24第二十四讲 函数的奇偶性的性质
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第二十四讲 函数的奇偶性的性质
一 知识点精讲：
1奇偶函数的定义域关于原点对称
例1：已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且其定义域为]2,1[a a -，则（ ）
A ．3
1=a ，0=b B ．0,1=-=b a C ．0,1==b a D ．0,3==b a
2偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称
奇函数的最大值与最小的和为0
奇函数+奇函数=奇函数， 偶函数+偶函数=偶函数，
奇函数⨯奇函数=偶函数， 偶函数⨯偶函数=偶函数，
例2 若)(x ϕ，)(x g 都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，
则)(x f 在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3
例 3 已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则 =+M m
3 偶函数在关于原点对称的区间上增减性相反
奇函数在关于原点对称区间上增减性相同。
例4.已知()f x 是偶函数，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A 12()()f x f x ->-
B 12()()f x f x -<-
C 12()()f x f x ->-
D 12()()f x f x -<-
例5已知()f x 是奇函数，当0x >时，()f x 为增函数，比大小)2(a f - )1(2+-a f
（0<a ）
5 已知奇（偶）函数在0>x 时的表达式，如何求0<x 的表达式
已知奇（偶）函数在0<x 时的表达式，如何求0>x 的表达式
例6 已知函数)(x f 是奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式．
7 奇函数在原点有定义时，必有(0)0f =，偶函数必有)(|)(|x f x f =
例7设函数a x x f +=3)(为奇函数，则a = ．
例 8 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是
8 函数的周期性
T 是不为零的常数，若)()(x f T x f =+，则称T 为函数的周期
)()(x f T x f -=+，则函数的周期为T 2
)
(1)(x f T x f =+则函数的周期为T 2 )
(1)(x f T x f -=+则函数的周期为T 2 例9 已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -
=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，求)5.5(f 的值。
第二十五讲 抽象函数的奇偶性
一 知识点精讲
1 根据抽象函数关系式，代特殊值，如x y -=，
2 通过代特殊值，朝着奇偶性的定义发展。
判断)(x f -)(x f 之间和关系
二典例解析
例1．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
例2 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (
xy
y x ++1),证明 f (x )为奇函数；
例3 .设函数)(x f y =，对任意实数21,x x 满足)()()(2121x f x f x x f +=⋅，
求证)(x f 是偶函数．
例4.设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则)5.11(f 等于
A.0.5
B.－0.5
C.1.5
D.－1.5
例5．若32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则=m _________．
例6 ．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则)(x f 在R 上的表达式是
A ．)2(-=x x y
B ．)1|(|-=x x y
C ．)2(||-=x x y
D ．)2|(|-=x x y
例7．已知8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，那么)2(f 等于（ ）
例8、已知函数c b a c x b ax x f ,,()(++
=是常数）是奇函数，且满足.4
17)2(,25)1(==f f （1）求c b a ,,的值；（2）试判断函数)(x f 在区间)21,0(上的单调性并说明理由。
第二十六讲利用函数的奇偶性解不等式
一知识点精讲
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
，）上的奇函数，且在（0，1）上为增函数，满足例1．已知f x()是定义在（-11
+
-a
f
a
f，试确定a的取值范围。
-
(2<
)4
(
)2
，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足例2．已知f x()是定义在（-11
2，试确定a的取值范围。
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---<
()()
f a f a
例3 设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则
()2f - ()223f a a -+（a R ∈）(比大小)
解 4 已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且在公共定义域{}1,|±≠∈x R x x 上有11)()(-=
+x x g x f ，求)(x f ，)(x g 的解析式
例5 设函数(1)()()x x a f x x
++=
为奇函数，则a = ．。
