推荐学习2016高考学习复习资料数学二轮复习 专题7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数

2016年高考备考之考前十天自主复习第七天（文科）回顾一：统计与统计案例（1）随机抽样：①简单随机抽样：一般地，从元素个数为N的总体中__________地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。

②系统抽样：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，第一步，先将总体的N个个体________；第二步，确定____________，对编号进行________，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；当Nn(n是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除Nn-[Nn]个个体，取k＝[Nn]；第三步，在第1段用________________确定第一个个体编号l (l≤k)；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号____________，再加k得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。

③分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个______________的几部分，每一部分叫做______，在各层中按层在总体中所占比例进行____________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．（2）用样本估计总体：在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。

①频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用___________表示，各小长方形的面积总和等于______．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状． ②茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便． ③用样本的数字特征估计总体的数字特征：(ⅰ)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝______________________________. (ⅱ)样本方差、标准差：标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 回顾二：概率、离散型随机变量及其分布列 （1）概率的有关概念：①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。

第三讲推理与证明推理与证明类的题，因为高考特点，一般在小题中出现，大题中推理的思想方法会体现出来的．合情推理1．归纳推理．(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)归纳推理的思维过程如下：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理．(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．(2)类比推理的思维过程如下：观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论演绎推理1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般性原理．(2)小前提——所研究的特殊情况．(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．合情推理与演绎推理的区别．归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．直接证明1．综合法．用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用下图所示的框图表示．表示条件p 否定结论q ―→导致逻辑矛盾―→“既p又綈q”为假―→“若p，则q”为真数学归纳法数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)．(×) (6)2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋ba ＝6b a(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.(√)1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 012是数列{a n }中的第5_030项；②b 2k －1＝5k （5k －1）2(用k 表示)． (2)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面之间的平行线段相等”，这个类比命题是真命题(填“真命题”或“假命题”)．2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .”这段推理的结论显然是错误的，这是因为(A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一实根”的反面是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.4．(2014·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市．丙说：我们三个去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为A．解析：由丙说可知，乙至少去过A，B，C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A，C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，又没去过C城市，故乙只去过A城市．。

D.01
解析
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右
依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01，
其中第二个和第四个都是02，重复，去掉第四个02，得对
应的数值为08,02,14,07,01，
所以第5个个体编号为01.故选D.
答案 D
(2)(2014· 广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如
p3，则( D )
A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3 解析 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是 相等的，因此p1＝p2＝p3.
1 2 3 4
2.(2015· 福建 ) 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的 关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两
个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7 816 6 572 0 802 6 314 0 702 4 369 9 728 0 198 3 204 9 234 4 935 8 200 3 623 4 869 6 938 7 481
A.08
B.07 C.02
B.11.8万元 D.12.2万元
1 2 3 4
解析
8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9 由题意知， x ＝ ＝10， 5
6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8 y＝ ＝ 8 ， 5
∴a ＝8－0.76×10＝0.4，
∴当 x＝15 时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).
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解析 因为第一组的编号为1,2,3，„，10， 所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为 11,12,13，„，20， 故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23. 答案 D

2016年高考备考之考前十天自主复习 第七天（理科）回顾一：排列组合与二项式定理 （1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有m 1种不同的方法，完成第二个步骤有m 2种不同的方法，……，完成第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （2）排列与组合：①排列与排列数：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.排列数公式： !(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅.规定0! = 1。

另外，!)!1(!n n n n -+=⋅；111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A ； 11--=m n m n nA A ，!1)!1(1!1n n n n --=-。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。