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概率论与数理统计教学教案 第2章 随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 内 容一．随机变量1. 随机变量：设E 是随机试验，样本空间为S ，如果对随机试验的每一个结果ω，都有一个实数()X ω与之对应，那么把这个定义在S 上的单值实值函数()X X ω=称为随机变量．随机变量一般用大写字母,,X Y Z ,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量. 二．分布函数1. 分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数{}(),F x P X x x =≤-∞<<∞为随机变量X 的分布函数，显然，()F x 是一个定义在实数域R 上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X 看成随机点的坐标，则分布函数()F x 表示随机点X 落在阴影部分（即X x ≤）内的概率，如下图．3．对任意的实数,,()a b c a b <，都有：授课序号02(,)B n p ，其中在二项分(1,)B p X 服从（0-1）分布是二项分布的特例，简记0,1,2,...，其中λ为大于()P λ．在一次试验中出现的概率为(12,kk nnC p p -.）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数很大，而n np 不太大时，()G p．）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数次才取得第一次成功，前）超几何分布：若随机变量X的分布律为H n N(,,件不合格，从产品中不放回）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项两个分布之间也有联系，当总体的容量授课序号03(,)U a b ．内的任一个子区间()E λ．1,0,xe x λ-⎧->⎪⎨⎪⎩其它.）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量()E λ，则对于任意的正数{}{P X s t t P X >+>=为连续型随机变量，若概率密度为2(,N μσ处取到最大值，并且对于同样长度（iii ）当参数μ固定时，σ的值越大，()f x 的图形就越平缓；σ的值越小，()f x 的图形就越尖狭，由此可见参数σ的变化能改变图形的形状，称σ为形状参数．（iv ）当参数σ固定时，随着μ值的变化，()f x 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数μ的变化能改变图形的位置，称μ为位置参数．（4）标准正态分布(0,1)XN（i ）概率密度221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞（ii ）分布函数221(),.2t xx e dt x π--∞Φ=-∞<<∞⎰（iii ）根据概率密度()x ϕ的对称性，有()1().x x Φ-=-Φ （5）定理：（标准化定理）若2(,)XN μσ，则(0,1).X Z N μσ-=（6）标准化定理的应用：设,,()x a b a b <为任意实数，则(){}{}{}(),X x x x F x P X x P P Z μμμμσσσσ----=≤=≤=≤=Φ{}{}()().a X b b a P a X b P μμμμμσσσσσ-----<≤=<≤=Φ-Φ6.“3σ”法则：设2(,)XN μσ，则{33}(3)(3)2(3)10.997,P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≈即正态分布2(,)N μσ的随机变量以99.7%的概率落在以μ为中心、3σ为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3σ”法则. 三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X 表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：0.15(0.5)0.15,0.5,()0,x e x f x --⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它.概率密度()f x 的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X 表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N ），其概率密度为13,02;()880,x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）分布函数()F x ；（2）概率{1 1.5}P X ≤≤及{1}P X >.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X 服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，对X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min ），则X 服从指数分布，其概率密度为0.40.4,0,()0,xex f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中μ=1.25秒，σ=0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中μ=300千克，σ=24千克.求常数a ，使抗断强度以不小于95%的概率大于a .授课序号0450。
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教案章节一：随机变量的概念1.1 教学目标了解随机变量的定义与分类理解随机变量分布函数的概念掌握随机变量期望的计算方法1.2 教学内容随机变量的定义随机变量的分类：离散型与连续型随机变量分布函数的定义与性质随机变量期望的计算方法1.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量的概念及其分类通过例题，讲解随机变量期望的计算方法开展小组讨论，巩固随机变量分布函数的理解教案章节二：离散型随机变量的概率分布2.1 教学目标掌握离散型随机变量的概率分布的定义与性质学会计算离散型随机变量的概率分布理解离散型随机变量期望与方差的计算方法2.2 教学内容离散型随机变量的概率分布的定义与性质几种常见的离散型随机变量概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布离散型随机变量期望与方差的计算方法2.3 教学方法采用讲授法，讲解离散型随机变量的概率分布的定义与性质通过例题，讲解几种常见的离散型随机变量概率分布的计算方法开展小组讨论，巩固离散型随机变量期望与方差的计算方法教案章节三：连续型随机变量的概率密度3.1 教学目标理解连续型随机变量的概念掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质学会计算连续型随机变量的概率密度3.2 教学内容连续型随机变量的概念连续型随机变量的概率密度的定义与性质几种常见的连续型随机变量概率密度：均匀分布、正态分布、指数分布3.3 教学方法采用讲授法，讲解连续型随机变量的概念及其概率密度的定义与性质通过例题，讲解几种常见的连续型随机变量概率密度的计算方法开展小组讨论，巩固连续型随机变量概率密度的理解教案章节四：随机变量的期望与方差4.1 教学目标理解随机变量期望与方差的概念与性质掌握计算随机变量期望与方差的方法学会运用期望与方差描述随机变量的特征4.2 教学内容随机变量期望与方差的概念与性质计算随机变量期望与方差的方法期望与方差在描述随机变量特征中的应用4.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量期望与方差的概念与性质通过例题，讲解计算随机变量期望与方差的方法开展小组讨论，巩固期望与方差在描述随机变量特征中的应用教案章节五：随机变量及其分布的综合应用5.1 教学目标掌握随机变量及其分布的基本知识学会运用随机变量及其分布解决实际问题培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力5.2 教学内容随机变量及其分布的综合应用实例实际问题中随机变量及其分布的建模方法运用概率论与数理统计思维分析问题的方法5.3 教学方法采用案例教学法，讲解随机变量及其分布的综合应用实例通过实际问题，讲解随机变量及其分布的建模方法开展小组讨论，培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力教案章节六：大数定律与中心极限定理6.1 教学目标理解大数定律的含义及其在实际中的应用掌握中心极限定理的条件及其意义学会运用大数定律和中心极限定理分析随机变量序列的性质6.2 教学内容大数定律的定义及其表述中心极限定理的定义及其表述大数定律和中心极限定理在实际中的应用6.3 教学方法采用讲授法，讲解大数定律和中心极限定理的定义及其表述通过例题，讲解大数定律和中心极限定理在实际中的应用开展小组讨论，巩固大数定律和中心极限定理的理解教案章节七：随机样本及抽样分布7.1 教学目标理解随机样本的概念掌握抽样分布的定义及其性质学会计算样本统计量的分布7.2 教学内容随机样本的概念抽样分布的定义及其性质样本统计量的分布的计算7.3 教学方法采用讲授法，讲解随机样本的概念和抽样分布的定义及其性质通过例题，讲解计算样本统计量的分布的方法开展小组讨论，巩固抽样分布的理解教案章节八：假设检验与置信区间8.1 教学目标理解假设检验的基本原理掌握构造检验统计量的方法学会判断假设检验的结果8.2 教学内容假设检验的基本原理构造检验统计量的方法假设检验的结果的判断8.3 教学方法采用讲授法，讲解假设检验的基本原理和构造检验统计量的方法通过例题，讲解判断假设检验结果的方法开展小组讨论，巩固假设检验的理解教案章节九：回归分析与相关分析9.1 教学目标理解回归分析的概念及其应用掌握线性回归模型的建立与估计学会利用回归分析解决实际问题9.2 教学内容回归分析的概念及其应用线性回归模型的建立与估计利用回归分析解决实际问题9.3 教学方法采用讲授法，讲解回归分析的概念及其应用和线性回归模型的建立与估计通过例题，讲解利用回归分析解决实际问题的方法开展小组讨论，巩固回归分析的理解教案章节十：总结与展望10.1 教学目标总结本门课程的主要内容和知识点了解概率论与数理统计在实际中的应用激发学生继续学习概率论与数理统计的兴趣10.2 教学内容本门课程的主要内容和知识点的总结概率论与数理统计在实际中的应用对未来学习的展望10.3 教学方法采用讲授法，总结本门课程的主要内容和知识点通过案例分析，讲解概率论与数理统计在实际中的应用鼓励学生发表对概率论与数理统计学习的看法和展望重点和难点解析：1. 随机变量的概念与分类：理解随机变量的定义以及离散型和连续型随机变量的区别是本章节的核心。
