高考数学一轮复习第八章立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质课件

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第1讲 立体几何中平行与垂直问题 导学稿

【考情分析】

年份 分值 主 要 考 点

2016 22 1.简单几何体的三视图的体积；

2.异面直线所成的角

3.线线与线面垂直的转化，三棱锥的体积

2015 22 1.圆锥的体积；

2.简单几何体的三视图、球的表面积、圆柱的侧面积；

3.线面与面面垂直的转化，三棱锥的体积与表面积的计算.

2014 17 1.简单几何体的三视图；

2.线线与线面垂直的转化、三棱柱的高.（点到面的距离、等面积法）

2013 22 1.简单几何体的三视图的体积；球的表面积；

2. 线线与线面垂直的转化、三棱柱的体积.

【要点回顾】

【课前热身】自主学习，回归教材

1.(必修2P77习题1改编)设𝑎,b,c表示不同的直线，𝛼表示平面，下列命题正确的是（ ）

A.若a∥b，a//𝛼，则b//𝛼； B.若a⊥b，b⊥𝛼，则a⊥𝛼；

C.若a⊥c，b⊥c，则a//b； D. 若a⊥𝛼，b⊥𝛼，则a//b.

2.(必修2P53习题1改编)给出下列命题，其中错误命题的个数为（ ）

①若直线a与平面𝛼不平行，则a与平面𝛼内的所有直线都不平行；

②若直线a与平面𝛼不垂直，则a与平面𝛼内的所有直线都不垂直；

③若异面直线a，b不垂直，则过a与平面𝛼内的所有直线都不垂直；

④若直线a与b共面，直线b和c共面，则a和c共面.

A.1 B.2 C.3 D.4 2

3.(必修2P77练习1改编)已知平面𝛼，𝛽不重合，直线m，那么“m”是“”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.(必修2P82习题5改编)如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC,CD,SC的中点，动点P在线段MN上运动时，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP//BD；③EP//平面SBD；④EP//平面SAC．其中恒成立的结论是（ ）

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步第五节 直线、平面垂直的判定与性质AB卷 文 新人教A版

1.(2013·大纲全国，11)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，

则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )

A. B.C. D.

解析　如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连接OC1，过C

作CH⊥OC1于点H，连接DH.∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平

面ACC1A1.∴CH⊂平面ACC1A1，

∴CH⊥BD.∴CH⊥平面C1BD.∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角.

OC1＝＝＝.

由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，

∴·CH＝×2.CH＝.

∴sin∠CDH＝＝＝.故选A.

答案　A

2.(2016·新课标全国Ⅰ，18)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角

三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的

正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

(1)证明：G是AB的中点；

(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面

体PDEF的体积.

(1)证明　因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.

因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.

又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点.

(2)解　在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平

面PAC内的正投影.

理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，

又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平

面PAC内的正投影.

连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中

心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，

所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2.所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

第一轮复习立体几何【垂直问题】

垂直关系：

考点1 直线与平面垂直

1、线面垂直的判定:

判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直.

2、线面垂直的性质:

若直线垂直于平面，则该条直线垂直于平面内的任意一条直线.

考点2 平面与平面垂直

1、面面垂直的判定:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

2、面面垂直的性质:

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

【常用方法】“空间向量法”

考点突破

考点1 直线与平面垂直或（线线垂直）

典例1 ．（12年高考湖南理）如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,

43ABBC，0,590ADDABABC，,E是CD的中点.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;

训练1．（12年高考（大纲理））如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,22AC,2,PAE是PC上的一点,2PEEC.

(1)证明:PC平面BED;

训练2．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,点E在线段PC上,PC平面线线垂直 线面垂直 面面垂直

A

B C D P

E

图5

ECBDAPBDE.

(Ⅰ)证明:BD平面PAC;

训练3: 如图所示，已知PA⊥O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，

求证：AE⊥平面PBC．

训练4．（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱111ABCABC中,112ACBCAA,D是棱1AA的中点,BDDC1

(1)证明:BCDC1

考点2：面面垂直

例1.（2011福建理） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，

AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，45CDA．