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数值分析实验报告--实验2--插值法

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数值分析实验二：插值法

1 / 21 数值分析实验二：插值法 1 多项式插值的震荡现象 1.1 问题描述 考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格（Runge）给出一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上函数 21()125fxx (1) 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 ninixi,,2,1,0,21 则拉格朗日插值多项式为 201()()125nniiiLxlxx (2) 其中的(),0,1,2,,ilxin是n次拉格朗日插值基函数。 实验要求： (1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()nLx在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。 (2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数 xxgxxxharctan)(,1)(4 重复上述的实验看其结果如何。 (3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos,1,2,,1222(1)kbabakxknn (3) 以121,,nxxx为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析数值分析实验二：插值法

2 / 21 原因。 1.2 算法设计 使用Matlab函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m函数，方便调用。 1.3 实验结果 1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数 依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。Matlab脚本文件为Experiment2_1_1fx.m。 可以看出，当n较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。但是当n=10、15、20时，由于次数过高，插值函数的振荡越来越明显，导致在接近区间端点的地方，插值结果很差。 Figure 1 f(x)及拉格朗日多项式插值函数比较 1.3.2 h(x)和g(x)在[-5,5]上的拉格朗日插值函数 选用[-5,5]上的函数h(x)时，取n=2、10、15，得到的图2。Matlab脚本文件为Experiment2_1_2hx.m。 数值分析实验二：插值法

3 / 21 Figure 2 h(x)及拉格朗日多项式插值函数比较 选用[-5,5]上的函数g(x)时，取n=2、10、15，得到的图3。Matlab脚本文件为Experiment2_1_2gx.m。 Figure 3 g(x) 及拉格朗日多项式插值函数比较 可以看出h(x)和g(x)和插值函数图像比较，同样存在震荡现象。不过使用拉格朗日插值的结果在这里要比f(x)好一些，尤其是n=10、15时对g(x)的拉格朗日插值，如果不考虑区间端点附近的振荡，在区间内部近乎完全重合。 1.3.3 选用切比雪夫点构造拉格朗日插值多项式 选用切比雪夫点作为节点构造拉格朗日插值多项式，取n=5、10、15、50、100、150，得到f(x)及其拉格朗日多项式插值函数的图像如图4所示。Matlab脚本文件为Experiment2_1_3fx.m。 取n=5、10、20，得到g(x) 及其拉格朗日多项式插值函数的图像如图5所示。Matlab脚本文件为Experiment2_1_3gx.m。 从图4中可以看出，随着n的增加，插值函数越来越逼近f(x)，当n=150时，拉格朗日插值函数近乎于原函数f(x)完全重合。对于g(x)=arccos(x)，随着次数n的增加，接近速度更快，当n=20的时候，二者已经近似完全重合。所以，采用切比雪夫点作为插值节点，能够大大减少高次拉格朗日插值函数在区间端点的振荡现象。 数值分析实验二：插值法

4 / 21 Figure 4 f(x)和采用切比雪夫点的拉格朗日插值函数 Figure 5 g(x)和采用切比雪夫点的拉格朗日插值函数 1.4 分析总结 采用拉格朗日插值多项式逼近原函数的时候，当多项式的次数n较小时，随着n的增加，插值多项式越来越接近原函数。但是n相对较大时，插值函数在区间端点的振荡会越来越明显，这种高次插值多项式的病态现象即龙格现象。 通过比较f(x)、h(x)和g(x)与他们的插值函数的图像，可以发现插值函数随着次数n的增加病态的速度不完全相同，而是和具体函数有关，g(x)的插值函数的病态稍微小一点。 采用切比雪夫点作为插值函数的节点时，能够显著改善高次插值函数的病态现象，在次数n足够大时，插值函数总能与原函数近似完全吻合。所以采用切比雪夫点作为插值节点，提高大大提高插值函数的精度。 2 样条插值的收敛性 2.1 问题描述 多项式插值是不收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，但通过本实验可以验证这一理论结果。 数值分析实验二：插值法

5 / 21 实验要求： (1) 考虑式(1)的函数f(x)，分别选择等距插值节点和非等距插值节点，并不断增加插值节点的个数，比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。分析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较。 (2) 样条插值的思想是早产生于工业部门。作为工业应用的例子考虑如下问题：某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下： Table 1 车门曲线数据 xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yk 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 yk’ 0.8 0.2 要求编写样条插值函数程序，画出车门曲线。 2.2 算法设计 首先使用Matlab内置的样条插值函数spline计算插值点函数值，并绘制图像。 编写样条插值函数程序时，函数主体部分单独写成myspline.m函数，方便调用。Myspline函数的输入参数为：(x, y, 边界类型，边界值，xi)。其中x为节点向量，y为节点函数值向量，xi为未知节点向量，函数返回值为样条插值函数值向量S(xi)。 编写myspline函数时主要参考了课本2.7.2节的使用三弯矩方法推导样条函数的过程，以及课本5.4.3节使用追赶法解三对角线方程组。 2.3 实验结果 2.3.1 验证样条插值函数的收敛性 首先取n=10，画出f(x)原函数、拉格朗日插值函数和样条插值函数在区间[-1,1]上的图像如图6所示。Matlab脚本Experiment2_2.m。 Figure 6 n=10时，f(x)及其拉格朗日插值函数、样条插值函数图像 继续增加插值点个数，当n=20时得到图7。 数值分析实验二：插值法

6 / 21 Figure 7 n=20时，f(x)及其拉格朗日插值函数、样条插值函数图像 可以看出，样条插值函数的误差明显小于拉格朗日插值函数，而且随着插值节点n的增加，样条插值函数的误差越来越小。对于函数f(x)，当n=20时，样条插值函数已经近似和原函数完全重合。 为了验证样条插值的收敛性，取 max, x1,1RSxfx 观察随着n的增加，R的变化，如图8。Matlab脚本Experiment2_2_1.m。 Figure 8 样条插值函数误差R与插值点个数n的关系 数值分析实验二：插值法

7 / 21 从图8中可以看出，随着n的增加，R逐渐减小并收敛于零，说明样条插值函数是收敛的。 2.3.2 编写myspline函数绘制车门曲线 使用matlab编写的myspline函数对表格1中的数据进行样条函数插值，将计算得到的样条函数图像画出来，如图9所示。Matlab脚本Experiment2_2_2.m。 Figure 9 myspline样条函数函数插值结果 可以看出，使用自己编写的myspline函数得到的样条函数的图像和matlab内置函数spline函数的图像基本重合。说明编写的myspline函数的插值结果比较精确。 2.4 分析总结 可以看出，和拉格朗日插值函数相比，样条插值函数对于原函数的逼近是比较理想的。这是由于一方面样条函数采用了分段插值，大大降低了高次拉格朗日插值带来的区间端点震荡的龙格现象。另一方面，样条函数保证了区间端点处的一介导数和二阶导数相等，使得样条曲线更加光滑。 从实验中，我们通过观察到样条插值函数的误差随着插值点个数的增加而减小，从而验证了样条函数的收敛性。 通过编写myspline函数，更加深入的理解了样条函数的推导过程，也掌握了使用追赶法求解三对角线方程组的方法。 3 一维插值函数的应用例题 数值分析实验二：插值法

8 / 21 3.1 实验内容 画你自己的手的形状，在MATLAB中输入 figure('position',get(0,'screensize'))； axes('position',[0 0 1 1])； [x,y]=ginput; 将你的手掌张开放在计算机屏幕上，然后使用计算机鼠标选取一系列点勾勒出手的轮廓，按回车键结束ginput过程，这样就获得了一系列你的手掌外形数据点 。也可以这样获得数据点 ，先把手放在一张白纸上，并用笔画出它的轮廓线，然后将纸贴在计算机屏幕上，透过纸能看到平面上的鼠标，并通过ginput记录下轮廓上的点。 将和坐标值看作是两个独立变量的函数，独立变量的取值为从1到记录的点的数目。利用MATLAB的插值函数进行插值，并画出你的手掌外形轮廓。 3.2 实验结果 首先将手掌贴纸上，用笔描出手的形状。然后将纸张贴在屏幕上，通过题目给出的代码可以点选到手的形状的一系列点的坐标x和y，这些数据记录在Matlab的数据文件Experiment2_3_HandPointData.mat中。 然后，分别将x和y看作其角标的函数，使用Matlab内置函数spline插值，将得到的结果重新绘图，可以得到手的形状，如图10所示。Matlab脚本文件为Experiment2_3.m。 Figure 10 通过spline函数插值得到手的形状 数值分析实验二：插值法

9 / 21 4 思考题(二维插值) 4.1 利用二维差值找出丘陵地最高点 4.1.1 实验内容 在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。 y x 100 200 300 400 100 636 697 624 478 200 698 712 630 478 300 680 674 598 412 400 662 626 552 334 4.1.2 实验结果 首先使用Matlab的meshgrid函数生成网格坐标，输入各点的高程。然后再使用interp2函数对已知点进行样条插值，可以得到此丘陵地带的三维图像如图11所示。Matlab脚本文件为Experiment2_ad1.m。 Figure 11 使用interp2的样条插值得到丘陵地带地形图 利用Matlab的max函数可以找到最高点约为x=165，y=180，该点的高程约为721m。 4.2 利用二维插值画出山区地貌图 数值分析实验二：插值法

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数值分析插值法

数值分析插值法

数值分析插值法

插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。

插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。

常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：

1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn,

yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。拉格朗日插值多项式的一般形式为：

L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)

其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：

li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) /

(xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)

拉格朗日插值法的步骤为：

a. 计算基函数li(xi)的值。

b.构造插值多项式L(x)。

c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。 2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。

牛顿插值法的步骤为：

a.计算差商表的第一列。

b.计算差商表的其他列，直至最后一列。

matlab计算方法实验报告3(插值问题)

matlab计算方法实验报告3(插值问题)

计算方法实验报告(3)

学生姓名 杨贤邦 学 号 指导教师 吴明芬

实验时间 2014.4.9 地 点 综合实验大楼 203

实验题目 插值方法

实验目的  掌握拉格朗日、牛顿插值法的算法思想；

 根据相关数据，用Matlab或C现实拉格朗日、牛顿插值法

实验内容  拉格朗日、牛顿插值法及其Matlab实现；

 题目由同学从学习材料中任意选两题。 算法分析与源程序 拉格朗日插值：

function y=chazhi_lage(x0,y0,x)

i=length(x0);

y=0;

for j=1:i

p=1;

for k=1:i

if j~=k

p=p*(x-x0(k))/(x0(j)-x0(k));

end

end

y=y0(j)*p+y;

end

end

牛顿插值：

function y=chazhi_newton(x0,y0,x)

n=length(x0);

a(1)=y0(1);

s=1;

yy=0;

for i=2:n

a(i)=y0(i);

s=(x-x0(i-1))*s;

for j=1:i-1

a(i)=(a(i)-a(j))/(x0(i)-x0(j));

end

yy=a(i)*s+yy;

end

y=a(1)+yy;

实验结果与分析 1.依据以下数据表：分别用牛顿插值和拉格朗日插值求f（1.2）的值

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) -5 1 1 1 7 25

拉格朗日插值法结果：>> chazhi_lage(a,b,1.2)

ans = 1.52800000000000

牛顿插值法结果：>> chazhi_newton(a,b,1.2)

ans = 1.52800000000000

2.已知：√100=10，√121=11，√144=12，分别用拉格朗日和牛顿插值法求√115的近似值。

实验报告五 插值

实验报告五 插值

浙江大学城市学院实验报告

课程名称 科学计算

实验项目名称 函数的数值逼近－插值

实验成绩 指导老师（签名 ） 日期

一. 实验目的和要求

1． 掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

2． 通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。

二. 实验内容和原理

1） 编程题2-1要求写出Matlab源程序(m文件)，并对每一行语句加上适当的注释语句；

2） 分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序、运行结果和结果的解释、算法的分析等写在实验报告上。

2-1 编程

编写Lagrange插值函数的Matlab程序，其中n个插值节点以数组0x，0y输入，m个待求点的自变量以数组x输入。输出数组y为m个待求点的函数值。

Lagrange插值：=lagr(0,0,)yxyx

Step 1 输入插值节点数组0x，0y和待求节点x；

Step 2 数组0x的长度为n，x的长度为m；

Step 3 对1,2,,in，构造第i个插值基函数

111111(0)(0)(0)(0)()(00)(00)(00)(00)iiniiiiiiinxxxxxxxxlxxxxxxxxx

并计算在m个待求点上的基函数值。

Step 4 根据公式10()niiiyylx分别计算m个待求点上的函数值。

并对程序的每一行语句加上适当的注释语句。

2-2 分析应用题

用12yx在0,1,4,9,16x产生5个节点15,,PP。用以下五种不同的节点构造Lagrange插值公式来计算5x处的插值，与精确值比较并进行分析。

数值计算方法实验报告

数值计算方法实验报告

数值计算方法实验报告

一、实验目的

本实验旨在探究数值计算方法在实际应用中的效果和应用范围，验证其可靠性和准确性。

二、实验原理

数值计算方法是一种计算机辅助的数值分析方法，通过数学模型和计算机算法，对复杂的数学问题进行数值近似解。其基本思想是将数学模型转化为离散的数学问题，利用计算机进行计算，得出逼近精度可控的数值解。

在本次实验中，我们主要涉及以下数值计算方法：

1.插值法：通过已知数据点之间的曲线进行近似曲线的构造，从而推导出相应函数在某些点上的近似值。

2.数值积分法：将区间内的函数用多项式逼近，计算逼近多项式在该区间内的积分值，从而得出原函数在该区间内的近似积分值。

3.常微分方程数值解法：通过数值计算的方式对常微分方程进行求解，得出方程的近似解。

三、实验过程

1.插值法实验

（1）使用拉格朗日插值法对给定的一组数据进行插值，并画出插值曲线。

（2）使用牛顿插值法对同样的一组数据进行插值，并比较两种插值方法的效果。

2.数值积分法实验

（1）使用复合梯形公式求解给定的一元函数在某个区间上的近似积分值，并与准确值进行比较。

（2）使用复合辛普森公式求解同样的一元函数在同一区间上的近似积分值，并比较两种方法的精度。

3.常微分方程数值解法实验

（1）使用欧拉法求解给定的一阶常微分方程，并与准确解进行比较。

（2）使用四阶龙格-库塔法求解同样的一阶常微分方程，并比较两种方法的精度。

四、实验结果

1.插值法实验结果

（1）拉格朗日插值法的插值曲线如下：

（2）牛顿插值法的插值曲线如下：

从图中可以看出，两种插值方法的效果相似，但牛顿插值法的插值曲线更加平滑。

2.数值积分法实验结果

（1）复合梯形公式的近似积分值为0.6932，准确值为0.6931。相对误差为0.022%。

（2）复合辛普森公式的近似积分值为0.6931，准确值为0.6931。相对误差为0.003%。

由上述结果可以看出，复合辛普森公式的精度更高。