2008倒立摆的LQR稳定控制器设计

Hefei University毕业论文（设计）BACH ELOR DISSERTATION论文题目：基于一级倒立摆的复合控制器设计学位类别：工学学士学科专业：自动化完成时间：2013年5月28日基于一级倒立摆的复合控制器设计中文摘要倒立摆系统是非线性不稳定系统，是开展各种控制实验及进行控制理论教学的理想平台，因此受到各国及工程研究专家学者的关注。

许多抽象的概念都可以通过倒立摆系统直观的表现出来，如控制系统的可控性、稳定性、系统的抗干扰能力和系统的收敛速度等。

迄今，人们己经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制方法实现了多种倒立摆系统的稳定控制。

倒立摆有许多控制方法，比较常见的有PID控制、LQR控制、模糊控制等。

在使用单个控制时，总不能同时使倒立摆系统的鲁棒性和稳态误差同时达到一个满意的效果。

本课题以固高公司的直线倒立摆为研究对象，采用LQR控制结合PID的复合控制，即根据LQR控制和PID控制的优缺点互补，使其系统具有结构简单、易于实现以及具有较强的适应性和鲁棒性，并且可以获得良好的动态性能和稳态性能。

关键词：倒立摆；PID控制；LQR控制；复合控制Design of composite controller based on inverted pendulumABSTRACTInverted pendulum system is a nonlinear unable systems, control theory is to carry put a variety of teaching and an ideal platform for testing control, so by the countries and engineering studies concern the experts and scholars. Many abstract concepts such as stability control systems, controllability, speed of system convergence and systems such as anti-interference ability, to pass though the inverted pendulum system shown intuitive. So far, it has been the use of classical control theory ,modern control and a variety of intelligent control a variety of methods to achieve the stability of inverted pendulum control system.Inverted pendulum control methods there are many, there is the more common PID control, LQR control, fuzzy control. In the use of a single control, can not at the same time inverted pendulum system robustness and steady-state error at the same time to achieve a satisfactory effect, subject to the company’s line of high-solid inverted pendulum for the study, the combination of LQR control PID control compound control, that is based on LQR control and PID control of the complementary strengths and weaknesses. Their system with simple structure, easy to implement and has strong adaptability and robustness, and can get a good dynamic performance and steady-state performance.KEY WORDS: Inverted pendulum；PID control；LQR control；Composite control目录第一章绪论 (1)1.1概述 (1)1.1.1 倒立摆系统概述 (1)1.1.2 倒立摆系统研究现状 (2)1.2 MA TLAB简介 (3)1.2.1 Simulink简介 (3)1.2.2 Simulink功能 (4)1.3研究内容与章节安排 (4)第二章直线一级倒立摆系统概述 (6)2.1 直线一级倒立摆系统硬件结构 (6)2.2 直线一级倒立摆数学模型 (7)2.3 直线一级倒立摆系统分析 (12)2.3.1 系统稳定性分析 (12)2.3.2 系统能控性分析 (14)2.3.3 系统可观测性分析 (15)2.4 本章小结 (17)第三章直线一级倒立摆系统PID控制 (18)3.1 PID控制算法 (18)3.2 直线一级倒立摆PID控制器设计 (18)3.3 直线一级倒立摆的PID控制器仿真 (24)3.4 本章小结 (27)第四章直线一级倒立摆系统LQR控制 (28)4.1 线性二次最优控制算法 (28)4.2 直线一级倒立摆的LQR控制器设计 (30)4.3 直线一级倒立摆的LQR控制器仿真 (31)4.4 本章小结 (33)第五章直线一级倒立摆系统PID与LQR复合控制设计 (34)5.1 两种控制算法的对比分析 (34)5.2 直线一级倒立摆PID与LQR复合控制器设计 (34)5.3 直线一级倒立摆的复合控制器仿真 (36)5.4 本章小结 (37)第六章总结与展望 (38)6.1总结 (38)6.2 进一步展望 (38)参考文献 (39)致谢 (41)第一章绪论1.1概述1.1.1 倒立摆系统概述倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。

沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。

前言.。

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1 倒立摆的背景及简介...。

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.10.2 MATLAB简介及应用....。

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一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。

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(4)1。

1 一级倒立摆模型基本理论。

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41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。

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72. 方案设计。

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软件编程。

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析.。

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单级倒立摆的LQR 与LQY 控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。

其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：2()cos sin ()sin cos M m x bx ml ml F I ml mgl mlx θθθθθθθ+++-=++=-倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设θπφ=+，φ为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1θ=-，sin θφ=-，220tθ∂=∂。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个方程如下：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩取状态变量：1234x x x x x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。

则系统的状态方程为：122122342224122()()()()()x x mgl M m ml x x uI M m Mml I M m Mml x x m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml =⎧⎪+-⎪=+++++⎪⎨=⎪⎪+=+⎪++++⎩将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：x Ax Bu y Cx x θ=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这里设：21.320.070.1//0.200.0009M Kg m Kgb N m s l m I Kgm =====将参数带入，有：010038.182500000010.384700002.803700.747710000010A B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、LQR 控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。

直线倒立摆系统的LQR控制器设计及仿真_毕业设计精品1.引言直线倒立摆系统主要由一个质量块和一个固定的轨道组成，质量块可以在轨道上自由运动。

该系统的目标是在面对各种扰动时保持质量块的平衡。

LQR控制器是一种优化控制方法，可以通过调整控制器的参数来实现系统动态响应的优化。

2.直线倒立摆系统建模m*x''+b*v+m*g=f-u在LQR控制器设计过程中，需要将系统的动力学方程转化为状态空间模型。

定义状态变量为x1=x，x2=x'，那么系统的状态空间模型可以表示为：x1'=x2x2'=(1/m)*(f-u-b*x2-m*g)3.LQR控制器设计LQR控制器设计的目标是通过调整控制器的参数来最小化系统的性能指标J。

在直线倒立摆系统中，我们可以选择以能耗作为性能指标，即J = ∫(u(t)^2)dt。

那么LQR控制器设计的目标是最小化能耗。

LQR控制器设计方法的关键是设计系统的状态反馈增益矩阵K。

具体的设计步骤如下：1)将系统的状态空间模型表示为矩阵形式：x'=Ax+Buy=Cx+Du其中，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，C是输出矩阵，D为直接递增矩阵。

2) 根据系统的状态空间模型计算系统的LQR控制器增益矩阵K。

增益矩阵K可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：K=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*A其中，S为Riccati方程的解。

3) 计算系统的控制器增益矩阵L。

增益矩阵L可以通过解代数矩阵Riccati方程得到：L=(R+B'*S*B)^(-1)*B'*S*C4.LQR控制器仿真在设计完成LQR控制器之后，可以进行仿真实验来验证控制器的效果。

可以使用MATLAB或Simulink来进行仿真。

在仿真实验中，需要设置各个参数的初始值，并且加入一些扰动以测试控制器的稳定性。

通过观察系统的状态变量和控制力的响应曲线，可以评估控制器的性能。

沈阳航空航天大学课程设计（论文）题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计班级 94070201学号 2009学生姓名 SONG指导教师关沈阳航空航天大学课程设计任务书课程名称计算机控制技术课程设计院（系）自动化学院专业自动化班级9407201 学号2009 姓名song课程设计题目针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计课程设计时间: 2012 年7 月9 日至2012 年7 月20日课程设计的内容及要求：1. 内容以直线一级倒立摆实验平台为实验对象，根据LQR方法设计控制律。

保证倒立摆的摆杆垂直于水平面。

2. 要求（1）制定设计方案，并绘制出系统工作框图。

（2）按要求了解LQR方法并根据LQR方法设计控制律，且编写程序。

（3）用matlab进行程序设计与调试并进行仿真。

（4）通过直线一级倒立摆实验平台检验控制律的实际控制效果。

（5）撰写一篇6000~8000字左右的课程设计报告。

指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日目录0. 前言 (1)1. 针对直线一级倒立摆的LQR控制系统的基本理论 (2)1.1倒立摆的相关基础知识 (2)1.2倒立摆系统控制方法简介 (2)1.2基于牛顿—欧拉方法的直线一级倒立摆系统的数学模型 (3)1.2系统的可控性分析 (6)1.3线性二次最优控制LQR的基本原理 (7)2. 方案设计 (8)3. 部分硬件电路图 (9)4. 软件编程 (10)5. 系统调试和结果分析 (12)5.1系统仿真调试与结果分析 (12)5.2实际系统调试与结果分析 (13)6. 结论及进一步设想 (16)参考文献 (17)课设体会 (18)针对直线一级倒立摆的LQR控制系统设计宋沈阳航空航天大学自动化学院摘要：针对一级倒立摆这个被控制对象，由于其本身是具有绝对的不稳定、高阶次、多变量、强耦合的一个非线性自然的不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。

lqr控制器设计方法
LQR（线性二次型调节器）控制器是一种线性系统最优控制器，其设计方法基于最优控制理论和线性系统理论。

以下是LQR控制器设计的一般步骤：
1. 确定系统模型：首先需要确定被控系统的状态方程和输出方程，通常可以使用系统的物理模型或者通过系统辨识得到。

2. 定义性能指标：选择一个合适的性能指标，通常采用二次型性能指标，如系统状态向量的二次范数或某个输出变量的二次范数。

3. 求解最优控制问题：使用线性二次型调节器方法，将最优控制问题转化为求解一个黎卡提（Riccati）矩阵方程的问题。

这个矩阵方程描述了最优控制策略和控制性能之间的关系。

4. 设计状态反馈控制器：通过求解得到的黎卡提矩阵，可以设计出状态反馈控制器。

状态反馈控制器是一种线性状态反馈控制策略，它将系统状态和最优控制策略结合，实现最优控制效果。

5. 实现控制器：将设计好的状态反馈控制器在实际系统中实现，并进行实验验证。

如果实验结果不满足要求，需要回到步骤1重新进行控制器设计。

需要注意的是，LQR控制器设计方法是一种理论上的最优控制策略，但在实际应用中，由于系统模型的近似、噪声干扰和测量误差等因素的影响，可
能会导致控制效果不理想。

因此，在实际应用中，需要根据实际情况对控制器进行适当调整和优化。

lqr控制器的设计与实践LQR (Linear Quadratic Regulator) 控制器是一种经典的优化控制方法，广泛应用于线性动态系统的稳定性和性能优化。

LQR 控制器的设计基于状态反馈和最小二乘优化技术，通过调整状态反馈增益矩阵，可以使系统的状态收敛到期望值，并且最小化系统性能指标。

一、LQR控制器设计原理LQR 控制器的设计基于线性动态系统的状态空间表达形式，通常用以下形式表示：x_dot = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，u是控制输入，y是输出，A、B、C、D是系统的矩阵参数。

LQR 控制器的设计目标是最小化系统的性能指标，通常采用二次型形式：J = ∫(x^TQx + u^TRu)dt其中，Q和R是权重矩阵，用于调整状态误差和控制输入的相对重要性。

LQR 控制器的设计可以通过求解Riccati 方程来实现。

Riccati 方程的解可以给出最优状态反馈增益矩阵K，用于计算控制输入：u = -KxRiccati 方程的一般形式为：A^TP + PA - PBR^(-1)B^TP + Q = 0其中，P是对称正定的矩阵，满足A^TP + PA = -Q，K的表达式为：K = R^(-1)B^TP通过求解Riccati 方程，可以得到最优的状态反馈增益矩阵K，从而实现系统的最优控制。

二、LQR控制器的设计步骤下面是LQR控制器的设计步骤：1. 确定系统的状态空间表达形式，即确定系统的状态方程和输出方程中的矩阵参数A、B、C、D。

2. 选择合适的权重矩阵Q和R。

Q矩阵用于调整状态误差的重要性，R矩阵用于调整控制输入的重要性。

权重矩阵的选择可以根据实际需求进行调整，一般来说，Q和R矩阵都是对称正定的。

3. 求解Riccati 方程。

根据系统的状态方程和输出方程，以及选择的权重矩阵Q和R，求解Riccati 方程可以得到最优的状态反馈增益矩阵K。

4. 计算控制输入。

毕业设计（论文）任务书I、毕业设计(论文)题目：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求：1、在深入了解倒立摆的基础上，熟悉单级倒立摆控制的基本原理2、了解单级倒立摆控制的发展趋势。

3、熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法。

4、建立单级倒立摆的数学模型，并编写MATLAB程序，完成倒立摆的仿真。

I I I、毕业设计(论文)工作内容及完成时间：工作安排如下：1、查阅文献，翻译英文资料，书写开题报告第1---4周2、相关资料的获取和必要知识的学习第5---9周3、设计系统的硬件和软件模块并调试第10--14周4、撰写论文第15--17周5、总结，准备答辩第18周Ⅳ、主要参考资料：1．阳武娇.基于MATLAB的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真[J].电子元器件应用.2007，9(1):29-312 .杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究[J].控制工程.2007,14:23-53.3．黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真[M].北京：国防工业出版社，2006．4．薛安客，王俊宏．倒立摆控制仿真与实验研究现状[J].杭州电子工业学院学报.2002，21(6):25-27.5 .徐征.基于遗传算法的PID控制器参数寻优方法的研究[D].武汉：武汉大学，2004．6．Takahas M，Narukawa T，Y oshida K．Intelligent transfer andstabilization control to unstable equilibrium point of double inverted pendulum．Int SICE 2003 Annual Co nfeFence，2003，2：1451-145.信息工程系自动化专业类1082022班学生（签名）：填写日期： 2014 年 1 月 10 日指导教师（签名）：助理指导教师(并指出所负责的部分)：信息工程系主任（签名）：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真摘要：单级倒立摆系统是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。