【百强校】2015-2016学年广东仲元中学高二上期末数学试卷(带解析)

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：因为2(12i)i i 2i 2i z =+=+=-+，所以z 对应的点的坐标是(2,1)-，故选B ．考点：1.复数的运算；2.复数在复平面内所对应的点．2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 【答案】B考点：集合的交集运算.3. 命题“若0x >，则20x >”的否命题是（ ）A ．若0x >，则20x ≤B ．若20x >， 则0x >C ．若0x ≤，则20x ≤D ．若20x ≤，则0x ≤ 【答案】C 【解析】试题分析：命题“若0x >，则20x >”的否命题是“若0x ≤，则20x ≤”. 考点：命题的否定.4. 函数()()1tan cos f x x x =+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．32πC ．πD ．2π 【答案】A考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的最小正周期.5. 在ABC ∆中，3,4,120,AB BC B ==∠= 则AB BC ⋅=（ ） A．- B．C ．6-D ．6【答案】D 【解析】试题分析：()1cos 1803462AB BC AB BC B ⋅=⋅︒-=⨯⨯=，故选D. 考点：向量的数量积.6. 一算法的程序框图如右图，若输出的12y =，则输入的x 的值可能为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．5【答案】C 【解析】试题分析：由程序框图知：当2x ≤时，则1sin 62y x π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，x Z ∈，得1x =； 当2x >时，1242xy =>≠，故选：C ． 考点：程序框图.7. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是（ ）A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．② ④ 【答案】D考点：空间点、线、面的位置关系．8．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知：前三个小组的频率之和()0.010.0240.036100.7=++⨯=，∴支出在[50,60)元的频率为10.70.3-=，∴301000.3n ==． 考点：频率分布直方图.9.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为（ ）A B ． C D ． 【答案】A考点：1.双曲线的定义；2.双曲线的弦长；3.焦点三角形的周长．10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x －1x ＋y≤m 如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B 【解析】试题分析：画出,x y 满足的可行域如下图：可得直线21y x =-与直线x y m +=的交点使目标函数z x y =-取得最小值，故21y x x y m =-+=⎧⎨⎩，解得12133m m x y +-==， ，代入1x y -=- 得1211533m m m +--=-⇒=，故选B.考点：简单的线性规划.11．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k 行有k 个奇数），其中第i 行第j 个数表示为ij a ， 例如1542=a ，若2015=ij a ，则=-j i （ ）A ．26B ．27C ．28D ．29 【答案】B 【解析】试题分析：前k 行共有奇数为()1123 (2)k k k +++++=个，所以第k 行的最后一个数为 ()212112k k k k +⋅-=+-，第1k +行的第一个数为()11k k ++ ，当145k +=时， ()11444511981k k ++=⨯+= ，即第45行的第一个数为1981 ，因为20151981172-= ，所以2015是第45行的第18个数，即45,18i j == ，所以451827i j -=-=.（第11题）考点：数列的性质.【思路点睛】分析正奇数排列的正三角图表知，第i 行（其中*i N ∈）有i 个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数，由此即可求出结果．12.已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．4029B ．4029-C ．8058D ．8058- 【答案】D考点：函数的性质.【思路点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键．根据式子特点，判断当122x x +=时，()()124f x f x +=-，且()12f =-，由此可知12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1402920152015201522400151f f f ⎡⎤⎛⎫⎛=+⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+，由此即可得到结论．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 直线230x y -+= 的倾斜角为θ ，则222sin 5cos θθ+ =【答案】135【解析】试题分析：因为直线230x y -+= 的倾斜角为θ，所以tan 2θ=，又222222222sin 5cos 2tan 5132sin 5cos sin cos tan 15θθθθθθθθ+++===++.考点：同角的基本关系.14. 61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的常数项为______.【答案】15考点：二项式定理.15. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .【解析】试题分析：作出可行域如图所示：不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域W 是图中正方形CD AB ，则正方形CD AB 的面积是224⨯=．从区域W 中随机取点(),x y M ，使2OM ≤，则点M 落在图中阴影部分．在R t ∆AOM中，MA =，3π∠AOM =，所以阴影部分的面积是21122122263ππ⎛⎫⨯+⨯⨯=+⎪⎝⎭=考点：1.线性规划；2.几何概型．【思路点睛】本题考查几何概率问题和简单线性规划问题．首先，作出所示平面区域，有题意可知，这是一个几何概率模型．算出图中以()00，圆心2为半径的圆的阴影面积，再除以平面区域矩形ABCD 面积，即可求出概率．16. 一个五位自然数12345,{0,1,2,3,4,5},1,2,3,4,5i a a a a a a i ∈=，当且仅当123345,a a a a a a >><<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为为 . 【答案】146考点：排列组合．【思路点晴】本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.三、解答题： 本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin αβ+的值.【答案】（1）1a =-，32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；（2．（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ α=. ∴ sin α=. …6分∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos α== …………………7分∵34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ cos β=.∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin β==. …………………8分 ∴ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ……………………9分==……10分考点：1.函数的零点； 2.三角函数的单调性；3.同角三角函数的基本关系；4.两角和的正弦公式． 18．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）13n n a =；（Ⅱ）1(21)3344n n +-+考点：1.等比数列的性质；2.错位相减法.【方法点睛】针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到 112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.19．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）【答案】（1）25（2）ˆ 2.14yx =+∴ 42()105P A ==． ……………………6分（2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==． ………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4ay bx =-=， ………………………10分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． ………………12分 考点：1．等可能事件的概率；2．考查线性回归方程的求法. 20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB?o ，侧面PAB 为等边三角形，侧棱PC =（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ^平面ABC ； （Ⅲ）求二面角B AP C --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析； 试题解析：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，CABP因为AP BP =，所以PD AB ^.………………… 1分 又AC BC =，所以CD AB ^. ………………… 2分 因为PD CD D =I ，所以AB ^平面PCD .因为PC Ì平面PCD ，所以PC AB ^. ……… 3分方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.考点：1.二面角的平面角及求法；2.平面与平面垂直的判定．【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中||||cos 2121n n ⋅=ωAω θ βlαn 2n 12图1图221．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C相交于,A B 两点， 问AM BM +=0是否成立？请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）AM BM +=0不成立.解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440kxkmx m +++-=．从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………6分()228414214M km kmx k k =-=-++， ………………………………8分考点：1.椭圆的方程；2.直线与圆锥曲线. 22．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．【答案】（1）1,2a b ==；（2）存在，m 的取值范围为(,2]-∞；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）求导()2bf x ax x '=-，进而可得(1)1(1)20f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩，即可解出a ，b 的值；（2）先对函数()g x 求导，再对m 的值进行分类讨论，即可得m 的取值范围；（3）结合（2），可证12ln x x ->，进而可证121222(ln ln )x x x x x ->-，即可证212212ln ln x x x x x -<-． 试题解析：（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞，∴()2bf x ax x'=-. ………………1分依题意可得(1)1,(1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩解得1,2a b ==. ………2分（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减, ∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. ………………………8分 ∵ 120x x <<,∴ 1201x x <<. 112212ln x xx x ->. …………10分 ∴121222(ln ln )x x x x x ->-. ∵ 21ln ln x x >,∴212212ln ln x x x x x -<-. ………12分 证法2：设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x xϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， ∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递∴2()()0x x ϕϕ<=. ………9分考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数证明不等式．。

广东仲元中学高二期中考试数学试题（2015.11）一．选择题1.已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p C .1sin ,:>∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 3.已知x 可以在区间[－t ，4t ](t ＞0)上任意取值，则x ∈[－21t ，t ]的概率是( ). A ．61 B ．103 C ．31D ．21 4.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( )A . 13B . 12C . 23D . 345.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图l ，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x y +的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．106.已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( ) A ． 4 B ．14 C ．14- D ．-4 7.P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上一点，1||6PF =，则等于（ ）.A ． 14 B. 2 C . 2或14 D. 4 8.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥但不对立的两 个事件是（ ） A ．至少有1名男生与全是女生B ．至少有1名男生与全是男生C ．至少有1名男生与至少有1名女生D ．恰有1名男生与恰有2名女生9.按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是( ).A ．3B ．4C ．5D ．610. 如图是根据x ，y 的观测数据()i i y x ,（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图是 （ ）A.①②B.①④C.②③ D .③④11．设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的 等腰三角形，则E 的离心率为A .12 B .23 C .34 D .4512．直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点，该椭圆上点P 使得PAB ∆面积为2，这样的点P 共有（ ）个 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 二．填空题 13．若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 ．14．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．15．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5416. 椭圆1C 方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为12222=-by a x ，1C ，2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 . 三．解答题17．（本小题满分12分）给定两个命题P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；(1) “0=a ”是P 的什么条件？（2）如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围． 18. （本小题满分10分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：(单位：万元)（1）请画出上表数据的散点图；(2 ) 请根据上表数据求回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ； (3 ) 试根据(2)求出的线性回归方程，预测该社区一户收入为15万元家庭年支出为多少?10 y(万元) 86 419．（本小题满分12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们 的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于 40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 20．（本小题满分12分）已知双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，实轴长为2，经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且M 为AB 中点. （1）求双曲线C 的方程； （2）求直线l 的方程. 21．（本小题满分12分）已知动点P到定点)F的距离与点P 到定直线l：x =2． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若0EM FN ⋅=求MN 的最小值．22．（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．图4高二期中考试数学试题参考答案一．选择题ACACB CADBD CD （12题为期中复习题一第12题改编） 二．填空题13． 1. 14． 5600 15． 785，567，199，810． 16. x y 22±= 三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（1）“0=a ”是P 的充分不必要条件；（答充分条件也对） …………2分（2）对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔000a a 或 40<≤⇔a ； …………5分 关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ； …………7分如果P 正确，且Q 不正确，有44141,40<<∴><≤a a a 且； …………9分如果Q 正确，且P 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或． …………11分 所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410, ． …………12分18. （本小题满分10分） 解：（1）散点图（略） …………2分 (2)8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元） …………3分6.27.58.08.59.885y ++++==（万元） …………4分故ˆˆ80.76100.4ay bx =-=-⨯= …………5分 所以回归直线方程为 0.760.4y x =+ …………7分 (3) 当社区一户家庭年收入为15万元时其年支出为0.76150.411.8y =⨯+=万元 …………9分 答：可预测该社区一户年收入为15万元家庭年支出为11.8万元 …………10分19．（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．…………………………1分 解得0.03a =．………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人．……………………………5分 （3）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．……6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．7分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……11分所以所求概率为()715P M =．………………………………………………12分 20．（本小题满分12分, 教材《选修2-1》P.80第9题改编）解：（1）由已知：22,a c == 2221,2a b c a ∴==-=…………………………………2分所以双曲线C 的方程为2212y x -=……………………4分 （2）设点1122(,),(,)A x y B x y并设经过点M 的直线l 的方程为1(2),12y k x y kx k -=-=+-即………5分把12y kx k =+-代入双曲线C 的方程2212y x -=， 得2222(2)2(12)(12)20(20)k x k k x k k ------=-≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅①…………6分所以122(12)2.22M x x k k x k +-===-………………7分 解得4k =.…………………8分当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.…………10分 所以，直线l 的方程为47.y x =-……………………………12分 21．（本小题满分12分,教材《选修2-1》P.47例6改编） （1）解：设点(),P x y ，2=．………………2分 整理，得22142x y +=．…………………………………4分 所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=．……………………5分 （2）解：∵点E 与点F 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为()．…………………………………6分 ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设()1M y ，()2N y （不妨设12y y >）．∵0EM FN ⋅=，∴())120y y =．…………………………………7分 即1260y y +=．即216y y =-．…………………………………8分 由于12y y >，则10y >，20y <． ∴12116MN y y y y=-=+=≥．……………………………10分当且仅当1y =，2y=时，等号成立．……………………………11分 故MN 的最小值为．…………………………………12分22．（1）解法一：当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为22221x y a b+=（0a b >>），则2a =，又点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，得2219124b+=．解得23b =． ∴椭圆E 的方程为22143x y +=． 当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为22221x y b a+=（0a b >>），则2b =，又点31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，得2219124a+=． 解得23a =，这与a b >矛盾．综上可知，椭圆E 的方程为22143x y +=． ……4分 解法二：设椭圆方程为221mx ny +=（0,0m n >>）， 将()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆E 的方程，得41,91.4m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得14m =，13n =． ∴椭圆E 的方程为22143x y +=． ……4分 （2）证法一：将直线l ：()1y k x =-代入椭圆E 的方程22143x y +=并整理，得()()2222348430k xk x k +-+-=， ……5分设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，由根与系数的关系，得2122834k x x k +=+，()21224334k x x k -=+． ……7分直线AM 的方程为：()1122y y x x =++，它与直线4x =的交点坐标为1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得直线BN 与直线4x =的交点坐标为2224,2y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭． ……9分 下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等： ∵()111y k x =-，()221y k x =-， ∴()()()()()()1221121212612212622222k x x k x x y y x x x x ----+-=+-+- ()()()()()()2222121212128340283434225802222k k k k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+⎢⎥++-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦===+-+-．因此结论成立．综上可知，直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……12分证法二：将直线l ：()1y k x =-，代入椭圆E 的方程22143x y +=并整理， 得()()2222348430k x k x k +-+-=， ……5分设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，由根与系数的关系，得2122834k x x k +=+，()21224334k x x k-=+． ……7分 直线AM 的方程为：()1122y y x x =++，即()()11122k x y x x -=++． 直线BN 的方程为：()2222y y x x =--，即()()22122k x y x x -=--． ……9分 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得()()()1212212121212222342233424x x x x x x x x x x x x x x x -++⎡⎤-+⎣⎦==+-++- ()2222222222228324462443434344846423434k k k x x k k k k k x x k k ⎡⎤-⎛⎫+-+⎢⎥-+ ⎪++⎢⎥+⎣⎦⎝⎭===+-+-+++． ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……12分证法三：将直线l ：()1y k x =-，代入椭圆方程22143x y +=并整理， 得()()2222348430k x k x k +-+-=， ……5分设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，由根与系数的关系，得2122834k x x k +=+，()21224334k x x k-=+． 消去2k 得，()1212258x x x x =+-． ……7分直线AM 的方程为：()1122y y x x =++，即()()11122k x y x x -=++． 直线BN 的方程为：()2222y y x x =--，即()()22122k x y x x -=--．……9分由直线AM 与直线BN 的方程消去y 得，()()121212121212258322343434x x x x x x x x x x x x x +--+⎡⎤-+⎣⎦===+-+-．∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……12分。

广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高二年级数学（文科）试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 设集合，（）A. B． C． D．【答案】B【解析】，，∴。

2. 复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原式=，选A.3. 函数的图像（）A. 关于原点对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于直线轴对称【答案】A【解析】，所以为奇函数，选A.4. 双曲线的渐近线与圆相切，则（）A. B. 2 C. 3 D. 6【答案】A【解析】由题意可得双曲线渐近线方程：，由相切可知，选A.5. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】试题分析：：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12考点：茎叶图6. 已知函数的两个零点满足，集合，则（）A. ∀m∈A，都有f(m＋3)>0B. ∀m∈A，都有f(m＋3)<0C. ∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D. ∃m0∈A，使得f(m0＋3)<0【答案】A【解析】由题意可得的解集为且，设，由，，所以f(m＋3)>0，选A.【点睛】一元二次不等式解集的分界点即是所对应一元二次函数所对应零点，结合一元二次函数图像是本题解题的关键点。

7. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】运行程序：，，，因为不满足，，，因为不满足，，，因为满足，输出，故选B．考点：本题考点为程序框图，要求会准确运行程序8. 等差数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知等差数列的公差为，所以，选C.9. 某几何体的三视图（如图所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是A. B.C. D.【答案】A【解析】三视图还原可知，原图形为三棱锥，其中等腰，面，，选A.10. 若满足约束条件,且的最大值为9．则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画出可域如下图，其中x=m是一条动直线，由于已知，所以当经过可行域某个顶点（或边界）时取到最大值，此时点A(3,-3)，所以m=3,选D.11. 设函数,则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数，所以函数为定义域上的偶函数，且在区间为单调递增函数，所以使得，则，解得，故选A．考点：函数的奇偶性与单调性的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及函数的单调性的应用、函数不等式的求解，期中正确判定函数的的奇偶性，利用函数的奇偶性判定出函数在为单调递增函数，结合函数的图象列出不等式关系式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．12. 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知=，，选D.【点睛】对于外接球或内嵌体问题，最重要的是画出立体图形，对于复杂的还需要做出截面。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东仲元中学高二上期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：181分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．72、若函数 则（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知条件p ：x 2-2x-3＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞3B ．a≥3C ．a ＜－1D ．a≤－14、已知实数满足，若可行域内存在点使得成立，则的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．4D ．55、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6、设 ， ， ，则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在8、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y=cosxB ．y=sinxC ．y=lnxD ．y=x 2+19、已知，，与的夹角为，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．10、实数是上的随机数，则关于的方程有实根的概率为（ ）11、命题“”的否定是（）A． B．C． D．12、已知集合，集合，则（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、三棱柱中，，所有顶点在同一个球面上，，则该球的表面积为________.14、已知直线与圆相交于A,B 两点，且为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.15、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________.16、在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点,则的值为________.三、解答题（题型注释）17、已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.18、已知椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线C ：y 2=2px 以F 2为焦点且与椭圆相交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），点M 在x 轴上方，直线F 1M 与抛物线C 相切．（I ）求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标；（II ）设A ，B 是抛物线C 上两动点，如果直线MA ，MB 与y 轴分别交于点P ，Q ．△MPQ是以MP ，MQ 为腰的等腰三角形，探究直线AB 的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．19、如图，四棱锥，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面ABCD 垂直，为的中点．（I ）求证：； （II ）求直线与平面所成的角的正弦值．20、某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（I ）求直方图中的值；（II ）求月平均用电量的众数和中位数； （III ）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？21、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（I ）请直接写出上表的、、，并直接写出函数的解析式；（II ）将的图象沿X 轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小.22、在等比数列中，公比，，前三项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)记，，求数列的前项和.参考答案1、B2、D3、D4、D5、C6、B7、A8、A9、C10、B11、C12、C13、14、1或-115、216、17、（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）18、（1）（1，2）、（1，﹣2）；（2）-1.19、（I）证明见解析；（II）20、（I），（II）230,224；（III）521、（I）（II）22、(Ⅰ)，(Ⅱ) .【解析】1、试题分析：在双曲线中，为双曲线的右支上一点，所以分别是圆和上的点，则则所以最大值为9.考点：双曲线的定义的应用.2、试题分析：因为，因为，所以，，所以4，答案为D.考点：分段函数的应用.3、试题分析：由x2-2x-3＜0可得，设，，因为p是q的充分不必要条件，所以，可得.考点：充分条件与必要条件.【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件．4、试题分析：作出不等式对应的可行域，由可得平移直线当直线经过点B时，直线的截距最大，此时a最大，由，解得，此时a的最大值是所以选D.考点：线性规划.5、试题分析：由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个圆锥组成，圆柱的体积为半个圆锥的体积所以该几何体的体积为所以选考点：利用三视图求体积.6、试题分析：，，，则的大小关系是.考点：比较大小.7、试题分析：在正数组成的等比数列中，因为，由等比数列的性质可得，那么，当且仅当取等号，所以的最小值为20.考点：等比数列的性质及基本不等式.8、试题分析：函数A．y="cosx" ；B．y=sinx；C．y=lnx；D．y=x2+1中，是偶函数的是A．y="cosx" ；D．y=x2+1函数D．y=x2+1恒大于等于1，不存在零点，所以应选A.考点：函数的零点及奇偶性.9、试题分析：由题意，所以.考点：向量模的运算.10、试题分析：要使关于的方程有实根，则，解得，实数是上的随机数，所以，则关于的方程有实根的概率为，所以选B.考点：几何概型.11、试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.先把存在量词（或全称量词）改为全称量词（或存在量词），再否定结论即可；扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.考点：含一个量词的命题的否定.12、试题分析：集合，集合，所以应选C.考点：集合的基本运算.13、试题分析：由题意三棱柱是以为邻边长方体截得的，其外接球是其长方体的外接球，其直径是长方体的对角线长为，所以，所以应填.考点：三棱柱外接球的体积.14、试题分析：设AB的中点为D，由题意可得CD="BD" 且，圆的圆心坐标为，所以，解得.考点：直线与圆的位置关系.15、试题分析：函数的定义域为，设因为切点坐标为，所以，解得（舍去）或,所以应填2.考点：导数的几何意义.16、试题分析：由题意及三角函数的定义可知，所以.考点：三角函数的定义及二倍角公式.17、试题分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）题意说明在上恒成立，即不等式恒成立，，因此问题转化为求的最大值．试题解析：由已知函数的定义域均为,且.（1）函数当且时,;当时,.所以函数的单调减区间是,增区间是.（2）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．考点：导数与单调性，导数的综合应用．【名题点睛】在导数的应用中，用导数求单调区间是常见问题，常用方法是角不等式得增区间，解不等式得减区间，但如果已知在区间上是增函数，则所用结论变为在时恒成立（同样，如果已知在区间上是减函数，则所用结论变为在时恒成立），主要是的孤立零点对单调性没有影响．在等价转化时要注意，否则易漏解.18、试题分析：（1）由椭圆方程可得，从而得到椭圆两焦点坐标．又由抛物线C的焦点，可得p的值，可得抛物线C的方程，∵点M在抛物线C上，表示出直线F1M的方程代入抛物线得一元二次方程，由F1M与抛物线C相切，则△=0，可得M,N的坐标．（2）先设出,．写出则，，因为△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得k MA=﹣k MB．可得，可得k AB=所以直线AB的斜率为定值﹣1．试题解析：（1）由椭圆方程得半焦距．∴椭圆焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2．∴抛物线C的方程：y2=4x．∵点M（x1，y1）在抛物线C上，∴．直线F1M的方程为．代入抛物线C得，即．∴∵F1M与抛物线C相切，∴△=，∴x1=1．∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，﹣2）．（2）直线AB的斜率为定值﹣1．证明如下：设,．则，同理，∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k MA=﹣k MB．即∴k AB=所以直线AB的斜率为定值﹣1．考点：求抛物线方程及定值问题19、试题分析：证明线线垂直常用线面垂直，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.或定义法利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全,证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等.试题解析：（I）取中点，连接，，，由题意可知，均为正三角形．所以，．又，平面，平面，所以平面，又平面，所以．（II）方法1：由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．即为三棱锥的高．在中，，在中，，，边上的高，所以的面积．设点到平面的距离为，由得，，又，所以，解得．故点到平面的距离为．设直线与平面所成的角为则，所以直线与平面所成的角的正弦值为．方法2：用空间向量来计算.考点：线线垂直，直线与平面所成的角的正弦值.【方法点睛】利用向量法证明立体几何问题：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.20、试题分析：（I）由频率分布直方图性质可得求出的值（II）由频率分布月平均用电量的众数为最高矩形上端的中点可得中位数在内，设中位数为，由得解；（III）通过计算各段用户分别为25,15,10,5，抽取比例，可得月平均用电量在的用户中应抽取户.试题解析：（I）由得：所以直方图中的值.（II）月平均用电量的众数是；因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是.（III）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户.考点：频率分布直方图及分层抽样.21、试题分析：（I）将表中的数据代入中，得到关于的方程组，求得的值，得到函数的解析式，进一步求得、、的值；（II）将的图像平移得到函数，求出图像的最高点和最低点的坐标，再求出三角形OPQ的边长，利用余弦定理求得的大小.试题解析：（I），，，（II）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以所以，所以考点：求函数的解析式及余弦定理.22、试题分析：(Ⅰ)由在等比数列中，公比，，前三项和可得；从而求出得可得数列的通项公式(Ⅱ)由(Ⅰ)数列的通项公式, 可得数列的通项公式，再由已知可得数列∴的通项公式，由通项公式的特点，选择裂项求和求得数列的前项和.试题解析：(Ⅰ)由；得所以(Ⅱ)由(Ⅰ)中, ,∴∴考点：求数列的通项公式及裂项求和法求数列的前项和.【方法点睛】（1）观测数列的通项公式特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（2）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.。