2016年欧几里得数学竞赛真题

2016年各省高中数学联赛预选赛试及详解答案（最值部分）1、 为正数y x ，，且y x a y x +≤+，则a 的最小值为（2）解：∵0y x >, ∴y x y x +，，均为正数，所以0a >y x xy 21y x yx a y x a y x 22++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥⇔+≤+，而1xy 2xy 2y x xy 2=≤+，所以211a 2=+≥ ∴2a ≥2、 设1x 0<<，b a ，大于零的常数，x1b x a 22-+则的最小值为（()2b a +） 解：∵1x 0<< ∴0x 1>-，又b a ,大于零的常数由柯西不等式可知：()()2222b a x1x b a x 1b x a +=-++≥-+，当且仅当b a a x +=时，等号成立。

3、 已知正实数b a ，满足36b a 9=+，则b1a 1+最小值时，=ab （27） 解：∵0b a >,，由柯西不等式可知：()943616b a 913b 1a 99b 1a 12==++≥+=+，即当且仅当b 1a 93=，代入36b a 9=+计算，得⎩⎨⎧==9b 3a 时，等号成立。

∴2793ab =⨯=4、 若正数y x ，满足xy 5y 3x =+，则y 4x 3+的最小值为（5）解：∵0y x >, ∴xy 为正数∴5x39y 445x 3y 15xy y 3xy x xy 5y 3x =+⇔=+⇔=+⇔=+ 由柯西不等式可知：()5y 4x 3x3y 432x 39y 4452≥+⇔++≥+=当且仅当x 33y 42=，代入xy 5y 3x =+计算，得⎪⎩⎪⎨⎧==21y 1x 时，等号成立。

5、 z y x ，，为正数时，222z y x yz xz 4+++的最大值为（217）。

解：思路：如果分母的最小值可以化为类似常数项×()yz xz 4+的形式，那么最大值就为此常数项的倒数。

2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。

1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。

1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。

竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。

各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。

在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。

经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。

为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。

对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。

为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。

各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。

☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。

1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。

(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用初中数学竞赛勾股定理与应用勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系:a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1 如图2—16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK,ACFG，它们的面积分别是c2,a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB（SAS）．而所以 S AEML=b2．①同理可证 S BLMD=a2．②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．证法2 如图2—17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA,CB 分别延长到D，F,使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF（它的边长为a+b），又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF 的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面积和，即化简得 a2+b2=c2．证法3 如图2—18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D 作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S ABDE+2S△ABC，①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②由①，②所以 c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边（或其延长线）上的射影的乘积的2倍．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广）．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，（1）若c2=a2+b2,则∠C=90°；（2)若c2＜a2+b2,则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形（及多边形）的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC 的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF ⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡"到AF,使AF(即AB）与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2）．推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．例3 如图2-23所示．求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ 的中线，利用例2的结论，不难证明本题．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中,∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．(完整版)初中数学竞赛——勾股定理及其应用例5 如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证:4(AM2+BN2）=5AB2．分析由于AM，BN,AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点,那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．练习十一1．用下面各图验证勾股定理（虚线代表辅助线)：(1）赵君卿图(图2-27);（2)项名达图（2—28）；（3）杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2．（提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外,均有这个结论．）3．由△ABC内任意一点O向三边BC,CA，AB分别作垂线,垂足分别是D,E，F．求证:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2—31所示．从锐角三角形ABC的顶点B,C分别向对边作垂线BE,CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．。

2016欧洲女子奥林匹克竞赛EGMO·中英文对照版（无答案）试题提供来源：The Organizing Committee of EGMO 2016Bu șteni -RomaniaDay 1-SolutionsProblem 1.Let n be an odd positive integer,and let n x x x ,...,,21be non-negative real numbers.Show that()()1,...,1212,...,12max min +=+=≤+j j n j i i n i x x x x,where 11x x n =+.问题1.设n 是给定正奇数，记n x x x ,...,,21为n 个非整数的有理数.证明：()()1,...,1212,...,12max min +=+=≤+j j n j i i n i x x x x,其中11x x n =+.Problem 2.Let ABCD be a cyclic quadrilateral,and let diagonals AC and BD intersect at X.Let C 1,D 1and M be the midpoints of segments CX,DX and CD,respectively.Lines AD 1and BC 1intersect at Y ,and line MY intersects diagonals AC and BD at different points E and F,respectively.Prove that line XY is tangent to the circle through E,F and X.问题2.ABCD 为一圆内接四边形，记X 为对角线AC 和BD 交点.记C 1,D 1,M 分别为CX,DX,CD 中点.直线AD 1和BC 1交于Y ，并且直线MY 和对角线AC,BD 分别交于不同点E 和F.证明：直线XY 是过E,F,X 三点的圆的切线.Problem 3.Let m be a positive integer.Consider a m m 44⨯array of square unit cells.Two different cells are related to each other if they are in either the same rowor in the same column.No cell is related to itself.Some cells are coloured blue,such that every cell is related to at least two blue cells.Determine the minimum number of blue cells.问题3.设m 为已知正整数.考虑一个以m m 44⨯排列的正方形单元格表.如果两个单元格在同一列或同一行则认为这两个单元格是相关的，并且单元格与自己不是相关的.现将部分单元格涂成蓝色，使得每个单元格和至少两个蓝色单元格是相关的.求出格表中蓝色单元格的个数最小值.Day 2-SolutionsProblem 4.Two circles,1ωand 2ω,of equal radius intersect at different points X 1and X 2.Consider a circle ωexternally tangent to 1ωat a point T 1,and internally tangent to 2ωat a point T 2.Prove that lines X 1T 1and X 2T 2intersect at a point lying on ω.问题4.两个半径相等的圆1ω和2ω相交于不同点X 1和X 2.设圆ω和圆1ω外切于T 1，并且圆ω和圆2ω内切于T 2.证明直线X 1T 1和X 2T 2交点在圆ω上.Problem 5.Let k and n be integers such that 2≥k and 12-≤≤k n k .Place rectangular tiles,each of size k ⨯1or 1⨯k ,on an n n ⨯chessboard so that each tile covers exactly k cells,and no two tiles overlap.Do this until no further tile can be placed in this way.For each such k and n ,determine the minimum number of tiles that such an arrangement may contain.问题5.设k 和n 为已知整数且有2≥k 并且12-≤≤k n k .现在n n ⨯的棋盘上铺放k ⨯1或1⨯k 的长方形纸条使得每个纸条恰好覆盖k 个格子且任何两个长方形纸条均不相互重叠.一直持续上述操作直到无法再将纸条经上述操作放置在棋盘上.则对每一个满足条件的k 和n ，求存在摆放方案的最少的纸条个数.Problem 6.Let S be the set of all positive integers n such that 4n has a divisor in the range n n n n 2,...,2,1222+++.Prove that there are infinitely many elements of S of each of the forms 67,57,27,17,7++++m m m m m and no elements of S of the form 37+m or 47+m ,where m is an integer.问题6.设S 是满足在n n n n 2,...,2,1222+++中存在4n 的因数的所有正整数n 的集合.证明：集合S 中有无穷个可以写作67,57,27,17,7++++m m m m m 的形式的元素，但没有元素可以写成37+m 或47+m 的形式，其中m 是一个整数.。

高中数学竞赛-历届IMO试题（1-46届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。

第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC 边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。

数学奥林匹克中的欧几里得几何pdf
欧几里得几何（Euclidean Geometry）是指基于古希腊数学家欧几里德（Euclid）的几何学原理的一种几何学理论。

其实质是一种空间平面几何，它以点、线、平面、直角三角形以及正方形等多维空间对象为基础，对对象的形态、大小、位置及彼此的关系进行定义、测量以及比较等。

欧几里得几何在数学奥林匹克竞赛中广泛地使用。

有许多题目涉及到欧几里得几何学，像是关于三角形面积和周长的问题，它们基于欧几里得几何中的定理。

另外，也有关于变换和图形识别的题目，它们需要使用欧几里得几何学中定义的变换函数和相关结构、性质。

此外，欧几里得几何还与矩阵计算有着密切的联系，可以帮助我们更便捷地解决复杂的问题。

2016年cmo试题解析今天咱们来一起看看2016年cmo（中国数学奥林匹克）的试题解析呀。

虽然这些题有点难，但是咱们一起研究研究就会觉得很有趣的呢。

就拿其中一道题来说吧。

这道题就像是一个小迷宫一样，要找到出口可不容易。

它大概是关于数字和图形之间的关系的。

比如说，它给了我们一些奇怪的图形，每个图形上还有不同的数字标记。

这就好比是在一个神秘的城堡里，每个房间都有一个不同的数字密码。

我们要做的呢，就是像小侦探一样，找出这些数字和图形之间隐藏的规律。

我一开始看到这题的时候，真的是有点懵，就像走进了一个大雾弥漫的森林，根本不知道方向在哪里。

但是我没有放弃呀，我就从最简单的部分开始看。

我发现其中有几个图形，它们的形状特别相似，只是大小不太一样。

然后我再看看对应的数字，就好像发现了一点点小线索。

我就想啊，如果把图形的大小当成是一种变化的因素，那数字是不是也会按照某种规律跟着变化呢？我就拿笔在纸上画呀，把那些相似图形按照大小顺序排起来，再把对应的数字也写在旁边。

这时候就有点像在拼图了，一块一块地试着拼凑出正确的图案。

还有一道题是关于排列组合的。

这就像是在安排小伙伴们排队一样。

比如说有几个小朋友，他们要站成不同的队形，有的是一排，有的是几排。

题里给了一些条件，比如说某个小朋友必须站在另一个小朋友的左边之类的。

这就需要我们好好地思考怎么安排才能满足所有的条件。

我就想象自己是那个负责排队的小班长。

我先把那些有特殊要求的小朋友的位置确定好，就像先把队伍里的小队长安排好位置一样。

然后再根据剩下的条件，把其他小朋友一个一个地安排到合适的位置上。

这中间也会遇到一些小麻烦，比如说安排了几个小朋友之后，发现后面的小朋友没办法按照要求站了。

这时候我就重新调整前面小朋友的位置，就像重新规划队伍的排列一样。

通过做这些题，我学到了很多东西呢。

我知道了遇到难题不要害怕，就像走在黑暗的小路上，只要一步一步慢慢走，总会找到亮光的。

而且要善于从简单的地方开始找线索，就像搭积木一样，先把最下面的基础打好，然后再慢慢往上搭。