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正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
高中数学必修4第一章三角函数知识点总结文献编辑者——周俞江⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限 对应的标号即为nα终边所落在的区域．“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”等分角所在象限的判断方法，在解决这类问题时，我们既可以采用常规的代数法，也可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对nα角所在的象限做出正确判断。
一、代数法就是利用已知条件写出α的范围，由此确定n α角的范围，再根据nα角的范围确定所在的象限；【例1】已知α为第一象限角，求2α角所在的象限。
解：∵ α为第一项限角∴90360360+⨯⨯k k ＜＜α )(Z k ∈451802180+⨯⨯k k ＜＜α)(Z k ∈若k 为偶数时：则)(2Z n n k ∈=,则453602360+⨯⨯n n ＜＜α)(Z n ∈∴ 2α角是第一象限角； 若k 为奇数时：则)(12Z n n k ∈+=，则)(2253602180360Z n n n ∈+⨯+⨯ ＜＜α∴ 2α角是第三象限角； 因此，2α角是第一象限或第三象限角【例2】已知α为第二项限角，求2α角所在的象限。
数学必修四第一章知识点总结第一章矩阵与行列式1.矩阵的定义：矩阵是由m∙n个数按照m行n列排列起来的一个数表。
2.矩阵的运算：(1)矩阵的加法：对应位置上的元素进行相加。
(2)矩阵的乘法：满足矩阵乘法规则的两个矩阵相乘，结果矩阵的元素等于第一个矩阵的相应行和第二个矩阵的相应列元素的乘积之和。
(3)数字与矩阵的乘法：数乘矩阵中的每一个元素。
3.矩阵的性质：(1)矩阵的加法满足交换律和结合律。
(2)矩阵的数乘满足结合律和分配律。
4.单位矩阵：n阶单位矩阵是一个n∙n的矩阵，主对角线上元素为1，其他元素为0。
5.方阵和对角阵：(1)方阵是行数和列数相等的矩阵。
(2)主对角线外的元素全为零的方阵是对角阵。
6.转置矩阵：矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
7.矩阵的乘积：(1)若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则可以计算矩阵A与矩阵B 的乘积，得到一个新的矩阵C，其中矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
(2)矩阵乘积的运算性质：结合律，分配律，但一般不满足交换律。
8.克拉默法则：若n元线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则n元线性方程组有唯一解，且解可以用各个未知量的系数作为分子和系数矩阵的行列式作为通分式的分母来表示。
9.行列式的定义：(1)一阶行列式：行列式的元素就是该元素本身。
(2)二阶行列式：行列式元素按主对角线方向相乘，再减去次对角线方向的元素相乘。
(3)三阶行列式：每个元素与与其所在行行标和列标分别相同、不相同的元素构成的二阶行列式之差相乘，最后再按正负号相加。
(4)多阶行列式：利用拉普拉斯定理进行计算。
10.行列式的性质：(1)行列式的转置等于行列式本身。
(2)若行列式有两行或两列完全相同，则行列式的值等于零。
(3)互换行列式的两行（两列），行列式值不变。
(4)行列式的其中一行（列）的元素都乘以一个数k，等于用数k乘以此行列式的值。
(5)行列式中有两行（两列）元素对应成比例，则行列式的值等于零。
学生教案教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 第（ ）次课阶段基础（ √ ） 提高（）强化（1、 熟记诱导公式及其运用； 2、 熟悉三角函数的图像及其单调性；）课时计划 共（ ）次课教学目标3、 熟悉 y Asin(x )( A 0， 0) 的图像及其变化1、 重难点 2、诱导公式及三角函数的关系； 三角函数图像的变化与三角函数的关系；课后作业：教师评语 及建议：科组长签名学生教案诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限” 。
诱导公式一： sin( 2k ) sin ， 诱导公式二： sin(180 ) sin ； 诱导公式三： sin( ) sin ； 诱导公式四： sin(180 ) sin ； 诱导公式五： sin(360 ) sin ； － sin cos －sin cos cos( 2k ) cos ，其中 k Zc o s ( 1 8 0 )c o s cos( ) cos cos(180 ) cos c o s ( 3 6 0 ) cos2 －sin cos sin －cos －cos －sin 2k k Z cos sin 2cos sin （1）要化的角的形式为 k 180 （ k 为常整数） ； （2）记忆方法： “函数名不变，符号看象限” ； 知识点一 、诱导公式的的直接运用 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？ ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化大于 2 π 的正角的三角函数为 0～ 2 π 内的三角函数； ③化 0～ 2 π 内的三角函数为锐角的三角函数．1 例 1、：已知 是第三象限的角且 sin ，求 sin( π ) ， sin( π) 3变式 1、cos150 °的 值 为 （）2、下 列 各 数 中 ， 与 cos1030 °相 等 的 是 （A ． cos50 ° B ． -cos50 °） C ． sin50 ° D ． -sin50 °3、学生教案4、5、诱 导 公 式 tan （ n π - α ） = （A ． -tan α C ． ± tan α） （ 其 中 n∈ Z） B ． tan α D． 与 n 的 值 为 奇 偶 数 有 关6、 例 2、、已知 cos , 且 1 32 0, 求sin( ) sin(2 ) 的值 cos( ) tan变式练习 1、2、例题 3、变式练习 1、学生教案2、3、配凑角 例题 4、已知 sin(π 1 5π ) ，求 sin( ) 的值. 6 3 6变式练习1、2、汇总练习 1 选择题 （1） 1 sin 2 678 =（ （A）sin42° （2）计算 （A）0 （3）cos( π +α )= A. ） （C）sin21° ） （C）-1 （D）2 ) D. （D）cos21°（B）cos42° sin( ) sin() 的值为（ tan( )（B）11 3π α 2 π ，则 sin(2 π -α )等于( ， 2 2B.3 23 2C.1 23 2学生教案cos( ) sin 2 ( 3) （4）化简 的结果是（ tan( 4) tan( ) cos3 ( )（A）1 （5）已知α ∈ （B）0 （C）－1）（D）1 2）3 π 3π , , tan(α -9 π )=- ,则 sin α +cosα 等于（ 4 2 2 B．-A．-1 53 5C．1 5D．±1 52、计算 tan 37π 55π 35π 46π 的值． tan sin cos 6 6 6 3 3、化简：sin(5400 x) 1 cos(3600 x) sin( x) tan( 9000 x) tan(4500 x) tan( 8100 x)正弦、余弦、正切函数的图象和性质函数 正弦函数 余弦函数 正切函数图象定义域 值域 周期性 奇偶性R [-1，1] 周期为 2π 奇函数R [-1，1] 周期为 2π 偶函数 x | x k , k Z 2 R 周期为π 奇函数学生教案在每一个闭区间在每一个闭区间 － 2 2k , 2 2k 上都 是增函数； 单调性 在每一个闭区间3 2 2k , 2 2k 上都 （k Z） 是减函数 2k－1）， （ 2k 上都是增在每一个开区间 函数； 在每一个闭区间 － k , k 上都是 2 2 （k Z） 增函数2k（ , 2k＋ 1 ） 上都是减（k Z） 函数当 x 2k , k Z 时，y2当 x 2k , k Z 时， y取 得最大值 1；当 无最大值，也无 最小值取得最大值 1；当 最值x2 2k , k Z 时， x 2k , k Z 时，y取得最小值-1． 既是中心对称图形， 对称中y 取得最小值-1． 既是中心对称图形， 对称中 心为 k ,0, (k Z ) ； 又是 对称性 轴对称图形， 对称轴为直线 心为 k ,0 , (k Z ) ； 2 又是轴对称图形， 对称轴为是中心对称图形， 对称中心 为 k ,0, (k Z )x2 k , ( k Z )x k , (k Z )2．图象画法：①“几何描点法”——借助三角函数线；②“五点作图法”――抓住五 个关键点． 3．周期函数定义：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 ．．．．T，使得当 x 取定义 域内的每一个 值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这 ．．． 个函数的周期．对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．学生教案知识点 1 正弦、余弦图像、正切图形 例 题 1、变式练习 1 、 已 知 a 是 实 数 ， 则 函 数 f （ x ） =acosax 的 图 象 可 能 是 （ ）A．B．C．D．2 、 已 知 函 数 f （ x ） =x 2 sinx ， 则 f （ x ） 在 [-2 π ， 2 π ] 上 的 大 致 图 象 是 （）A．B．C．D．3、学生教案例题变式练习1 、 函 数 y=1+cosx 的 图 象 （ A． 关 于 x 轴 对 称 ） B． 关 于 y 轴 对 称 D ． 关 于 直 线 x= C． 关 于 原 点 对 称π 2对称 ）2、已 知 a 是 实 数 ， 则 函 数 f （ x ） =acosax 的 图 象 可 能 是 （A．B．C．D．知识点二 正余弦图像性质(正切图像对图像进行分析主要突出定义域和单调区间的不同) 三角函数周期例题 1、变式练习1、D． A． 4π B． 2π C． ππ 22、函 数 y=sin3x 的 最 小 正 周 期 是 （）学生教案3、例题 2、变式练习1、2、函 数 f （ x ） =Asin （ ω x+ θ ） （ A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ） 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 f （ 1 ）+f （ 2 ） + „ +f （ 2011 ） 的 值 为 （ ）三角函数奇偶性 例题 1、函 数 y=-sin2x ， x ∈ R 是 （ A． 最 小 正 周 期 为 π 的 奇 函 数 B． 最 小 正 周 期 为 π 的 偶 函 数 C． 最 小 正 周 期 为 2π 的 奇 函 数 D． 最 小 正 周 期 为 2π 的 偶 函 数 ）学生教案例题 2变式练习 1 、2 、三角函数定义域与值域 例题 1、若 三 角 方 程 sinx=0 与 sin2x=0 的 解 集 分 别 为 E ， F ， 则 （A． E⊊F B． E⊋F C ． E=F ） D ． E ∩ F= ∅变式练习 1、 值域 例题 1、函 数 y=sinx 的 最 大 值 是 （ A ． -1 B． 0 ） C． 1 D． 2变式 2、3、 4、学生教案三角函数的单调性例题 1、1、2、下 列 函 数 中 在 区 间 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 的 是 （A ． y=sinx B ． y=-x 2 C ． y=e - x） D ． y=x 33、4、5、学生教案6、对称性例题 1、变式练习 1 、复合函数求单调性、最值、等问题例题 1、变式 1、求上式子的最值及其对应的 x，对称轴、对称中心、变式 2、学生教案变式 3变式 4、变式 5提高例 2、变式1、学生教案2、3、4、函数 y Asin(x )( A 0， 0) 的图象要点归纳 1．函数 y Asin(x )( A 0， 0) 的相关概念： A——振幅， T＝2——周期， f＝1 ——频率， x ——相位， ——初相 T2．函数 y Asin(x )( A 0， 0) 的图象： 3 （1）五点作图法：令 x 0， ，， ， 2 从而得到 x、y 的值进而找出关键点． 2 2知识点一、五点做函数图像学生教案例 1、例2变式练习 1 、2、学生教案知识点二、图像的变化（通过简单作图分析 A 、 、 对图像的影响） （2）图象变换法 y=sinx x [0,2 ]向左(φ>0)或 向右(φ<0)平 移|φ|个单位 横坐标不变，纵坐 标变为原来的 A 倍y=sin(x+φ) x [ ,2 ]纵坐标不变，横坐 标变为原来的y=sin(ωx+φ)x [1倍 2 , ] y=Asin(ωx+φ) 2 x [ , ] 扩展(每次平移2个单位长度)y=Asin(ωx+φ) x∈ R例 题1 、变式1、学生教案4、5、6、提高学生教案知识点三 观察图像求解析式 例题 1、例2、变式练习 1、2、学生教案2、3、4、学生教案5、6、7、提高备注：请加封面。
数学必修四第一章知识点总结第一章初等数论与数论方法一、整数研究了整数及其运算性质，引导学生辨识和解决在初中学习过程中遇到的有关整数的复杂问题。
1. 整数的概念整数是正整数、负整数和零的统称。
整数的绝对值是指它离原点的距离，是非负的整数。
2. 整数的四则运算（1）加法运算：正数相加、负数相加应用法则，可以化为正数相加或正负数相减的运算问题来解决。
（2）减法运算：整数减法法则就是整数加法法则的推广。
（3）乘法运算：两个数相乘的积的符号与它们的积的因数的符号有关。
（4）除法运算：零不能作为除数，有理数的除法也要遵循约分原则。
3. 整数的应用整数是在数轴上有序排列的，整数运算也是数轴上大小关系的推算。
在温度、债务、货币、海拔高度、海拔深度等相关实际生活中，需要使用整数。
二、整数的乘方及开方1. 乘方概念以数 a 为底 n 为指数的乘方运算通常记作aⁿ (a ≠ 0, n > 0), 它表示连续相同乘数 a 用 n-1个乘号与自己相乘的乘积。
2. 乘方的运算性质（1）乘方的运算性质: 同底数乘方相乘,指数相加；（2）乘方运算的简便法则：同一底数不同指数相乘可以利用指数运算法则；（3）指数运算法则：①乘方的运算法则：同底数的几个数的乘方, 底数相同, 指数相加；②除法可以转换为乘方；（4）零的乘方等于 1： 0 的任何正整数次幂都等于 1。
3. 开方的概念一个数的平方根就是对应的平方的运算过程，一个数的 n 次方根是对应的 n 次方的运算过程。
4. 定义（1）二次方程的解法：①因式分解法；②公式法；③配方法；（2）含一个未知数的方程；（3）一元二次方程：我国古代代数的发展，以求一元二次方程的解为目标；（4）一次方程：秦九韶二次方程的解法是把一次方程的求根问题化成二次方程的求根问题。
5. 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：① 它是一元的；② 它的最高次项是二次项③ 它与一元二次函数有相联系的地方；一元二次方程及根的关系：一元二次方程的单解和两解，它对应的一元二次函数的图象几何方程的根与几何意义的关系；（2）整数系数的一元二次方程；（3）一元二次方程及根的关系；（4）一元二次方程数学题。
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5³360°+315°.5．{-240°,120°}.6．{α|α=k²360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.8.（1）M={α|α=k²360°-1840°,k∈Z}.(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k²360°-1840°≤360°.∴1480°≤k²360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k²360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k²360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}.10.(1){α|30°+k²180°≤α≤90°+k²180°,k∈Z}.(2){α|k²360°-45°≤α≤k²360°+45°,k∈Z}．11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°³2 4=864°.1．1．2弧度制1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．9．设扇形的圆心角是θrad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4³25=100（cm）．1．2任意角的三角函数1．2．1任意角的三角函数（一）1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．1．2．1任意角的三角函数（二）1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.9．（1）sin100°²cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0.10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0. 1．2．2同角三角函数的基本关系1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．1．3三角函数的诱导公式（二）1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．9．1.10．1+a4.11．2+3.1．4三角函数的图象与性质1．4．1正弦函数、余弦函数的图象1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),-sinx(x＜0),图象略．11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.7．函数的最大值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］. （3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.1．4．3正切函数的性质与图象1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，∴f-π5-1=-fπ5-1 f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.8．±5．9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.6．y=3sin6x+116π.7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k 为16．1．6三角函数模型的简单应用（一）1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k²360°+212 5°(k∈Z).7．扇形圆心角为2rad时，扇形有最大面积m216．8．θ=4π7或5π7．9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5³4A=20A=20³10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.1．6三角函数模型的简单应用（二）1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.7．95．8．12sin212，1sin12+2．9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达最高，∴π6³6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|. ∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα. 17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.19.(1)周期T=π,f(x)的最大值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x ∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.。
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
高一数 学必修四知识点第一部分：平面向量4、平行向量基本定理___________________________________________________________5、平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么____________________________________________________________________________.6、向量的单位向量0a 的定义__________________;与0a 的关系式为________________.7、向量a 与b 的数量积定义式：__________________________；a 在b 方向上的正射影的数量为：_________________________ ； ⇔⊥_________________8、向量数量积的运算律表达式：（1）_________（2）_____________（3）____________________. 9、=+2)(_________________________；=-⋅+)()(________________________ 10、设数轴上点A 与点B 的坐标分别为21x x 、，则向量AB 的坐标AB=________________;AB =____________________11、在平面直角坐标系中，设点),(),(2211y x B y x A 、，则=_____________________;线段AB 中点M 的坐标_____________________；=AB ________________________12、设),(21a a =，),(21b b =（1）=+_______________;=-_______________;=λ_________________ （2）=⋅___________________； =__________ ；>=<b a ,cos ________________ （3）⇔=b a ______________；⇔⊥b a _______________；⇔b a //_______________ 第二部分：三角函数与三角恒等变换 2、半径为r ，圆心角为的扇形，则弧长=_____________;面积S=__________________. 3、在角α终边上任取一点P （x,y ）,==OP r ___________, 角α的三角函数定义：αsin =___、αcos =___、αtan =___、=αsec ___、=αcsc ___、=αcot ___4、同角三角函数的基本关系式：_________________________、______________________.5、诱导公式：（1）=+)2cos(παk _____、=+)2sin(παk _____、=+)2tan(παk ______ （2）=-)cos(α_________、=-)sin(α_________、=-)tan(α__________（3）=+)cos(απ_________、=+)sin(απ_________、=+)tan(απ__________ （4）=-)cos(απ_________、=-)sin(απ_________、=-)tan(απ__________ （5）=-)2cos(απ_________、=-)2sin(απ_________、=-)2tan(απ__________（6）=+)2cos(απ_________、=+)2sin(απ_________、=+)2tan(απ__________ 6、在坐标系中画出正弦函数x y sin =两个半周期内的图像（标明五点）O A O AC在图中分别标出OB OA +和OB OA -12.设M 为线段AB 的中点，则OM 与OB 、OA 的关系式为_______________________ 3.若A 、B 、P 三点共线，且AB t AP =，则OP 关于基底{}OB OA ,的分解式为_____________________________.（1）定义域___________、值域___________ （2）奇偶性____________、周期__________（3）单调增区间___________________________、单调减区间___________________________ （4）最大值 ，此时x= ；最小值 ，此时x= ； （5）对称轴 ；对称中心 7、在坐标系中画出余弦函数x y cos =两个半周期内的图像（标明五点）（1）定义域___________、值域___________ （2）奇偶性____________、周期__________（3）单调增区间___________________________、单调减区间___________________________ （4）最大值 ，此时x= ；最小值 ，此时x= ； （5）对称轴 ；对称中心 8、正切函数x y tan =三个周期内的图像（____________、周期__________ （3）单调增区间_________________（4）对称中心9、正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 与)cos(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 周期T=________； )tan(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 周期T=_______10、在箭头上填写图象变换的内容：变换一：x y s i n = )3sin(π=x y )32sin(π+=x y)32s i n (21π+=x y 5)32sin(21++=πx y 变换二：x y s i n = x y 2sin = )32sin(π+=x y)32s i n (21π+=x y 3)32sin(21-+=πx y 11、和角公式：=+)cos(βα___________________；=+βαβαsin sin cos cos _______________ =+)sin(βα____________________；=-βαβαsin cos cos sin __________________ =+)tan(βα_____________________；=-)tan(βα___________________________两角和的正切公式的变形公式：=+βαtan tan 12、将x b x a y cos sin +=化为一个正弦型函数：_______________________________ 13、倍角公式：=α2sin _____________________、=α2tan _________________________、=α2cos _____________________=____________________=_________________________ 降幂公式：=α2sin =α2cos 14.经典题目（1）已知函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内，当12π=x 时，取得最大值2；当127π=x 时，取得最小值-2，求这个函数的解析式。
