2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)
- 格式：doc
- 大小：502.00 KB
- 文档页数：3
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
（高二年级）
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）
1．若对于任意实数x，|||1|2xaxa恒成立，则实数a的最小值为13．
2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．
3．若23234560123456(2)xxaaxaxaxaxaxax，则135aaa －4 ．
4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为a，腰长为，则332abab的值为 3 ．
5．设2,51(nnnabnnN*，201512201512{,,,}{,,,}aSaaabbb，则集合S中的元素的个数为 504 ．
6．已知点P在Rt△ABC所在平面内，，CAP为锐角，||2AP，2APAC，1APAB．当||ABACAP取得最小值时，tanCAP72．
7．已知正三棱锥PABC的底面的边长为6,侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为
1 ．
8．函数2()(112)(11)fxxxx的值域为[22,8]．
9．已知12,FF是椭圆2214xy的两个焦点,,AB分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则12PFPF的最小值为115．
10．使得12p和212p都是完全平方数的最大质数p为 7 ．
二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）
11．设平面点集18{(,)|()()0}25Axyyxyx，22{(,)|(1)(1)1}Bxyxy．若(,)xyAB，求2xy的最小值．
解 作出平面点集A、B所表示的平面区域，AB表示如图阴影部分D.
令2zxy，则2yxz，z表示直线2yxz的纵截距.
易知：直线2yxz经过区域D中的点P时，2zxy取得最小值. ……………（5分）
因为点P在圆22(1)(1)1xy上，设它的坐标为(1cos,1sin)，结合图形可知(,)2.
又点P在曲线1825yx上，所以有18(1cos)(1sin)25，
即7sincossincos025. ………………………………………（10分）
设sincost，则21sincos(1)2t，代入得217(1)0225tt，解得15t或115t（舍），x y
O P 即1sincos5. ………………………………………（15分）
结合22sincos1，并注意到(,)2，解得4sin5，3cos5．
所以，点P的坐标为29(,)55，2zxy的最小值为min292155z． ………（20分）
12．设nT是数列{}na的前n项之积，满足1,nnTanN*．
（1）求数列{}na的通项公式；
（2）设22212nnSTTT，求证：111123nnnaSa．
解 （1）易知1112Ta，0,1nnTa，且由111,1nnnnTaTa，得
11111nnnnnTaaTa，即11111nnnaaa，即111111nnaa． ……………（5分）
所以111111111112nnnnaa，故
1111nnann． ………………………………………（10分）
（2）由（1）得1211nnTaaan．
一方面，22211123(1)nSn
11111112334(1)(2)222nannn；……………（15分）
另一方面，
22211111123(1)444nSn1112135571323()()2222223nnn．
又1212111123322333nnannn．
所以 111123nnnaSa． ………………………………………（20分）
13．过直线2130xy上一动点A（A不在y轴上）作抛物线28yx的两条切线， ,MN为切点，直线,AMAN分别与y轴交于点,BC．
（1）证明直线MN恒过一定点；
（2）证明△ABC的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．
证明 （1）设00(,)Axy，11(,)Mxy，22(,)Nxy.
抛物线28yx的过点11(,)Mxy的切线方程为AM：114()yyxx．而AM过00(,)Axy，故
01014()yyxx ①
①式说明直线004()yyxx恒过点11(,)Mxy．
………………………………………（5分）
同理可证得直线004()yyxx恒过点22(,)Nxy．
故直线004()yyxx过,MN两点，则直线MN的方程为：004()yyxx．
又00213xy，代入004()yyxx中，得0(8)4(13)yyx．
所以直线MN恒过定点(13,8)． ………………………………………（10分）
（2）直线AM：114()yyxx与y轴交于114(0,)xBy．
抛物线28yx的焦点为(2,0)F，则111140202BFxyxky，又14BAky，则12181BABFxkky，所以BFBA.
同理可证CFCA．所以,,,ABCF四点共圆，且AF为直径．
因此，△ABC的外接圆恒过定点(2,0)F． ………………………………………（15分）
在AF和直线2130xy垂直时，圆的直径AF最小．此时，直线AF：02(2)yx， 与2130xy联立，求得(1,6)A，则||35AF.
所以，△ABC的外接圆的半径的最小值为352． ……………………………………（20分）
