苏教版数学高一-【金识源】 必修2教案 1.2.3直线与平面的位置关系(4)

1.2.4 平面与平面的位置关系（3）教学目标：1．进一步理解和掌握两平面垂直的定义与判定；2．理解掌握两平面垂直的性质，并能运用性质定理与判定定理解题．教材分析及教材内容的定位：两平面垂直是生产、生活中常见问题，应要求学生能熟练地证明有关问题．教学重点：面面垂直的性质定理． 教学难点：面面垂直的性质定理与判定定理的综合应用．教学方法：类比，猜想，验证．教学过程：一、问题情境1．复习二面角的定义；2．复习两平面垂直的定义、判定定理．3．情境问题：如果两平面垂直，那么其中一个平面内的任一点在另一个平面内的射影的位置有什么特殊性吗？二、学生活动 画图探究，类比思考． 三、建构数学1． 两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 简记为：面面垂直⇒线面垂直 面的直线必在第一个平面内．l lββ⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭已知：α⊥β，A ∈α，AB ⊥β． 求证：AB ⊂α．例2 四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，求证：平面EDB ⊥平面PBC ．2．练习．（1）如图，在三棱锥A -BCD 中，∠BCD ＝90︒，AB ⊥面BCD ，求证：平面ABC ⊥平面ACD ．变式：如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，请写出图中与平面PAB 垂直的所有平面．（2）S 为三角形ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．ABCDPEDABPABCD2．已知面面垂直，如何找一个面的垂线？3．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；4．理解数学的化归思想．。

1.2.3 直线与平面的位置关系（3）
教学目标：
1. 掌握平面的斜线及其在平面上的射影、直线和平面所成角等有关概念；
2. 掌握求直线和平面所成角的方法；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教材分析及教材内容的定位：
直线和平面所成的角是继学习异面直线所成角后的又一个空间角，及后面将学习的二面角都是立体几何的重要概念，它们均需化归为相交直线来求.复习异面直线所成的角有利于学生进行对比和联系，掌握线面所成的角同时也为后继学习作好铺垫.平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念.
应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，方法上需强调解题步骤,在思想上要注意平面化思想，以及转化与化归思想的渗透.
教学重点：
线面夹角的概念及求法．
教学难点：
找到直线和平面所成的角.
教学方法：
合作交流，启发式.
教学过程：
一、问题情境
1．问题：观察如图（1）所示的长方体ABCD－A1B1C1D1（1）直线AA1和平面ABCD是什么关系?
（2）直线A1B，A1C，A1D和平面ABCD是否垂直? A B
C D
A1
C1
B1
D1
A B
C D
（3）直线A1B，A1C，A1D与点B，C，D它们又如何命名呢？。

高二年级数学教学案（2010年9月12日）
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．
(3)直线与平面位置关系的图形画法：
①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；
②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；
、G分别是AB、BC、。

高中数学第1章立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案苏教版必修2【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP ＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ⊄α，a∥b，b ⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b ，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．1．2．3 直线与平面的位置关系 第1课时 直线与平面平行的判定答案知识梳理1．直线在平面外 a ⊄α 2．这个平面内的一条直线 作业设计 1．0解析 ①a ⊂α也可能成立；②a，b 还有可能相交或异面；③a ⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．2．b∥α或b 与α相交 3．平行或相交4．平行 5．0,1或无数 6．12解析 如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条．7．无数8．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 9．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连结OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF∥BO．∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF∥平面BDD 1B 1．11．证明 连结AF 延长交BC 于G ， 连结PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG∽△DFA． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF∥PG．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB 交BE 于M ，作QN∥AB 交BC 于N ，连结MN ． ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE＝BD ．又∵AP＝DQ ，∴PE＝QB ． 又∵PM∥AB∥QN， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ∥MN． 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连结EK ．∵KB∥AD，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ∥EK． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ∥面BCE ．第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH ，BD∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE∶EB＝________．二、解答题10．ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ． 求证：CD∥平面EFGH ．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终水面EFGH 平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC∥l；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF∥AB． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB∥平面EFGH ． 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB∥GH． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n∥α． 8．223a解析 ∵MN∥平面AC ，平面PMN∩平面AC ＝PQ ，∴MN∥PQ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3．9．m∶n解析 ∵AC∥平面EFGH ，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE∶EB＝m∶n．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD ．∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA∥GH．11．证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，S A⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m∩n＝O ，l⊥m，l⊥n ⇒l⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC⊥面PBC ，所以AC⊥BC． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC，B 1C 1∥BC， 故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN． 又∵MN⊥B 1M ， ∴MN⊥面C 1B 1M ， ∴MN⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E≌△CBF， ∴∠B 1BE ＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B ，∴CF⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ， ∴CD⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG∥EF． ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D ，∴EF⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO＝CO ，∴B 1O⊥AC． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O ， ∴B 1O⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ， ∴BC⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ， ∴SC⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC．第4课时 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．该定理用图形表示为：用符号表示为：________________________．2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．一、填空题1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n； ④⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α． 3．已知直线PG⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是______________．4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)．①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC ； ③AC⊥PB； ④PC⊥BC．5．P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1)若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心； (2)若PA⊥BC，PB⊥AC ，则O 是△ABC 的______心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．6．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键．因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．第4课时直线与平面垂直的性质答案知识梳理1．平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 2．平行 任意一点3．所成的角 直角 0° 作业设计 1．0 2．3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)． 3．PE>PF>PG解析 由于PG⊥平面α于G ，PF⊥EF， ∴PG 最短，PF<PE ，∴PE>PF>PG． 4．①②④解析 PA⊥平面ABC ，得PA⊥BC，①正确； 又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC ， ∴BC⊥PC，②、④均正确． 5．(1)内 (2)垂 (3)外 6．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．7．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．8．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连结A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B⊥AB 1，A 1B⊥B 1C 1，∴A 1B⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 9．30°解析 取AC 的中点E ，连结C 1E ，BE ，则∠BC 1E 即为所求的角．又由BC 1＝3，BE ＝32，所以sin ∠BC 1E ＝12，∠B C 1E ＝30°．10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1． ∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1．(2)连结ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON∥AM． 又∵MN∥OA，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM ．∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ，∴M 是AB 的中点．11．证明连结AG 并延长交BC 于D ，连结A′G′并延长交B′C′于D′，连结DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC 和B′C′的中点， ∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心， ∴AG GD ＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′， 又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．证明 ∵M、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN∥AC，又∵AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， ∴MN∥平面ABC ，∵DB⊥平面ABC ，EC⊥平面ABC ， ∴BD∥EC，四边形BDEC 为直角梯形， ∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形， ∴DN∥BC，又∵DN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DN∥平面ABC ， 又∵MN∩DN＝N ，∴平面DMN∥平面ABC ． 13．(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1， 得BC⊥平面ACC 1A 1．连结AC 1，则BC⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1．故MN⊥平面A 1BC ． (2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ．在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。

1.2.3直线与平面的位置关系(3)从容说课直线与平面垂直是直线和平面相交中的特例，为了使学生了解直线与平面“斜交”的“程度”，教材中引入了直线与平面所成角的概念，同时从逻辑上给学生认识“直线和平面的位置关系”有一个完整的体系.教学时只需学生了解直线与平面所成角的概念，明确直线与平面所成角的范围，关于它的度量问题将在“空间向量与立体几何”一章中作深入研究.对于直线与平面所成角的范围的教学，有条件的学校可以借助计算机动画演示来帮助学生理解.本节课的主要内容是了解直线和平面所成角的概念，会运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决有关问题.教学过程中要培养学生将分散的条件集中到某一个图形中进行研究的意识，特别是辅助线的添加.在运用这两个定理解决具体问题时，关键是组织学生探求、创造定理成立的条件，进一步熟悉两个定理应用的关键所在.例3的结论也称“三垂线定理”，是证明线线垂直的一个典型范例，教学时要引导学生归纳证明线线垂直的常见方法，逐步完善学生的知识结构，进一步渗透化归的数学思想方法.例4也是直线和平面垂直的判定定理的一个运用，教学时可引导学生从结论出发寻找证题思路，并激发学生探讨该题的其他证法.教学重点直线和平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用.教学难点直线和平面垂直的判定定理和性质定理应用时定理成立条件的创造.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.了解直线和平面所成角的概念和范围.2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及空间想象能力.3.通过运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关问题，使学生进一步理解解决立体几何问题的基本指导思想，即创造条件将立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决.三、情感态度与价值观1.通过学习直线与平面垂直的定义所成角的概念、范围的教学，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深学生对直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题、解决问题的能力.3.通过组织学生讨论例4的不同证明方法，激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师前面几节课我们研究了直线和平面平行以及直线和平面垂直的判定和性质，请把你对这些知识的理解和同桌交流一下.(生交流，复习回顾直线和平面的位置关系)师当直线和平面垂直时，直线是否和平面一定相交?生当直线和平面垂直时，直线一定和这个平面相交.师由此可知，直线和平面垂直只是直线和平面相交的一种特殊情况，那么当一条直线和一个平面相交而不垂直时，能否用一个几何量来刻画直线和平面的这种位置关系呢?如何利用直线和平面垂直的有关知识解决一些综合问题呢?这就是我们本节课所要研究的问题.(引入新课，书写课题)推进新课介绍直线和平面所成角的有关概念师你能否在长方体模型中找到直线和平面相交但不垂直的例子?(生探究，师用细铁棍演示，得出如下结论)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以发现A1B、A1D、A1C均和平面ABCD相交，但都不与这个平面垂直.师直线A1A和平面ABCD是什么关系?生直线A1A和平面ABCD垂直，直线A1A叫做平面ABCD的垂线.师那么直线A1B、A1D、A1C和平面ABCD的位置关系又如何命名呢?生直线A1B、A1D、A1C叫做平面ABCD的斜线，点B、C、D叫做斜足.师你能否据此抽象出它们位置关系的一幅图呢?(生讨论交流，得出右图)师过一点和已知平面垂直的直线有几条?生一条.师平面的垂线与平面的交点又如何命名呢?生垂足.师过斜足和垂足的直线和平面的斜线又是怎样的关系呢?在上图中我们能否用一个几何量来刻画这条斜线与这个平面的位置关系呢?(生讨论交流，引出如下概念)一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线(obliQue liNe),斜线与平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的正投影(简称射影).平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.当一条直线和一个平面垂直时，称这条直线和这个平面所成的角是直角(或90°的角)，当一条直线和一个平面平行时，称这条直线和这个平面所成的角是0°的角.师1.平面的斜线和平面所成的角的范围是什么?直线和平面所成的角的范围呢?2.若平面α的斜线l和平面α所成的角为θ1，平面α的斜线l和平面α内任一直线所成的角为θ2，试比较θ1和θ2的大小关系，并给以证明.(生讨论交流，得出如下结论)师(1)平面的一条斜线与这个平面所成的角的范围为(0°,90°).(2)当一条直线和一个平面垂直时，称这条直线和这个平面成90°的角，当一条直线和一个平面平行时，称这条直线和这个平面成0°的角，这样直线和平面所成的角的范围为［0°,90°］.(3)一条直线和一个平面所成的角是这条直线和这个平面内所有直线所成角中的最小角.(4)求解平面的斜线与平面所成的角的关键是找这条直线在这个平面内的射影.【例1】 如图，∠BAC 在平面α内，点P ∉α，∠P AB=∠P AC.求证:点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上.师你能说说你解答该题的思路吗?(生思考)师如果你不能说出一个完整的解题思路的话，对于该题你能做些什么工作?(生交流，得出如下解题思路分析，师板书证明过程)方法引导:要证明P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上，首先应作出点P 在平面α上的射影O ，再证∠BAO=∠CAO 即可.要证∠BAO=∠CAO，只需证明含这两个角的两个三角形全等.证明:过点P 作P O⊥α，P E⊥AB，P F⊥AC，垂足分别是O 、E 、F ，连结OE 、OF 、OA. ⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⊥⊥PA PA PAF PAE AC PF AB PE ,⇒Rt△P AE≌Rt△P AF ⇒AE=AF.∵P O⊥α,AB ⊂α,∴AB⊥P O.又AB⊥P E ，∴AB⊥平面P EO.∴AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE 和Rt△AOF 中，AE=AF ，OA=OA,∴Rt△AOE≌Rt△AOF.于是，∠EAO=∠FAO，即点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上.【例2】 求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.师你觉得要解决该题，首先要做哪些工作?(生讨论交流)师当我们写出题目的已知、求证并画出相关图形时，所要解决的问题就一目了然了，你能说出空间证明线线垂直的方法都有哪些吗?师证明空间两条直线垂直的方法都有哪些?(生讨论交流，归纳出证明空间两条直线垂直的方法，并完成证明)师证明空间两条直线垂直的方法有如下几种:(1)定义法:若直线a 和直线b 所成角为90°,则a⊥b;(2)根据线面垂直的性质定理即:由“线面垂直推得线线垂直”;(3)“线线垂直 线面垂直 线线垂直”这是解决证明空间垂直问题的一条很有效的途径.探究:证明:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直.(生讨论交流，完成证明)师例2的结论以及上述探究的结论就是我们立体几何中判断空间直线垂直的一个重要定理——“三垂线定理及其逆定理”.(三)目标检测1.课本第37页练习1、2、3、4.2.下列命题中正确的是()A.若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影a′，则a⊥bB.若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影a′，则a⊥bC.若a是平面α的斜线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在平面α内的射影a′，则a⊥bD.若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在另一个平面β内的射影a′，则a⊥b参考答案：C课堂小结师通过本节课的学习，你都有哪些收获，你能把你的收获和你的同桌分享一下吗?(生交流，总结归纳直线和平面所成角的有关概念以及证明空间两条直线垂直的方法) 布置作业1.课本第38页习题1.2(2)第13题.2.如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证:E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.板书设计1.2.3直线与平面的位置关系(3)直线和平面所成角的有关概念(例题及学生练习)课堂小结与布置作业活动与探究1.完成课本第38页习题1.2(2)第14题.2.如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则()A.si n2θ1+si n2θ2≥1B.si n2θ1+sin2θ2≤1C.si n2θ1+si n2θ2>1D.si n2θ1+si n2θ2<1参考答案:B备课资料典型习题1.如果P A 、P B 、P C 两两垂直，那么P 在平面ABC 内的射影一定是△ABC 的()A.重心B.内心C.外心D.垂心2.设P A 、P B 、P C 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线P C 与平面A P B 所成角的余弦值是() A.21 B.23 C.33 D.36 3.已知P A⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、P C 的中点.(1)求证:MN ⊥CD;(2)若∠P DA=45°，求证：MN ⊥面P CD.第3题图 第4题图4.如上图，ABCD 为正方形，过A 作线段SA⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证:E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影.5.如右图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱P D⊥底面ABCD ，P D=DC ，E 是P C 的中点.(1)证明P A∥平面EDB;(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.参考答案:1.D2.C3.证明：(1)取P D 中点E,又N 为P C 的中点,连结N E,则N E∥CD,N E=21CD. 又∵A M ∥CD,A M =21CD, ∴A M N E.∴四边形A MN E 为平行四边形.∴MN ∥AE.∵AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面面科面. ∴MN ⊥CD.(2)当∠P DA=45°时,Rt△P AD 为等腰直角三角形,则AE⊥P D.又MN ∥AE,∴MN ⊥P D,P D∩CD=D.∴MN ⊥平面P CD.4.证明：BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面 . 又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SB,即E 为A 在SB 上的射影.同理可证,H 是点A 在SD 上的射影.5.（1）证明：连结AC 交BD 于O.连结EO. ∵ 底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点.在△P AC 中，EO 是中位线，∴P A∥EO.而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，∴P A∥平面EDB.（2）解：作EF⊥DC 交CD 于F.连结BF ，设正方形ABCD 的边长为a.∵P D⊥底面ABCD,∴P D⊥DC.∴EF∥P D,F 为DC 的中点.∴EF⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影. 故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. 在Rt△BCF 中，BF=a a a CFBC 25)2(2222=+=+， ∵EF=21P D=2a ， ∴在Rt△EFB 中，ta N ∠EBF=55252aBF EF =. ∴EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55.。

1.2.3直线与平面的位置关系（2）
教学目标
1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离；
2．掌握直线与平面垂直的判定定理；
3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．
教材分析及教材内容的定位
垂直关系是历年高考的核心内容之一，空间的垂直有三种：线线垂直、线面垂直和面面垂直；线面垂直是联系线线垂直和面面垂直的桥梁，因而本节课是重中之重. 线面垂直判定定理运用的关键在于证明直线和平面内的两条相交直线垂直；对于线面垂直的定义，用它来证明线面垂直较为困难，而已知线面垂直时，根据定义可知这条直线垂直于这个平面内的所有直线，提供了一种证明线线垂直的方法，即要证明线线垂直，则需要证明线面垂直.线面垂直的性质定理则为证明线线平行提供了一种重要方法.
教学重点
直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理；
教学难点
直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.
教学方法
问题探究，自主发现式．
教学过程
一、问题情境
1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理
2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
二、学生活动
高中数学
（4）如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.
高中数学。

课题：直线与平面垂直教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修②一、教学目标1．通过对实例、图片、模型的观察，让学生提炼并理解直线与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，引导学生探究直线与平面垂直的性质定理，尝试用文字、符号、图形语言对定义和定理进行准确表述和合理转换，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．3．在探索直线与平面垂直的判定定理过程中发展学生的空间想象能力和合情推理能力，使学生感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想方法．二、教学重点、难点本节课的教学重点是运用直观感知、问题探究、操作确认等方法概括得出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点是直线和平面垂直的性质定理的探究、发现和应用．三、教学方法与教学手段启发式教学与探究式教学相结合四、教学过程（一）直线与平面垂直定义的构建请同学们看四张图片：“圆锥图片”“国旗”“灯柱”“倾斜的虎丘塔”，从而引出课题：直线与平面垂直。

进而提出问题如何确定线面垂直关系呢播放动画，引导学生从观察熟悉的数学模型“圆锥体的形成”入手直观感知圆锥体的旋转轴与圆锥底面的垂直关系，以及旋转轴与底面圆上的所有半径都垂直，再通过抽象成数学模型加以分析，使其发现旋转轴所在直线l与圆锥底面所在平面α内的过交点O的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面α内的所有直线垂直吗？并追问依据是什么？形成概念：由学生概括出自己理解的线面垂直，提出问题：“数学中对于这个概念的定义是如何规定的？”引导学生通过阅读教材予以理性确认，并引导学生用符号语言将它表示出来．（二）直线与平面垂直定义的应用问题一：如图在正方体中，已知AA 1垂直于底面，那么CC 1与底面的位置关系呢？ 问题二：你能写出更一般的正确结论并证明吗？让学生交流感受形成共识：①发现正确结论但不能直接使用；②体会定义的判定作用。

123 直线与平面的位置关系（1）教学目标：1.了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；2.掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；3.在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念.教材分析及教材内容的定位：直线与平面的位置关系是高考重点考查内容之一，解决问题的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与平面.通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的思想，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力.本节课的主要内容是直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究与发现、概括与证明、练习与应用•欲证线面平行，需转化为线线平行，故线面平行判定是线线平行判定的上位知识，需要认真复习初中平几中线线平行的有关内容；而已知线面平行时需要构造辅助平面与已知平面相交，则得出线线平行.线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用. 学习这些内容是培养学生的数学表述与交流能力（用集合符号语言进行数学表达与交流），直感思维与逻辑思维，推理论证能力及空间想象能力等的重要载体.线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合、化归与转化思想.教学重点：直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理.教学难点：直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用.教学方法：探究发现式、合作讨论式.教学过程:、问题情境1 •复习异面直线的定义;2. 思考并回答问题：异面直线是说两条直线不同在任一平面内, 若a ，则b •从这句话可知，直线与平面有哪几种位置关系?二、 学生活动1. 观察教室，概括空间直线和平面的三种位置关系；2. 观察长方体 ABCD-A 1CD ,说出棱AB 所在的直线与长 方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由；3. 总结、概括空间直线和平面的三种位置关系的定义.三、 建构数学1.直线与平面的位置关系.2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.注意：要证明线面平行关键在于在平面内找到一条线与已知直线平行;3. 直线和平面平行的性质定理.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线就 和交线平行. 即a 与b 是异面直线, a符号语言：ba// 图形语言: b 〃 a简记为：线线平行线面平行C i C直线a 与平面a 相交和平行的情况统称为直线在平面外，记作a符号语言：Il 〃m I m简记为：线面平行 线线平行 注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；四、数学运用1.例题.例1 如图，已知E 、F 分别是三棱锥 ABCD 勺侧棱 AB AD 的中点，求证：EF//平面BCD 解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法?反思1:要证明直线与平面平行可以运用判定定理；线线平行反思2:能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”；反思3:运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理.例2如图是一四面体ABCD 用平行于一组对棱 AC BD 的平面截此四面体得截面 PQM ,求证：四边形 PQM 是平行四边形. 2•练习.(1)如果两直线a / b 且a //平面a ,贝U b 与a 的位置关(2)过平面外一点，与这个平面平行的直线有 条.(3) P 是两条异面直线 a b 外一点，过点P 可作 个平面与a 、b 都平行.(4) 如图所示，P 是ABCC 所在平面外一点，E , F 分别在PA BD 上,且PE ： EA=BF FD.求图形语言线面平行;证：EF//平面PBC五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1•线面平行的判定定理：线线平行线面平行；2•线面平行的性质定理：线面平行线线平行；3•线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条线与已知直线平行；而线面平行的性质定理在使用时则需要构造辅助面找到交线，从而得到线线平行.。

1．问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？2．异面直线的概念：________________________________________________________________________． 34．公理4：（文字语言）____________________________________________________．（符号语言）____________________________________________________．5．等角定理：____________________________________________________________．例题剖析例1 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证：11//C A EF．例2 已知： BAC ∠和111C A B ∠的边11//B A AB ，11//C A AC ，并且方向相同．求证：111C A B BAC ∠=∠．例3 如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD -的棱11D A AD 、的中点．EA 1C A 1求证：111B E C CEB ∠=∠．巩固练习1．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．A 是BCD ∆所在平面外一点，N M ，分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，若a BD =，则MN =____________________．3．如果OA ∥11A O ，OB ∥11B O ，那么∠AOB 与∠111B O A 之间具有什么关系？4．已知111CC BB AA ，，不共面，且11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆≌111C B A ∆．课堂小结了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．C 1课后训练一 基础题1．若把两条平行直线称为一对，则在正方体12条棱中，相互平行的直线共有_______对． 2．已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ，∠︒=30ABC ，则∠PQR 等于_________________． 3．空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，，则由直线c b a 、、确定________个平面． 二 提高题4．三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形； （3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．5．在正方体1AC 中，CF F A CE E A ==1111，，求证：11F E ∥EF ．A 1 D 1 C 1三 能力题6．已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点． 且2==HDAHEB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点，求证：四边形EFGH 是梯形．7．已知三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，是DA CD BC AB ，，，的中点，43==FH EG ，，求22BD AC +．B FC GD H EA。

直线与平面垂直的判定教学设计一教学目标（一）知识与技能目标理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。

（二）过程与方法目标通过直观感知、操作，归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。

（三）情感与态度目标通过该内容的学习，培养学生的空间想象能力及合情推理能力，并从中体会“转化〞的数学思想。

二教学重、难点教学重点：直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。

教学难点：直线与平面垂直的判定定理的推导归纳。

三教学过程〔一〕构建定义1、直观感知通过观察图片，如地面上树立的旗杆，使学生直观感知直线和平面垂直的位置关系，并在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。

然后再引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、观察思考首先让学生思考如何定义一条直线与一个平面垂直，然后带着问题观察在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC所在直线的位置关系，这可以通过多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，并引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直这一结论。

3、抽象概括问题：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 这可以让学生讨论后口头答复，老师再根据学生答复构建出线面垂直的定义与画法。

〔板书〕例1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作： 直线 叫做平面的垂线，平面叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点，它的顶端的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点〔和旗杆脚不在同一条直线上A 、B,如果这两点都和旗杆脚O 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？〔四〕练习稳固1、空间中直线和三角形的两边AC,BC 同时垂直，那么这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是〔 〕 A 平行 B 垂直 C 相交 D 不确定2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，那么这条直线和平面的位置是〔 〕A 平行B 相交C 平行或相交D C3、在空间，以下命题〔1〕平行于同一直线的两条直线互相平行；〔2〕垂直于同一直线的两条直线互相平行；〔3〕平行于同一平面的两条直线互相平行；〔4〕垂直于同一平面的两条直线互相平行。

O 课 题：直线与平面垂直
一、教学目标
1借助对实例的观察与思考，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解定义；
2通过独立思考、合作探究，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用；
3在判定定理的探究中体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想，培养善
于观察、类比、归纳、反思等良好的思维品质
二、教学重点与难点
教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理；
教学难点：判定定理的探究
三、教学方法
教学方法：启发式、自主学习、合作探究；
四、教学过程
一直线与平面垂直的概念建构
问题1：观察圆锥SO （如图，它给我们以轴SO 轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？
直线与平面垂直的定义：
图形表示：
符号表示：
思考1:一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直吗？
二直线与平面垂直的定义的简单运用
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
三直线与平面垂直判定定理的探究
问题2：将一本书竖立在桌面上，怎样才能让书脊所在直线与桌面垂直？
直线与平面垂直的判定定理：
图形表示：
符号表示：
（四）直线与平面垂直判定定理的运用
例2 如图，已知正方体1111D C B A ABCD
1证明：直线1AA 与平面ABCD 垂直
（2）直线1AB 与平面11BCD A 是否垂直？为什么？
五、课堂小结
六、自主检测
已知：,,βα⊥⊥PB PA 垂足分别为B A ,,且l =⋂βα 求证：APB l 平面⊥。

苏教版高中高一数学必修2《点、线、面之间的位置关系》教案及教学反思1. 教学内容1.1 教学目标本节课学习的内容为三维坐标系上的点、直线、平面之间的位置关系。

学习完本课程后，学生应该能够：•理解三维坐标系上点、线、面的定义和表示方法•掌握点、线、面之间的位置关系•能够解决在空间中的点、线、面的相对位置问题1.2 教学内容1.2.1 点在三维坐标系中，点是由三个坐标轴上的数值表示，比如(x,y,z)。

点的坐标可以用来确定该点在空间中的位置。

1.2.2 直线在三维坐标系中，直线可以表示为两点之间的连线，或者通过向量表示。

两点之间的连线可以用点的坐标表示为：$$ \\begin{cases} x=x_1+t(x_2-x_1) \\\\y=y_1+t(y_2-y_1) \\\\ z=z_1+t(z_2-z_1) \\end{cases} $$其中t为参数。

通过向量表示的话，直线可以表示为$$ \\begin{cases} x=x_0+mt \\\\ y=y_0+nt \\\\z=z_0+pt \\end{cases} $$其中(m,n,p)是直线的方向向量，(x,y0,z0)是直线上的一点，t是参数。

1.2.3 平面在三维坐标系中，平面可以表示为一个点和一个法向量所确定的平面。

一个平面的法向量垂直于该平面。

平面可以使用点和法向量的坐标表示为Ax+By+Cz=D其中(A,B,C)是平面的法向量，D是平面上的一个点到原点的距离，可以通过以下公式计算$$ D=\\sqrt{A^2+B^2+C^2} $$1.3 教学重点教学重点是点、线、面之间的位置关系。

具体包括：•点到直线的位置关系•点到平面的位置关系•直线与平面的位置关系1.4 教学难点教学难点是点、线、面之间位置关系的判断和求解。

具体包括：•如何通过算法求解点到直线、点到平面的距离•如何求解两个平面的位置关系2. 教学过程2.1 拓展讨论引入本节课内容之前，可以先进行一个拓展讨论。

1.2.3 直线与平面的位置关系（4）
教学目标：
1. 系统理解掌握直线与平面的平行、垂直的判定和性质的应用；
2. 会比较熟练地运用有关结论完成证明；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教学重点：
直线与平面的平行、垂直的判定．
教学难点：
线面平行、垂直的性质与判定的综合应用.
教学方法：
合作交流，启发式.
教学过程：
一、问题情境
1．复习：
（1）线面平行的定义、判定、性质；
（2）线面垂直的定义、判定、性质；
2．情境练习：
（1）在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一
条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的是．
（2）如图1，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有个
二、典型例题
例1 如图2，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC
的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD．
P
A B
图1
P
C D
N。

1.2.2空间两条直线的位置关系（1）教学目标1．了解空间两条直线的位置关系；2．理解并掌握公理4及等角定理；3．初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略.教材分析及教材内容的定位本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.教学重点异面直线的定义，公理4及等角定理．教学难点异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透.教学方法变式：如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形EFGH 的形状还是平行四边形吗？ABD B A 1C 1B 1D 1A B C D EF例2 如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 1，E 分别为A 1D 1，AD 的中点，求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB ．2．练习.（1）若两直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系________________．（2）直线a 和b 分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a 和b 的位置关系是_________．（3）如果OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1，∠AOB ＝40o ，则∠A 1O 1B 1＝ ．（4）如图已知AA 1，BB 1，CC 1不共面，AA 1 BB 1，BB 1 CC 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1．A B D E F GHA B CDE F G H折叠E 1E A 1C 1B 1D 1 ACD∥ ＝ ∥ ＝。