人教版数学九年级上册《探究3“封面设计”》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册《探究3“封面设计”》是本册教材中的一个重要探究内容。
此节课主要让学生通过实际操作，探究封面的设计原则，提高他们的审美能力和创新意识。
教材中给出了多个封面设计案例，供学生参考和分析。
此外，教材还提供了相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础和审美观念。
他们善于观察和分析，勇于尝试和创新。
然而，他们在解决实际问题时，还缺乏一定的策略和方法。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用已学的知识和方法，解决封面设计问题。
三. 教学目标1.让学生掌握封面设计的基本原则和方法。
2.培养学生的审美能力和创新意识。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.封面设计的基本原则和方法。
2.如何运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过展示实际案例，引导学生了解和掌握封面设计的原则和方法。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和讨论，提高他们的解决问题的能力。
3.合作学习法：让学生分组讨论和合作，培养他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的封面设计案例，用于展示和分析。
2.准备相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
3.准备投影仪和幻灯片，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些封面设计案例，引导学生关注封面设计的重要性。
提问：“你们认为一个好的封面设计应该具备哪些特点？”让学生发表自己的看法。
2.呈现（10分钟）展示教材中给出的封面设计案例，引导学生分析每个案例的设计原则。
提问：“这些封面设计案例有哪些共同特点？”让学生思考和讨论。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个封面。
要求学生运用所学的设计原则和方法，创新地设计出一个美观的封面。
4.巩固（5分钟）让学生展示自己设计的封面，并简要说明设计思路。
让其他学生对展示的封面进行评价，提出改进意见。
封面设计问题与一元二次方程教材分析“探究3”以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度．在现实世界中，也有很多可以用一元二次方程作为数学模型来解决几何图形问题的原型，例如用栅栏围矩形场地，草地甬道设计等问题．“探究3”中，已知封面和正中央矩形的长宽之比都是9：7，由此可以推出上下边衬与左右边衬的宽之比也是9：7，这个关系在解决问题的过程中是必需的，根据它可以合理地设未知数，利用矩形的面积列方程求解．教科书在“边空”中再次安排提示性设问“方程的哪个根符合实际意义？为什么？”这与“探究2”中的设问相呼应．教学时需引导学生进行独立思考，仔细分析方程的解与矩形的长和宽的实际范围，发现方程的一个解会使上下边衬的宽度之和超过矩形封面的长．所以，方程的两个正数解并不一定都是实际问题的解．教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力．“探究3”在“思考”栏目中提出问题：“是否可以更简单地解决上面的问题？”可以让学生小组合作探索其它解决问题的方法．数学课程标准指出：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法．教学中要让学生动手计算，自己发现结论．例如，利用教材中“探究3”设未知数的方法，也可以利用不同的相等关系列方程，通过整体平移，得到图1所示图形，则边衬的面积=两个小矩形的面积和=．由于题目中涉及六个基本量：封面的长和宽、小矩形的长和宽、上下边衬与左右边衬的宽，除了封面的长和宽已知外，另外四个量都未知，所以都可以设为未知数．教材中把上下边衬与左右边衬的宽设为未知数，也可以把小矩形的长和宽设为未知数．设小矩形的长为 cm，则宽为 cm，列方程得，再由、求出上下边衬与左右边衬的宽．此种设未知数的方法所列的方程更简单，但需要注意最后所求的解是什么．几何背景的问题中常常利用图形的面积、勾股定理、线段的长等作为相等关系列方程．在教学中，教师应重点关注：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）一元二次方程的解答能力；（5）是否对方程的解进行检验；（6）学生回答问题时的语言表达是否准确．列方程解应用题的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把实际问题与一元二次方程教学的知识置于整体方程知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受方程的整体性，运用以前学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的方法解决一元二次方程的应用问题．通过解决封面设计的问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.。
第一章特殊的平行四边形本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形.通过平行四边形角、边的特殊化, 研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形, 认识这些概念之间的联系与区别, 明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理, 进一步明确命题及其逆命题的关系, 不断发展学生的合情推理和演绎推理能力.本章研究特殊的平行四边形, 图形比较多, 而且图形的性质定理和判定定理也比较多.教科书呈现这些内容时, 注意突出图形性质和判定的探索与发现过程, 由观察度量、实验操作、图形变换等方式, 通过合情推理发现结论, 形成猜想, 运用演绎推理证明猜想.通过平行四边形的变形——角的变化, 一个角为直角, 探究并发现矩形的四个角都是直角、对角线相等等性质；利用菱形的轴对称性, 探究并发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角等性质.学生通过观察度量、实验操作、图形变换等, 运用合情推理, 探究并发现结论, 形成猜想, 进而要求学生运用演绎推理对猜想进行证明, 得出图形的性质.把合情推理和演绎推理有机结合起来.菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们的性质定理和判定定理的研究方法, 与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承.§1.1 菱形的性质与判定（第一课时）教学目标:1.经历菱形的概念、性质的发现过程2.掌握菱形的概念3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”5.探索菱形的对称性教学重点、难点重点:菱形的性质．难点:菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．教学过程一. 引入: 用多媒体显示下面的图形观察以下由火柴棒摆成的图形议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗?(2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.定理1:菱形的四条边都相等这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O.求证:AC ⊥ BD ,AC平分∠BAD 和∠BCD , BD平分∠ABC和∠ADC分析:由菱形的定义得△ABD是什么三角形？ BO与OD有什么关系？根据什么？由此可得AO与BD有何关系？∠BAD有何关系？根据什么？证明:∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）∴AC⊥BD , AC 平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）同理, AC平分∠BCD , BD平分∠ABC和∠ADC∴对角线AC和BD分别平分一组对角由定理2可以得出菱形是轴对称图形, 它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.另外, 还可以从折叠来说明轴对称性.同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质.菱形还具有平行四边形的所有共性, 比如:菱形是中心对称图形, 对称中心为两条对角线的交点. 三．应用例1．在菱形ABCD中, 对角线AC、BD相交与点O, ∠BAC= 30°,BD=6 求菱形的边长和对角线AC的长.分析:本题是菱形的性质定理2的应用, 由∠BAC= 30°,得出△ABD为等边三角形, 就抓住了问题解决的关键.解:∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）AC 平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）又∵∠BAC= 30°∴∠BAD= 60°∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=6又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）由勾股定理得 AO2 + BO2= AB2∴AO= AC=2AO=四．巩固:教科书第141页课那练习1、2ODCBAODCBA五．小结:1、通过本节课的学习, 你有什么收获？还有哪些困惑？2、本节课的主要内容是:一个定义（菱形的定义）, 二条定理（菱形的性质定理）, 二个结论（菱形是轴对称图形, 又是中心对称图形）. 六．作业:教学反思:§1.1 菱形的性质与判定（第二课时）教学目标1．经历菱形的判定定理的发现过程.2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”.3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”.4．通过运用菱形知识解决具体问题, 提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系, 向学生渗透集合思想．教学重点、难点重点:菱形的判定定理．难点:菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力, 又要有较强的逻辑思维能力．教学过程(一)、复习引入1、提问菱形的定义和性质.定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形.性质:除具备一般平行四边形的性质外, 还具备四条边相等,对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？定义, 此外还有两种判定方法, 今天我们就要学习菱形的判定.（板书课题）(二)、创设情境, 引入新课1、合作学习:学生拿出准备好的长方形纸片, 按大屏幕展示的方法对折两次, 并沿（3）中的斜线剪开, 展开剪下的部分, 猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？剪出的图形四条边都相等, 根据这个条件首先证它是平行四边形, 再证一组邻边相等, 依定义即知为菱形．结论:菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形（板书）(三)、交流互动, 探求新知1、已知:如图, 在ABCD中, BD⊥AC, O为垂足.求证:ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）.∵BD⊥AC,∴AD＝CD∴ABCD是菱形（菱形的定义）.结论:菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2、猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？启发:通过四个直角三角形的全等得到四条边相等.结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.(四)、应用新知, 巩固练习1、课本“课内练习”2、思考题:如图, △ABC中, ∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D, AH、DF 都垂直于BC, H、F为垂足, 求证:四边形AEFD为菱形.AB CDEFH(五)、课堂小结, 布置作业1、本节的主要内容是:菱形常用的判定方法1）．一组邻边相等的平行四边形．2）．四条边相等的四边形．3）.对角线互相垂直的平行四边形． 4）.对角线互相垂直平分的四边形2、作业:教学反思补充练习:一、选择题.1、已知菱形两个邻角的比是1:5, 高是8cm, 则菱形的周长是（）.A. 16cmB. 32cmC. 64cmD. 128cm2、已知菱形的周长为40 cm, 两对角线长的比是3:4, 则两对角线的长分别是（）.A. 6cm、8cmB. 3cm、4cmC. 12cm、16cmD. 24cm、32cm3、如图:在菱形ABCD中, AE⊥BC, AF⊥CD, 且E、F分别为BC、CD的中点,那么∠EAF等于（）.A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°4、棱形的周长为8.4cm, 相邻两角之比为5:1, 那么菱形一组对边之间的距离为（）A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 下列条件中, 不能判定ABCD是菱形的是（）.A. AB=ADB. AC⊥BDC. ∠A=∠DD.CA平分∠BCD7、下列命题中, 真命题是（）.A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形.B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形.C. 对角线互相垂直的矩形是菱形.D. 菱形的对角线相等.8、菱形是轴对称图形, 对称轴有（）.A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为______.10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为________________.11、一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________.GA12、已知:如图, 在菱形ABCD中, E、F分别是BC、CD上的点, 且CE=CF.过点C作CG∥EA交AF于H, 交AD于G, 若∠BAE=25°, ∠BCD=130°, 求∠AHC的度数.13、如图所示, 已知菱形ABCD中E在BC上, 且AB=AE, ∠BAE=21∠EAD, AE 交BD于M, 试说明BE=AM.14、如图, 在△ABC中, AB=BC, D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点, （1）求证四边形BDEF是菱形.（2）若AB=12cm, 求菱形BDEF的周长？15、已知:如图, △ABC中, ∠BAC的平分线交BC于点D, E是AB上一点, 且AE=AC, EF∥BC交AD于点F, 求证:四边形CDEF是菱形.16. 如图, 平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O, 求证:四边形AFCE是菱形.17、已知:如图, C是线段BD上一点, △ABC和△ECD都是等边三角形, R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点, 求证:四边形RFGH是菱形.18、如图, 已知在△ABC中, AB=AC, ∠B, ∠C的平分线BD、CE相交于点M, DF∥CE, EG∥BD, DF与EG交于N, 求证:四边形MDNE是菱形.19.已知:如图, 四边形ABCD是菱形, E是BD延长线上一点, F是DB延长线上一点, 且DE=BF．请你以F为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成RHGFEDCBA一条新的线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接AF ；（2）猜想: AF = AE ；（3）证明:（说明:写出证明过程的重要依据）分析:观察图形应该是连接AF, 可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．20．如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A、B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明:∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？21、如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD、BF⊥CD, 垂足分别为E、F．（1）求证:BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．22.如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解, 需要熟练掌握．23、如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证:DE=BE点评:此题考查了菱形的性质, 直角三角形的性质等知识．此题难度不大, 注意数形结合思想的应用．24、在矩形ABCD中, O是对角线AC的中点, EF是线段AC的中垂线, 交AD、BC于E、F.求证:四边形AECF是菱形25、四边形ABCD是矩形, 四边形AECF是菱形, 若AB=2cm, BC=4cm, 求四边形AECF 的面积.§1.2 矩形的性质与判定(第一课时)一、教学目标1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．二、教学重难点:矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系． 三、概念:1．矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）.2．矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质. （1）角:四个角都是直角. （2）对角线:互相平分且相等. 3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形. （2）对角线相等的平行四边形. （3）有三个角是直角的四边形.4.矩形的对称性:矩形是中心对称图形, 对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形, 对称轴有2条, 是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线.5.矩形的周长和面积:矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽）★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等.（2）矩形是轴对称图形, 两组对边的中垂线是它的对称轴.四边形平行四边形矩形菱形为一角90°一组邻边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等四、讲课过程:【经典例题:】例1:已知:O是矩形ABCD对角线的交点, E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点, AE=BF=CG=DH, 求证:四边形EFGH为矩形.分析:利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明例2:判断（1）两条对角线相等四边形是矩形（）（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）（3）有一个角是直角的四边形是矩形（）（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（）分析及解答:（1）如图四边形ABCD中, AC=BD, 但ABCD不为矩形, ∴×（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形, ∴对角线相等的平行四边形为矩形∴√（3）如图,四边形ABCD中, ∠B=90°, 但ABCD不为矩形∴×（4）矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等∴×,如图,【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形, 下列条件正确的是（）A．对角线相等 B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等.2．矩形的两边长分别为10cm和15cm, 其中一个内角平分线分长边为两部分, 这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm 和8cm3.在下列图形性质中, 矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点, AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12, 则斜边上的中线等于 .7.矩形的两条对角线的夹角是60°, 一条对角线与矩形短边的和为15, 那么矩形对角线的长为 , 短边长为 .8.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝, 则其对角线为 ㎝, 矩形面积为 cm 2.9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°, 则两条对角线相交所成的锐角是 .10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°, 矩形的短边长为5 cm, 则对角线之长为 cm.11．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 相交于O 点, ∠AOB=2∠BOC, 若对角线AC 的长为18 cm, 则AD= cm.12、已知:如图所示, 矩形ABCD 中, E 是BC 上的一点, 且AE=BC,︒=∠15EDC ．求证:AD=2AB ．教学反思:§1.2 矩形的性质与判定(第二课时)教学目标知识与技能:通过探索与交流, 逐渐得出矩形的判定定理, 使学生亲身经历知识的发生过程, 并会运用定理解决相关问题.通过开放式命题, 尝试从不同角度寻求解决问题的方法.过程与方法: 通过动手实践、合作探索、小组交流, 培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力.情感态度与价值观:在良好的师生关系下, 创设轻松的学习氛围, 使学生在数学活动中获得成功的体验, 增强自信心, 在合作学习中增强集体责任感. 教学重点与难点重点:探索矩形判定定理的过程及应用 难点:矩形判定定理的应用ABECD教学过程环节一:创设情境、导入新课通过上节课对矩形的学习, 谁能回答以下问题1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（1）是不是平行四边形, （2）再看它有无直角.2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？（通过对矩形定义及性质的回顾, 引出判定矩形除了定义外, 还有哪些方法, 导入新课.）环节二:尝试发现, 探索新知活动一:1、先请同学仅用手中量角器量一下图形(甲)(乙)中的四边形的角（有几个直角）.甲乙2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形, 并说明理由.（此问题的解决以动手实践, 合作交流的形式进行, 学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义, 得出矩形的判定定理一.教师以合作者的身份深入学生中, 了解学生的探究进程并适当给予点拨.）最后教师进行适当板书进行推证、讲解.在此过程中, 全体同学可互相补充、互相评价, 培养学生的语言表达能力、推理能力.活动二:教师提问:矩形的对角线相等,相反对角线相等的四边形是什么图形？在学生回答是或不是的情况下, 让学生下例步骤进行探索.1、画任意两条长度相等的相交线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？3、画两条长度相等并且互相平分的线段, 并把它们的四个顶点顺次连结, 看是不是矩形？4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形, 并说明理由.最后通过教师演示动画, 师生进行适当交流、归纳、讲解, 得出矩形的判定定理二.（此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行, 通过此种互动过程, 让全体学生参与其中, 获得不同程度的收获, 体验成功的喜悦）活动三:矩形的判定定理二的证明.已知:在平行四边形ABCD中, AC＝BD,求证:平行四边形ABCD是矩形.对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流.(1)条件与结论各是什么？(引出条件与结论的关系)(2)使一个平行四边形是矩形, 已学过什么方法？(引出矩形的定义证明)(3)要证明一个角是直角, 根据平行四边形相邻两个角互补, 只需证明什么？(引出证明两个三角形全等)(4)如何选择要证明两个三角形全等, 它们的条件是否满足？最后由学生说出整个证明的过程, 教师进行适当的点评与板书.当判定定理一、定理二得出后, 让学生总结矩形的三种判定方法(定义, 定理一与定理二), 并对题设进行比较、区分, 使学生进一步明确定理应用的条件.环节三:应用辨析, 巩固定理为了帮助学生巩固定理, 应用如下:应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形, 你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？(这一题是由引入判定定理二改编而成的, 主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题.)应用二、例题讲解一张四边形纸板ABCD形状如图, 它的对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形, 并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上, 可怎么剪？对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明“依次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验, 使学生联想到连结四边形ABCD的两条对角线, 然然后运用中位线定理, 这样就解决了这个问题.应用三、练习一、判断题:1、内角都相等的四边形是矩形.2、对角线相等的四边形是矩形.3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形.4、一组邻角相等的平行四边形是矩形.5、对角互补的平行四边形是矩形.练习二:如图AC, BD是矩形ABCD的两条结角线,AE=CG=BF=DH.求证:四边形EFGH是矩形.教学反思:§1.2 矩形的性质与判定(第三课时)教学目标1．进一步掌握矩形的性质及判定的应用2．理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明3．会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.教学重点、难点重点:本节教学的重点是进一步掌握矩形的性质及判定的应用．难点:定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教DOCB AH EGFC OBA D多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点． 教学过程】 一. 复习旧知:1. 矩形的定义.2. 矩形的两个性质定理.3. 矩形的两个判定定理.4. 师生一起回答:有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.5. 师生共同回忆:”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 二. 新课讲授:1. 下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程.启发引导如下:1.帮助学生根据题意,画出图形. 2. 根据图形,写出已知和求证.(上游生回答).3. 回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题. (上游生回答).4. 如何在图中画出2倍的CD. (中游生回答).5. 延长CD 到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等. (中游生回答).6. 现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法. (上游生回答). 已知:如图,在RT ⊿ABC 中,∠ACB=RT ∠,CD 是斜边AB 上的中线,求证:CD=21AB 证明:延长CD 到E,使DE=CD,连接AE,BE.CD 是斜边AB 上的中线.∴ AD=DB又 CD=DE∴四边形AEBC 是平行四边形.∠ACB=RT ∠, ∴四边形AEBC 是矩形(矩形的定义). ∴CE=AB(矩形的对角线相等), ∴ CD=21AB 三 .巩固练习1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）.A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分 2.如图, 在矩形ABCD 中, 对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5, AC=13, 则矩形ABCD 的面积__.B D E A ABCDEMFPH DCBA 3．已知, 矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直, 且该矩形的周长为24 cm, 则矩形的面积为 cm 2.4．如图所示, 在矩形ABCD 中, AB=2BC, 在CD 上取一点E, 使AE=AB, 则∠EBC= .5．如图, 已知△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点, DE ⊥AB, DF ⊥AC, BM 为高, 求证:DE+DF=BM.6.如图, ABCD 是矩形纸片, 翻折∠B 、∠D , 使BC 、AD 恰好落在AC 上.设F 、H 分别是B 、D 落在AC 上的两点, E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点.（1）求证:四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm , BC ＝3cm , 求线段EF 的长.7、已知:如图, 在△ABC 中, AB=AC, AD ⊥BC, 垂足为点D, AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线, CE ⊥AN, 垂足为点E, 求证:四边形ADCE 为矩形.8、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH.9、如图, 矩形ABCD 中, E 为AD 上一点, EF ⊥CE 交AB 于F, 若DE=2, 矩形ABCD 的周长为16, 且CE=EF, 求AE 的长．10、已知:如图, 平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E, F, G, H, 求证:四边形EFGH 是矩形.11、已知:如图, 四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的, M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证:四边形BMDN 是矩形．BAC D N M12、如图, 已知在四边形ABCD中, AC DB交于O, E、F、G、H分别是四边的中点,求证:四边形EFGH是矩形．四.小结:1.通过这节课的学习,你有什么收获?(请各个层次的同学回答).2.还有什么困惑需要我们共同解决?教学反思:§1.3 正方形的性质与判定教学目标1、掌握正方形的概念2、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程, 了解正方形与矩形、菱形的关系3、掌握正方形的性质4、掌握正方形的判定5、进一步加深对特殊与一般的认识教学重点、难点重点:正方形的性质与判定．难点:正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．教学过程一、情景引入出示一块方巾, 它是什么几何图形？(正方形)中国人对正方形有特殊的感情, 如“坦荡方正”, “天圆地方”等词语, 还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示）, 今天我们就来研究正方形二、探索新知这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？与一般的平行四边形相比, 它有何特殊性？与一般的矩形相比, 它有何特殊性？与一般的菱形相比, 它又有何特殊性？三、梳理新知结合学生的发现, 师生共同归纳出以下几点:有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形既是特殊的矩形, 又是特殊的菱形, 故正方形具有矩形、菱形的性质性质:四个角都是直角, 四条边相等对角线相等, 并且互相垂直平分, 每条对角线平分一组对角判定:一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形四、巩固新知1、例题例1:如图:△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F求证:四边形CFDE是正方形.HGOFEDCBA解∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等）∴∠ DEC=∠ECF=∠CFD=90°,∴四边形 CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）,又∵ DE=DF（已证）∴四边形 CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．例2:已知:如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点, 并且AA'=BB'=CC'=DD'求证:四边形A'B'C'D'是正方形分析:法一:①先证明四边形A′B′C′D′是菱形②再证明四边形A′B′C′D′有一个角是直角法二:①先证明四边形A′B′C′D′是矩形②再证明四边形A′B′C′D′有一组邻边相等.证明:∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`AD`=AB`=BC`=CD`∴四边形A`B`C`D`是菱形又∵∠AD`A`=∠BA`B`, ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90 °∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四边形A`B`C`D`是正方形例3:如图:EG 、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH,求证四边形EFGH 为正方形解答: ∵正方形ABCD EG⊥FH∴∠OAH＝∠OBE＝45º, DB=AC OA＝OB, ∠AOH＝90º－∠AOE＝∠BOE,∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴ OH＝OE.同理OE＝OF＝OG ＝ OH,∴四边形EFGH是平行四边形∴ FH=EG∵EG⊥FH ∴四边形EFGH为正方形.2、巩固练习１、如图, 分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO, 使AO=OC, BO=OD求证:四边形ABCD是正方形。
