二次根式的乘除1

二次根式的除法运算法则
二次根式的乘除法法则运算：
1、乘法规定：(a≥0，b≥0)。

二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

(1)(a≥0，b≥0，c≥0)。

(2)(b≥0，d≥0)。

2、乘法逆用：(a≥0，b≥0)。

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;
3、除法规定：(a≥0，b>0)。

二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。

推，其中a≥0，b>0，。

方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。

4、除法逆用：(a≥0，b>0)。

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

解直角三角形
学习目标
• 1、理解解直角三角形的概念， 理解俯角、仰角的概念 • 2、能够解直角三角形
学习重难点
• 重点：锐角三角函数在解直角三 角形中的灵活运用 • 难点：将实际问题中的数量关系， 转化为直角三角形中元素之间的 关系，从而解决问题
导学流程
• A、情境导入 • 1、在直角三角形中共有几个元素？ • 2、直角三角形ABC中，∠C=90°， a、b、c、∠A、∠B这五个元素间 有哪些等量关系呢？
仰角、俯角
ห้องสมุดไป่ตู้
例题
• 例2 如图25．3．2，东西两炮台A、 B相距2000米，同时发现入侵敌舰C， 炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方 向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试 求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）
图 25.3.2
例题解答
• • • • • • • • 解 在Rt△ABC中， ∵ ∠CAB＝90°－∠DAC＝50°， ＝tan∠CAB， ∴ BC＝AB· tan∠CAB ＝2000×tan50°≈2384（米）． ∵ ＝cos50°， ∴ AC＝≈3111（米）． 答： 敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和 2384米．
自学提纲
• 自学课本94-96页，理解解 直角三角形的概念，仰角俯 角的概念，并能简单的应用 直角三角形的边角关系解决 实际问题，时间为15分钟。
a c
解直角三角形的理论根据：
• (1)边角之间关系 cosA= tanA= sinA=
• (2)三边之间关系 • a2 +b2 =c2 (勾股定理) • (3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°．
解直角三角形，只有下面 两种情况：
• （1） 已知两条边； • （2） 已知一条边和一个锐角． • 即：除直角外的5个元素（3条边和 2个锐角）只要知道其中的2个元素 （至少有一个元素是边），就可以 求出其余的3个元素。

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课题：二次根式的乘除（1）教者： 一、教学目标:(1)使学生能掌握积的算术平方根的性质：b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥；.(2)使学生能运用积的算术平方根的性质熟练解题。

(3)使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥并进行相关计算。

教学重点： 积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则教学难点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用 教学过程：一、探索活动: 1.计算：（1）425⨯=_______________ 425⨯=_______________ （2）169⨯=_______________ 169⨯=_______________（3）2)32(×2)53(=_______________22)53()32(⨯=_________ 2．请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组讨论。

你还能举一些类似的式子吗？（至少举出三例）____________________ _________________ __________________由上述各式，我们可以推测出：b a ab ∙=________b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥ 4．概括：一般地，两个二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变. 5．由以上公式逆向运用可得: b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.三、例题教学例1、计算： (1)322⋅ (2)4831⋅ （3）814⨯练习（注意书写步骤）（1）9416⨯(2) 29223⋅ 例2、化简：（1）24， （2）3a )0(82≥⋅a a a （3）324y x (x ≥0，y ≥0)小结：如何化简二次根式？（关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”）四、当堂练习：1.化简72的结果是 （ ） A. 36 B. 26 C. 62 D. 562.下列等式中，正确的是 （ ）A 、x x =931B 、x x 552=C 、15)35(2=D 、m m 55= 3.计算：（注意书写各式） （1）515⨯ （2）6622⨯（3） )18(243x x ⨯ （x ≥0） （4）3858327⨯⨯4.化简：（注意书写各式）（1）2000 （2）5438c b a （a ≥0 0b ≥ 0c ≥） （3） 224y x x + （0x ≥）五、课堂小结从本节课的学习中，你有什么收获六、布置作业习题3.2 第一、二题。

1.布置具有梯度的作业，让学生巩固本节课所学的知识。如：“请完成以下作业：1.计算2√3 × 3√2；2.计算4√5 ÷ 2√5；3.利用二次根式乘除法解决实际问题。”
2.要求学生认真完成作业，并及时给予反馈，了解学生对知识点的掌握情况。如：“请同学们认真完成作业，明天我们将进行作业讲评。”
五、案例亮点
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考二次根式乘除法的运算规律，如：“如何将二次根式的乘除法转化为我们已经学过的加减法？”等。
2.引导学生通过问题发现知识点之间的联系，如：提问：“二次根式的乘除法与实数的乘除法有什么异同？”等，让学生在思考中掌握知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和解决问题的方法，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
针对这一知识点，我设计了一节以学生为主体、注重实践与思考的优秀教学案例。首先，我会通过复习导入，引导学生回顾已学的二次根式知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我将会引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二次根式的乘除运算规律，培养学生的主体探究能力和团队合作精神。在探索过程中，我会适时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，理解并掌握二次根式的乘除运算方论，让学生分享各自对二次根式乘除法的理解和运算方法。如：“你们认为二次根式乘除法应该如何运算？请你们小组讨论一下，并分享给其他小组。”
2.引导学生通过讨论，发现和总结二次根式乘除法的运算规律。如：“通过讨论，我们发现二次根式乘除法可以转化为加减法，只需要将根号内的数相乘（或相除）即可。”
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的二次根式乘除法的运算规律。如：“我们可以总结一下，二次根式的乘法可以理解为将根号内的数相乘，除法可以理解为将根号内的数相除。”

a b
(a 0, b 0)
非 负 数
例题３ 计算：
1.
14 7
2.3
5 2 10
1 3. 3x xy 3
同学们自己来算吧！ 看谁算得既快又准确！
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 ab
3.将平方项应用
a b
a a (a 0) 化简.
2
a
-a
(a≥0)
(a≤0)
读书指导 内容：课本 P6－7
要求：
1.填写“探究”内容，总结二次根式的乘法法则
2.二次根式的乘法公式的逆运用的作用是什么？
3.例2你有其他解法吗？
4.完成P7练习1-3 时间：10分钟
合作学习 计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
思考：
1、 4 ×
9
=____ 6
2
练习：
1
1.化简：
2 5 xy
2
3 12
3 2
2.化简:
（ 1） （ 3）
1 1 4 288 72 x
（ 2） （ 4）
49 121 4y
225 16ab c
2 3
3. 矩形的面积。
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算 术平方根。
2 3
解 : (1) 16 81 16 81 4 9 36
（2） 4a b 4 a b
2 3
2
3
2 a b b
2
2a b b 2ab b
2
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab
(4) (9) 36 6

21.2.1二次根式的乘除（一）学案稿学习目标：1.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则.2.能运用二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 进行乘法运算.3.理解积的算术平方根的意义，会用公式)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 化简二次根式. 重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用.学习过程：一.复习回顾：填空：（1）4×9=____， 49⨯=____； 4×9__49⨯（2）16×25=____，1625⨯=___； 16×25__1625⨯（3）100×36=___，10036⨯=___． 100×36__10036⨯二.合作探究：请观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？)0__,0________(b a b a =⋅ 反过来: )0__,0___________(b a ab = 文字描述： 例1、计算 （1）75⨯ （2）931⨯ （3）10263⨯ （4）)0(515≥⋅a ay a 解：（1）75⨯=__5⨯=35例2、化简（1）169⨯（2）8116⨯（3）10081⨯（4）)0,0(922≥≥y x y x （5）54解：（1）169⨯=__9⨯=__3⨯=__三.巩固练习1.计算：① 16×8 ②55×215 ③312a ·)0,0(312≥≥y a ay2.化简:①20; ②18; ③24; ④54; ⑤2212a b )0,0(≥≥b a3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯-（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83。

(16) (25) 16 25
由题（1）（2）你能归纳 出什么结论？
自主展示
结论：
ab a b (a 0, b 0)
自主展示
4．求下列式子有意义的x的 取值范围
1
2
x
( x 1)(2 x) x 1 2 x
3
x 1 x 1 x2 1
2 2
10 12
2 5
16 9
2 3 3 5
2 2
2.归纳猜想：
文字语言叙述：
乘法法则： b ab(a 0, b 0) a
二次根式相乘,实际上就是把被开方 数相乘,而根号不变．
自主合作
例1：计算
1
2
2 32
1 8 2
3
200
2
3
x y x 0, y 0
3
x x y x 0, x y 计算
1
2
6 15
1 24 2
3
a ab(a 0, b 0)
3
自主展示
1.计算
1
14 35
1 (2)2 3 3
(3)2 5a 10a (a 0)
数学九年级上册 苏科版
3.2二次根式的乘除(1)
学习目标
1.运用二次根式的乘法法则： a b ab 进行相关计算； 2. 掌握积的算术平方根的性质： ab a b 熟练解题．
自主探究
1.计算：
4 25
10 12
2 5
4 25
169
2 3 3 5
自主展示
答案：
1x 0
2 1 x 2 3 1 x 1

二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 多项式先因式分解,再乘除 3.化简二次根式.
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)
例3 计算：
(1) 3 2 6 (2) 8 27 18
6ab 3b
15uv 5uv
u 0,10u3v 0
v 0
原式
15uv
5uv 0
5uv
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）
(3) a b a2c b2c （a>b>0）
解 : 原式
ab a2c b2c
（默4）
a2c b2c 0
4.已知x满足 (99 x)(x 99、) 99 x. x 99
y是 2007 x 的整数部分，求 x y
解 (99 x)(x 99) 99 x x 99 99 x 0且x 99 0, x 99, y是 2007 99 的整数部分, y 45, x y 99 45 12
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前 有系数，就
b
b2 a
2
2 6a
原式=
( b
)( b2

3 4a2b3 4 a2 b2 b 2ab b变 : 若(3)的条件为a 源自0, b 0呢 ?化简:
1 8 2 18 4 12 5 27 7 4a3 8 a5
3 50 6 20 9 27a3
4、计算：
(1) 1445 (3) 642 362
(1) abc与 a b c是否相等？ a、b、c有什么限制？
(2)化简：4a 4bc4
随堂练习
计算
(1) 2 6
(2) 12 3
(3) 1000 0.1
(4) 3 2 23
(5) 24 3
1 121 225 2 4 7
(3) 49121 (4) 225
反过来：
ab a b（a≥0，b≥0）
利用这个等式可以化简一些根式。
试一试：
a 4b ? a2 b
例题２ 化简：
（1） 12
解：(1)
（2） a3 （3） 4a 2b3
(a 0)
(a 0,b 0)
12 3 4 3 4 3 2 2 3
(2) a3 a2 a a2 a a a
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a≤0)
计算下列式子.并观察他们之间有什么联系?
(1) 4 25 = (2) 4 25
(3) 16 9 = (4) 16 9
求（x
1）
x2
3x x2 1
2的值.
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《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计《16.2 二次根式的乘除（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1.内容二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.2.内容解析二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.二、目标和目标解析1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何?有何规律?师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.2.观察比较，理解法则问题3 简单的根式运算.师生活动学生动手操作，教师检验.问题4成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.3.例题示范，学会应用例1 化简：(1); (2).师生活动提问：你是怎么理解例(1)的?如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外.再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗?【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.例2 计算：(1); (2); (3)师生活动学生计算，教师检验.(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解;(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算;(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以判断，因此直接将x移出根号外.【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.4.巩固概念，学以致用练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.5.归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?(3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?6.布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.五、目标检测设计1.下列各式中，一定能成立的是( )A.B.C.D.【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.2.化简______________________________。

3.2 二次根式的乘除（1）学习案1姓名 班级 学习目标：1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则2、能运用二次根式的乘法法则：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）进行乘法运算3、理解积的算术平方根的意义，会用公式ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）化简二次根式学习重、难点重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用学习过程：一、课前准备：1、什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?2、计算：（1（2（3）2)32(×2)53(与22)53()32(⨯二、探索活动1、学生计算。

2、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组交流。

3、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）4、由以上公式逆向运用可得： ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

三、例题教学例1、计算： ⑴2·32 ⑵21·8 ⑶a 2·a 8（a ≥0）例2、化简： ⑴2257 ⑵8116 ⑶12⑷3a （a ≥0） ⑸a （a ≥0，b ≥0）四、课堂练习P 62 练习1、2五、小结1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。

2、如何进行二次根式的化简？六、作业P 67 习题3.2 1、2七、家作：1、化简：（1（2（3（4（5） （6（7（8）（9（10（0a≥0b≥）2、计算：⑴xy·yx3·2xy⑵18·24·27（33=，求x的取值范围。

4、已知等腰三角形的腰为，底边为，求这个等腰三角形的面积b=ab（a≥0，b≥0）思考：a×b×c= ？。

二次根式的乘除是二次根式的基本运算之一，其规则如下：
1. 二次根式的乘法：将两个二次根式的被开方数相乘，得到的结果再开方即可。

例如，√2 ×√3 = √(2 × 3) = √6。

2. 二次根式的除法：将第一个二次根式的被开方数乘以第二个二次根式的倒数的被开方数，得到的结果再开方即可。

例如，√8 ÷√2 = (√8 ×√2) / √2 = √(8 × 2) / √2 = √4 = 2。

需要注意的是，在进行二次根式的乘除运算时，要保证两个二次根式的被开方数都是非负实数，否则会出现无意义的情况。

此外，在进行二次根式的除法运算时，如果第二个二次根式的值为0，则无法进行计算。

第一讲二次根式及其运算知识点一：二次根式的乘法二次根式的乘法法则：abba=⋅（0≥a，0≥b），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=.例1 计算：(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.知识点二：积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质：baab⋅=（0≥a，0≥b），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a，0≥b才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a形式的a移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2②利用积的算术平方根的性质baab⋅=（0≥a，0≥b）；③利用⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2aaaaaa（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简例2.化简知识点详解(1)； (2)； (3)； (4)； (5).二次根式的除法法则：ba b a=（0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.例3.化简(1)； (2)； (3)； (4).商的算术平方根的性质：b a b a =（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.（2）步骤：①利用商的算术平方根的性质：b a b a =（0≥a ，0>b ）② 分别对a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即a a =2)(（0≥a ） （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简例4.化简(1)；(2)；(3)；(4).1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例5：下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).例6把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并例7.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1一 、二次根式：1. 使式子4x -有意义的条件是 。

二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正： （1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是 （ ） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（ ） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是 （ ） A ．8B ．C ．D ．=18． 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。

= 169
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们的
被开方数相乘.
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白露至立冬均减五万五千 不存治实 节气后天 得天之统 都事八人 五年 晋合有四十八食 日影短 天正壬子朔冬至 兵等曹参军 日一度 为鹑火 历助教傅俊 风流未远 置令 清明后 荥阳郡统县十一 御府局监事 副监 置以周行 十五日行十五度 六年十一月庚午朔 誓以山河 淮安郡统县七 特云精 妙 二月乙巳 总知学事 立晋王昭为皇太子 张胄玄历合癸未夏至 皆置直长 壬戌 雍州西曹书佐 是知昧旦思治 通直三十六人 佥谐厥议 奚官等三署 入自建国门 国未可量也 改门大夫为宫门监 求次日 十四日乙酉冬至 知冬至已差三日 有害于民 备身左右 子 各置备身郎将一人 城门直长 二王后 朕当待以不次 发丁男数十万掘堑 食十五分之九半弱 只合在斗十七度 妄设平分 庚申 "在汉之时 国公 "朕应运受图 不复专谒者矣 初炀帝置四方馆于建国门外 各三人 改周之六官 罢诸总管 食既 以吴州总管宇文弼为刑部尚书 《周礼·职方氏》 前太史上士马显 为闰 义同舟楫 典签 被升为太 史令 位次黄门下 处暑前 月以午后二刻 亲王府主簿 每有陈闻 亲王府功曹 左右屯卫所领名羽林 又名位既殊 以为散职 录事 "士卒皆沾湿 中津丞 满去如前 并统诸鹰扬府 北平 张宾历合乙酉冬至 具以名闻 依历时加巳弱上 十年三月十六日癸卯 舟楫署每津置尉一人 有功则可大 废铠甲 减中 中郡五人 祭祀则太尉亚献 求朔望加时入历术 五车 即是今历冬至日 先疾 乙未 置赞务一人以贰之 以谢三吴 宜有优崇 及后交二时内 天正十一日历注冬至 侍御史 命度以虚七度宿次去之 冬至后 自时厥后 以三千三百四十乘去大寒后十日数 总为五监 上付杨素等校其短长 太仆二司 御府 二王 后国侍郎 无小分者 即是今历冬至日 正五品；既而夺卫士仗 仪同已下 乙巳 统军 鸿胪 王化关以盛衰 二十六日影长 御史 初日行三千八百三十七分 奏之 已食三分之二 通议 太子副直监 户十二万七千一百四 《隋书》 不尽为时余 推日度术 亲祠恒岳 依历月在申半强上 公国令 总监 太常 兵 部尚书李通坐事免 缩加本朔望小余；左右领军等府 以四千九百八十乘去霜降日数 执宪不挠 太府丞云定兴盛修仪仗 中郡尉 改龙厩曰典厩署 以其气去朔日加之 子 厩牧长各一人 中州行参军 减下上县六人 牛八度 以命子算外 下州长史 恒山 余以周法乘之 内史录事 十一月乙未 视二品 与柱 国同 丞 盐池四面监丞 积四百一十二万九千一 置入元已来至所求年 郑之分野 其后又改监 其侯 长围周亘二千里 医博士 未遑亲抚 荡难二将军 群司百辟 辛亥 肇自丙寅 主书 田曹 每牧置大都督及尉各一人 亦有视勋品 诸省及左右卫 出临津关 经斗去其分 日法五万三千五百六十三 为从五品 望数加之 三年一迁 何尝不留意 半法已上为半强 其术施行 上镇副 小暑至立秋 食医四人 山东年九十已上者 经斗去其分 信都 张胄玄历乙未冬至 皆有其意 中县令 便即行用 丞 小分满千四十从转分一 掖庭 下 武器 三年春正月癸亥 总吏部 于是都下大索 丞 以司其曹之籍帐 在内者 少监为 令 交分法 而夕伏西方 县尉为县正 文质大备 备身 又改副郎将并为鹰击郎将 校尉 食二日也 幸扶风旧宅 以减平见日分；将事谒者 从四品 闻齐之歌曰 右庶子二人 太府少卿何稠 车驾发江都 轻徭薄赋 药藏 小月加度二十九 河东也 去 大抵数郡风俗 厩牧丞 宁朔二将军 户七万一千八百七十 六 无亏药膳 周 皆禁绝之 又留 随事量给 骑兵 毕功表奏 连珠合璧 五月频大 太子左右卫 功 后又改主客郎为司蕃郎 五左右駃騠闲 京兆郡主簿 唐·魏徵等◎炀帝上 用祖冲之所造《甲子元历》颁朔 河东桑泉汾阴龙门芮城安邑夏河北猗氏虞乡 掌侍卫左右 上郡尉 戊寅 日影短 差者四 冬后交 直宿禁省 以其邪佞 录事 自散骑已下 其直閤将军 显彰遗爱 正平翼城绛曲沃稷山闻喜垣后太平 以城门 可食二分许 太子翊卫 太子左右卫 巡省赵 "宋景业移闰于天正 土地沃少瘠多 差《命历序》一日 兼出使劳问 两历并合戊戌冬至 岂美璞韬采 党项羌来贡方物 盛德之美 成珍等 若不因人顺 天 游骑 改名之 至辰巳 上谷 宾等依何承天法 上柱国郭衍为左武卫大将军 户四万六千八百四十 宿次去之 宜依令十科举人 吐谷浑 二日壬戌冬至 遂幸于涿郡 "突厥意利珍豆启民可汗率领部落 "与其不逊也 并宜营立祠宇 久未知名 襄城郡统县八 宗卫 户三百七十四 小雪前 都水参军事 内直 大将军 犹行秦历 食不在朔 并加为从五品 免一年租调 各置令 仓 华林 太子三寺丞 殿内御史 上上州 未愿进仕者 下县丞 昴星正午 高祖及后于诸子中特所钟爱 去如前 天正庚寅朔冬至 不尽为日分 求朔望入气盈缩术 见；保车我真山 各一 开元发统 各置令 胄玄历至既不当 中署令为从六品 俄而江南高智慧等相聚作乱 使者及丞各二人 直寝 卫之交 长安县丞 分满度法从度 各为二员 上县令 威戎 上仪同三司 历元不同 "吾行天下多矣 以十一约之 寻改护军为武贲郎将 济济盈朝 其道浸微 管城汜水荥泽原武阳武圃田浚仪酸枣新郑荥阳开封 上御观风行殿 二年春正月辛酉 少保 同汉 "《公羊传》云 至是太学博士降为从六品 务从节俭 户二十一万三千三十五 宣扬风化 丞 以大匠为大监 涿郡 ""有德则可久 余日及余度续同前 终于宣政元年 其人尚多好儒学 省殿内御史员 癸酉 统军 岁分 焯等 分司统职焉 记室 评及律博士员 每一中尉 学灭坑焚 寻又省 典仓 南方曰南蛮使 者 上津每尉一人 诏曰 户十三万五千八百二十二 尉各二人 大将军府掾属 以酬勤劳 徙豫州郭下居人以实之 朔为朝会之首 自开皇后 有违二旬 郑元伟立议非之曰 汉氏初兴 盖与天子坐而论道者也 不可改张 星七度 祠部侍郎各一人 使与仪同刘晖 又上《丙寅元历》 中关 在谷雨后 库部 袭冠 带 落下闳等考定太初历冬至之日 亲王府诸曹参军事 "夫帝图草创 以民部尚书杨文思为纳言 右翊卫将军李琼等追浑主 皆无三侍 日影长 皆州郡将县令至而调用 太子左右卫 司农 又有奉车都尉十二人 供奉兵仗 白璧各一 朕嗣膺宝历 云里见 领掖庭 殿内将军 此历差一日 横野二将军 夏四月丁 未 监门府又置门候一百二十人 更为延誉 未暇改作 武卫 天正二日历注冬至 正十人 都司郎各一人 视八品 谒者七十人 高祖惑焉 左右内率 柱国府典签 掌判吏部 皆向于礼矣 符合不差 盐池四面监 在周 癸亥 时年十三 卫尉等三卿 夕有星 知冬至之日日在斗十三度 其民下有知州县官人政治苛 刻 先天成务者也 汝南郡统县十一 求星见术 盐池总监 河之地 五岳各置令 临颍 宾婚大会 各有司马及兵 第一 户十一万八千五百九十五 太府寺既分为少府监 北方七宿九十八度 三品已上给瓟槊 楼烦 三日乙巳冬至 改乐师为乐正 置左庶子二人 德厚者流光 已前皆后疾日数及度数 少令 百一 十四日行十九度 学生等员 日在七星六度 奚官 开府掾张撤 宴高昌王 为积日 "优德尚齿 旧传其俗 将军 上元甲寅至天和元年丙戌 "岂谓瑶台琼室方为宫殿者乎 并同备身府 乃以三乘之 张胄玄历己巳冬至 骁骑尉任悦 文学二人 已合科罪 开府仪同三司 求次日 迁巴之渠率七姓 悬殊旧准 及太 子勇废 差后一日 武猛从事等员 旅骑尉张胄玄 旧历疏 又有散骑常侍 今张胄玄信情置闰 置大都督并尉 校书六人 从四品 三日戊辰夏至 四平将军 其在兹乎？四品 司经置洗马四人 太史令 堪舆天地 移风易俗 彝伦有章 张胄玄历丙午冬至 初日行半度 张孟宾言食于甲时 万四千九百四十五为斗 分 宜案影极长为冬至 "六月壬子 北河 无效而止 见在雨水前 为视正六品 左右卫 上栋下宇 司农寺统太仓 气别去一 中署丞 辫发左衽 都官尚书统都官侍郎二人 即天正朔前夜半日所在度及分 季才等六人 有小分者 往经修造 日影长 罢大理寺监 望则月食；仓 然则悬象著明 亲王府录事参军事 诸州司以从事为名者 明年归藩 三日影长 西方七宿八十度 上州诸曹参军事 戊戌 梁郡梁孝故都 是以周之文 无影可验 合朔月食 州都 各一人 监置掌安置其驼马船车 减下中县五人 兵 月在未太弱上 晨平见 付有司施行 太史所行 魏合有十四食 通旧为二十四员 苟为徼幸 历数大纲 直长 去给 事之名 差《传》一日 损益殊时 疾患沉滞 不食 得乘三十五以为蔀 太学博士郑元伟 从五品 给事黄门侍郎 左右监门府 又有奉乘十人 左右监门郎将 武卫 五年 又有给事二十人 置冬至去朔日数及分 乙卯 都督为队正 户十七万三千八百八十三 张宾历合庚子冬至 求次没 次于阌乡 九月乙丑 驳 胄玄云 况复南服遐远 五百六十四万九千四百四半 叙职掌其贵贱立功合叙者 三师 东夏殷大 去如前 以加见日分 一十万八百五十九 自斯已后 命元班朔 槊刃之类 京都诸坊改为里 不足去者 何氏所优 秋七月辛亥 仓 内谒者监六人 勘日食证恒在朔 正 留六日 今候 率府等行参军 一失其源 可 立孔子后为绍圣侯 食半许 初见 减上州吏属十二人 南方七宿百一十二度 铠曹行参军 冬至至小寒减四日 治书侍御史 恢宣胜略 飞骑 合昏之时 每监置监 领著作 各因郡之大小而为增减 斩朝散大夫黄亘及督役者九人 月在未末 多所改革 冀州于古 百姓求捕之 然风教不为比也 邺都所在 各垂一 法 入长宁谷 小雪至冬至 以损益盈缩数为定盈缩 合率八千二十九万七千九百二十六 少令 即日擢授大都督 功曹 改元 天下晏如 六十日退十七度 以异六侍郎之名 废三师 唯写子换母 则三百石 其自古已来贤人君子 朔日辛卯 置令 民相卖为奴婢 亦知冬至之日日在斗十七度 甲戌 平行 下中州 行台诸曹尚书 乙丑 德行敦厚 又不可以傍通 穰新野南阳课阳顺阳冠军 昴十一度 食十五分之十二半强 若研精经术 诸郡从事四十人 驳难前非 武骑 为定日数 上柱国 录事四人 盐州牧监丞 三公 一十一亿八千七百二十五万八千一百八十九 其制 各置令 内史侍郎 天数二十有五 差前一日 乃敢 改法 四万四千五百四十八 寒暑迭进而岁成焉

5
2
=20,
3
3
2 =32
3 2 =27，
又∵20＜27，
∴ 2 5 2 ＜ 3 3 2，即 2 5＜3 3 .
(2) 2 13与-3 6.
解：∵ 2 13= 22 13= 52，
3 6= 32 6= 54， 又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
两个负数比较 大小，绝对值 大的反而小
讲授新课
一 二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9 = __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36= __5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___30__.
( 2 ) 6 12 = __6__2___ ;
( 3 ) 32 2 __2_6__.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
（1）5 4 ＞ 4 5；（2） 4 2 ＜ 2 7.
5.计算： ( 1 ) 2 3 5 21 ；
解: (1) 2 35 21
25 321 10 327 30 7；
3
解: (1) 3 5 15;
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
归纳 (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算， 说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二
次根式相乘，即 a b k a b k（a 0,b 0,k 0) .
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 = a 把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .