导数是突出图像边缘、
轮廓约束条件：

第五章图像复原与重建


he ( −1) he (0) he (1) M he ( M
L he ( − M + 1) ⎤ ⎡ f e (0) ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ f (1) ⎥ L he ( − M + 2) ⎥⎢ e ⎥ ⎥⎢ L he ( − M + 3) ⎥ f e ( 2) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ M M ⎥⎢ M ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ f e ( M − 1)⎥ he (0) ⎦ ⎣ − 2) L ⎦
• 图像复原的一般过程
分析退化原因 建立退化模型 反向推演 恢复图像
3
第五章 图像复原与重建
• 图像复原与图像增强
目的： 都是为了改善图像的质量。 不同之处： 图像复原是试图利用退化过程的先验知识使已退化的图像恢 复本来面目，即根据退化的原因， 分析引起退化的环境因 素，建立相应的数学模型， 并沿着使图像降质的逆过程恢复 图像。从图像质量评价的角度来看， 图像复原就是提高图像 的可理解性。 而图像增强不考虑图像如何退化，只通过试探各种技术来提 高视觉效果，图像增强的过程基本上是一个探索的过程， 它 利用人的心理状态和视觉系统去控制图像质量， 直到人们的 视觉系统满意为止。
he (1)⎤ ⎥ he (0) L he (2) ⎥ ⎥ he (1) L he (3) ⎥ ⎥ M L L ⎥ ⎥ he ( M − 2) he (0) ⎥ ⎦ he ( M − 1) L
16
第五章 图像复原与重建
⎡ g (0) ⎤ ⎡ he (0) ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ g (1) ⎥ ⎢ he (1) ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ g ( 2) ⎥ = ⎢ h ( 2) ⎥ ⎢ e ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎢ M ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ g ( M − 1)⎥ ⎢ he ( M − 1) ⎦ ⎣ ⎣
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该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰 度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性 质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
3．三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值 函数sin(x)/x。其数学表达式为：
解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次 计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像 素，这样生成一幅校正图像。 但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图 像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
二、间接法
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交 叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，若干已知点， 解求未知数。根据
包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式， 解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
一、直接法
利用若干已知点坐标，根据
n ni j i x h1 ( x , y ) a ij x y i0 j0 n ni y h ( x , y ) x i y j b ij 2 i0 j0
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步： ①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正； ②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
f ( x, y ) f ( x, y ) ( x, y )
二维线性位移不变系统 如果对二维函数施加运算T[· ，满足 ] ⑴ T f 1 x , y f 2 x , y T f 1 x , y T f 2 x , y ⑵ T af x , y aT f x , y 则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统，称为二维 线性系统。
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行 几何纠正。
5.4.2 像素灰度内插方法 常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法 和三次内插法三种。 1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 灰度赋给该待求点。 该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯 齿状，即存在灰度不连续性。
再作傅立叶逆变换得

fˆ ( x , y ) f ( x , y )
若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。 若噪声存在，而且H(u,v）很小或为零时，则噪声被放 大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在H(u,v)较小时，会 对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图 像和f(x,y)相差很大，甚至面目全非。
N ( u , v ) H
1
(u , v ) e

j 2 ( ux vy )
dudv
5.4 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。 几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随 机的。 当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
采用线性位移不变系统模型的原由： 1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似， 这样线性系统中的许多数学工具如线性代数，能用于 求解图像复原问题，从而使运算方法简捷和快速。 2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统模型来 复原图像，在很多应用中有较好的复原结果，且计算 大为简化。 3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍 地反映图像复原问题的本质，但在数学上求解困难。 只有在要求很精确的情况下才用位移可变的模型去求 解，其求解也常以位移不变的解法为基础加以修改而 成。
在数学上，点源可以用狄拉克δ 函数来表示。二 维δ 函数可定义为
( x, y ) 0 x 0, y 0 其它

且满足


x , y dxdy


x , y dxdy 1

它的一个重要特性就是采样特性。即


f ( x , y ) ( x , y ) dxdy
对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v) = (1 u )(1 v ) f ( i , j ) (1 u ) vf ( i , j 1) u (1 v ) f ( i 1, j ) uvf ( i 1, j 1)
5.3 频率域恢复方法
5.3.1 逆滤波恢复法
对于线性移不变系统而言

g ( x, y )


f ( , ) h ( x , y ) d d n ( x , y )
f ( x, y ) h( x, y ) n( x, y )
对上式两边进行傅立叶变换得
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方 向上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。 对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v +f(i，j) 对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)f(i+1，j)]v+f(i+1，j)
x h1 ( x , y ) y h ( x, y ) 2

i0 n i0
n
ni
a ij x y
i
i
j
j0

ni
b ij x y
j
j0
推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x (x‘,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而 不能直接确定该点的灰度值，而只能在畸变图像上，由 该像点周围的像素灰度值通过内插，求出该像素的灰度 值，作为对应格网点的灰度，据此获得校正图像。
5.4.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何 失真图像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小 的摄像系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表 示，下图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式
x h1 ( x , y )
y h2 ( x, y )
f ( , )


当α =β =0时
f ( 0 ,0 )

f ( x , y ) ( x , y ) dxdy

它的另一个重要特性就是位移性。
f ( x, y )





f ( , ) ( x , y ) d d
用卷积符号 * 表示为
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f（x ， y） ， 输出为g (x ， y)，系统加于输入的线性运算为T[ • ]，则有
g ( x , y ) T f ( x , y ) T f ( , ) ( x , y ) d d
进行反傅立叶变换可得到f(x,y) 。以上就是逆滤波复原的 基本原理。1/H(u,v)称为逆滤波器。 逆滤波复原过程可归纳如下: (1)对退化图像g(x，y)作二维离散傅立叶变换，得到G(u,v)； (2)计算系统点扩散函数h(x，y)的二维傅立叶变换，得到 H(u,v); (3)逆滤波计算 (4)计算
5.1.2 图像退化的数学模型
假定成像系统是线性位移不变系统 ,则获取的图像g(x,y) 表示为 g（x，y）= f（x，y）* h（x，y） f(x，y)表示理想的、没有退化的图像，g(x，y)是退化（所 观察到）的图像。
若受加性噪声n(x，y)的干扰，则退化图像可表示为 g（x，y）= f（x，y）* h（x，y）+ n(x，y) 这就是线性位移不变系统的退化模型。退化模型如图所示
当输入为单位脉冲δ (x ， y)时，系统的输出便称为脉冲 响应，用h (x ， y)表示。在图像处理中，它便是对点源的响 应，称为点扩散函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了α 、β 单位，即当输入为δ （x –α， y –β）时，如果输出为h（x –α， y –β），则称此系统为 位移不变系统。
上述式子中包含a00、a10、a01 、b00、b10、b016个未知数， 至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
a 00 a 10 x a 01 y a 20 x 2 a 11 xy a 02 y 2 x
b 00 b10 x b 01 y b 20 x 2 b11 xy b 02 y 2 y
找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程的先验知识 所掌握的精确程度，体现在建立的退化模型是否合适。
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图采用各种 技术来增强图像的视觉效果。因此，图像增强可以不顾增强 后的图像是否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程 等先验知识，据此找出一种相应的逆处理方法，从而得到复 原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。 5.1.2 系统的描述 点源的概念 事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成， 每一个像素都可以看作为一个点源成像，因此，一幅图像也 可以看成由无穷多点源形成的。