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牛顿迭代法实验报告

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用牛顿迭代法求非线性方程的根

一、 实验题目

求方程013xxxf在5.1附近的根。

二、 实验引言

（1）实验目的

1. 用牛顿迭代法求解方程的根

2. 了解迭代法的原理

3. 改进和修缮迭代法

（2）实验意义

牛顿迭代法就是众多解非线性方程迭代法中比较普遍的一种，求解方便实用。

三、 算法设计

（1）基本原理

给定初始值0x，为根的容许误差，为xf的容许误差，N为迭代次数的容许值。

1．如果0xf或迭带次数大于N，则算法失败，结束；否则执行2.

2．计算0001xfxfxx.

3．若21xx或1xf，则输出1x，程序结束；否则执行4.

4．令10xx，转向1.

（2）流程图

四、 程序设计

program nndd01

implicit none

real,parameter::e=0.005

real,parameter::n=9

real::x1

real::x0=1.5

integer::k

real,external::f,y

do k=1,9

if (y(x0)==0) then

write(*,*)"失败"

else

x1=x0-f(x0)/y(x0)

if (abs(x1-x0)

write(*,*)k,x1

else

x0=x1

end if

end if

end do

end

function f(x)

implicit none

real::f

real::x

f=x*x*x-x-1

return

end function

function y(x)

implicit none

real::y

real::x

y=3*x*x-1

return

end function

五、 求解结果

3 1.324718

4 1.324718

5 1.324718

6 1.324718

7 1.324718

8 1.324718

9 1.324718

六、 算法评价及讨论

1. 在求解在1.5处附近的根，不难发现在输入区间左端值为1时需要迭代6次，而输入区间左端值为1.5时，却只要4次。初值更接近方程根时，迭代次数越少。

2. 在实验中，都是选取的区间左端值作为初次迭代值，而没有用到右端，应该设置左右端值作为迭代初值，比较它们的迭代次数，这样可以得到更少的迭代次数。

3. 在编写代码过程中，有几点疑惑，左右两端的导数是否会影响迭代次数，也就是选取哪个端点值迭代的问题。

4. 怎么样求出方程所有的根，在根的附近，得到解后程序就结束运行，如何将方程所有的根找出。

5. 怎么进一步加速迭代将是牛顿法进一步需要改进的问题。

6. 迭代过程中，导数值比较小，会导致误差比较大，如何规避。

附：

二分法程序

program erfenfa

implicit none

real::a =1.0000

real ::b=1.5000

real, parameter :: k=0.0050

real x, y1,f, y2

write(*,*)"a=, b="

read(*,*) a , b

do while (b-a>k)

y1=a*a*a-a-1

x=(a+b)/2

f=x*x*x-x-1

y2=f

if(y1*y2>0) then

a=x

else

b=x

end if

write(*,*) x , y2 end do

stop

end

一般迭代法程序

program main

implicit none

real::x0

integer::k

real::x1

integer,parameter::N=9

real,external::f

k=0

x0=1.5

do while (k<=N)

k=k+1

write(*,*) k,x0

x0=f(x0)

end do

end

function f(x)

real::x,f

f=(x+1)**(real(1)/real(3))

return

end

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MATLAB二分法和牛顿迭代法实验报告

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数学应用软件大型实验实验报告

实验序号： 日期：年 月 日

班级 姓名 学号

实验

名称 二分法和Newton迭代法

问题背景描述：

分别编写一个用二分法和用Newton-Raphson法求连续函数的零点通用程序。

实验目的：

用以求方程x^2-3*x+exp(X)=2的正根（要求精度ε=10^-6）。

实验原理与数学模型：

二分法原理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且已知函数在两端点的函数f（a）与f（b）取异号，即两端点函数值的乘积f(a)*f(b)<0,则函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即至少存在一点c，使得f(x)=0的解。

（1）计算f(x)在有解区间[a, b]端点处的值。

（2）计算)(xf在区间中点处的值)(1xf。

（3）判断若0)(1xf,则1x即是根，否则检验：

①若)(1xf与)(af异号，则知道解位于区间1,xa，

aaxb111,

②若)(1xf与)(af同号，则知道解位于区间，bx,1，

bbxa111,

反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：

kkbababa,,...,,,11

（4）当11kkab，则)(211kkkbax即为根的近似值。

Newton迭代法原理：设已知方程0)(xf的近似根0x,则在0x附近)(xf可用一阶泰勒多项式))((')()(000xxxfxfxp近似代替.因此, 方程0)(xf可近似地表示为0)(xp.用1x表示0)(xp的根,它与0)(xf的根差异不大.

设0)('0xf,由于1x满足,0))((')(0100xxxfxf解得

)(')(0001xfxfxx

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

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专业 知识分享

姓名 实验报告成绩

评语：

指导教师（签名）

年 月 日

说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。

实验一 方程求根

一、 实验目的

用各种方法求任意实函数方程0)(xf在自变量区间[a，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。

二、 实验原理

(1)、二分法

对方程0)(xf在[a，b]内求根。将所给区间二分，在分点2abx判断是否0)(xf；若是，则有根2abx。否则，继续判断是否0)()(xfaf,若是，则令xb,否则令xa。否则令xa。重复此过程直至求出方程0)(xf在[a,b]中的近似根为止。

（2）、迭代法

将方程0)(xf等价变换为x=ψ（x）形式，并建立相应的迭代公式1kxψ（x）。

（3）、牛顿法

若已知方程 的一个近似根0x，则函数在点0x附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001xxxfxfxp来近似，因此方程0)(xf可近似表示为)(0xf0))(('0xxxf设0)('0xf,则x0x)(')(00xfxf。取x作为原方程新的近似根1x，然后将1x 作为0x代入上式。迭代公式为：1kx0x)(')(kkxfxf。

三、 实验设备：MATLAB 7.0软件 四、 结果预测

（1）11x=0.09033 （2）5x=0.09052 （3）2x=0,09052

五、 实验内容

数值分析课程实验报告-二分法和牛顿迭代法

数值分析课程实验报告-二分法和牛顿迭代法

《数值分析》课程实验报告

用二分法和牛顿迭代法求方程的根

算法名称 用二分法和牛顿迭代法求方程的根

学科专业 机械工程

作者姓名 xxxxxx

作者学号 xxxxxx

作者班级 xxxxxxxx

xx大学

二〇一五年十二月

《数值分析》课程实验报告

《数值分析》课程实验报告

实验名称 用二分法和牛顿迭代法求方程的根 成绩

一、问题背景

在科学研究与工程计算中，常遇到方程（组）求根问题。若干个世纪以来，工程师和数学家花了大量时用于探索求解方程（组），研究各种各样的方程求解方法。对于方程f(x)=0，当f(x)为线性函数时，称f(x)=0为线性方程；当f(x）为非线性函数时，称式f(x)=0为非线性方程。对于线性方程（组）的求解，理论与数值求法的成果丰富；对于非线性方程的求解，由于f(x）的多样性，尚无一般的解析解法。当f(x)为非线性函数时，若f(x)=0无解析解，但如果对任意的精度要求，设计迭代方程，数值计算出方程的近似解，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能够满足实际要求。

二、数学模型

1.使用二分法求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根（误差<10^-5）。

2.使用牛顿迭代求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根，设置迭代格式为

三、算法描述

1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{kx}来逼近根x。

2、牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。

四、主要代码

（1）二分法程序代码：

function y=erfen1(m,n,er)

MATL新编计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

MATL新编计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

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Prepared on 22 November 2020

姓名 实验报告成绩

评语：

指导教师（签名）

年 月 日

说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。

实验一 方程求根

一、 实验目的

用各种方法求任意实函数方程0)(xf在自变量区间[a，b]上，或某一点附近的实根。并比较方法的优劣。

二、 实验原理

(1)、二分法

对方程0)(xf在[a，b]内求根。将所给区间二分，在分点2abx判断是否0)(xf；若是，则有根2abx。否则，继续判断是否0)()(•xfaf,若是，则令xb,否则令xa。否则令xa。重复此过程直至求出方程0)(xf在[a,b]中的近似根为止。

（2）、迭代法

将方程0)(xf等价变换为x=ψ（x）形式，并建立相应的迭代公式1kxψ（x）。

（3）、牛顿法

若已知方程 的一个近似根0x，则函数在点0x附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001xxxfxfxp来近似，因此方程0)(xf可近似表示为

)(0xf0))(('0xxxf设0)('0xf,则x0x)(')(00xfxf。取x作为原方程新的近似根1x，然后将1x 作为0x代入上式。迭代公式为：1kx0x)(')(kkxfxf。

三、 实验设备：MATLAB 软件

四、 结果预测

（1）11x= （2）5x= （3）2x=0,09052

五、 实验内容

（1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210xex的近似根，要求误差不超过3105.0。