第6章 互连网络

6.混洗交换互连函数 混洗交换互连函数实际上是由全混洗互连函数与交换互连函数构 成的复合函数： Exchange[shuffle(bn-1bn-2…b1b0)] = Exchange[bn-2…b1b0b n-1]= bn-2…b1b0b̅n-1 按照混洗交换互连函数的连接示意如图6.9所示，其中，N=8。
（6）结点间线长：是指两结点之间的线路长度，它影响信号传输中的延 时、扭曲和需要的功率。 （7）对称性：从任何一个结点来看，若网络的拓扑结构都一样，则称为 对称网络。对于这种网络，容易设计和编程。 （8）数据寻径功能：表示互连网络把数据从网络的一端传送到另一端的 方式和能力，分为静态和动态两种。静态数据寻径网络是指其结构不能用 程序改变；而动态数据寻径网络的结构可用程序改变。不同的网络结构有 着不同的数据寻径功能，常见的有一到一、一到多(广播)、散射、汇合/聚 集、归约(多到一)、循环移位、扫描和全交换等。 3.主要参数
6.1.2 互连函数
1.恒等互连函数 也称为直通互连函数，是指输出端与相同序号的输入端对应连接。 其表达式为： I(x)=I(bn-1bn-2…b1b0)=bn-1bn-2…b1b0 其示意如图6.2所示，左边表示输入端，右边表示输出端。 2.交换互连函数 交换互连函数（Exchange）实现输入 端与地址中某一位取反的输出端连接： Exchange(bn-1bn-2…b1b0)= bn-1bn-2…b1b0 扩展交换互连函数是把地址中的任一位 变反，其表达式为： Exchange(bn-1bn-2…bk…b1b0)k= bn-1bn-2…bk …b1b0 图6.2 恒等互连示意图
6.2 静态互连网络
静态互连网络(Static network)是在点到点之间使用直接链路， 设计成功，固定不变，常用来实现集中式系统中子系统之间或分布 式系统中多个计算结点之间的固定连接。这种网络较适合于通信模 式可以预测或者可用静态网络连接的计算机系统中，且有多种形式， 比如一维线性阵列，二维环形、星形、树形和网络形等，三维立方 体以及三维以上的超立方体等。下面简要介绍常用静态互连网络， 若无专门说明，N=2n。
图6.9 混洗交换互连示意图
【例6.2】设有128个处理器，其编号依次是0，1，2，…，127 ，当复合互连函数为 Shuffle(Exchange (PM2I-2))时，第7号处 理器与哪一个处理器连接。 解：设待求处理器的序号为i，表示为Pi，则： Pi = Shuffle(Exchange(PM2I-2(00000111))
4.互连网络设计要素 在设计互连网络时，所考虑的主要因素有以下4个方面。 （1）传送方式 传送方式分为同步和异步两种。所谓同步方式，是在数据传送的过程 中采用统一的时钟信号。 异步方式则不需要统一的时钟信号在各处理机（或单元）之间进行同 步，各处理机（或单元）根据自身需要相互建立动态连接。 （2）控制策略 是控制互连开关构成信息通路的方式，可分为集中控制和分散控制两种。 所谓集中控制，是由统一的控制器对各个互连开关实施控制；而分散控制， 是由各个开关自身实施控制。 一般SIMD计算机采用的是集中控制和同步传送方式。 （3）交换方式 是指数据传送管理方式，分为线路交换和分组交换。线路交换是在传送 过程中，在源/目标结点间建立固定的物理通路，适合于成批数据传送。分 组交换是对数据进行分组，分别送入互连网络，各分组可通过不同的路由到 达目标结点，适合于短数据报文传送。 SIMD计算机一般采用线路交换，MIMD多处理机多采用分组交换方式。
= Shuffle(Exchange(00000111-22)))
= Shuffle(Exchange(00000011)) = Shuffle(00000011)
= Shuffle(00000010)= 00000100
【例6.3】设有128个处理器，其编号依次是0，1，2，…，127， 当复合互连函数为 Shuffle(Butterfly(PM2I+4))时，第27号处理器 与哪一个处理器连接。 解：设待求处理器的序号为i，表示为Pi，则： Pi = Shuffle(Butterfly(PM2I+4(00011011))) = Shuffle(Butterfly(00011011+24)) = Shuffle(Butterfly(00101011)) = Shuffle(10101010)= 01010101
5.蝶形互连函数
蝶形互连函数实现输入端与 地址中最高位与最低位交换的输出 端连接： Butterfly(bn-1bn-2…b1b0) = b0bn-2…b1bn-1 按照蝶形互连函数的连接示意 如图6.8所示，犹如一只蝴蝶，中 线对称，因此称为蝶形互连函数。 其中，N=8。
图6.8 蝶形互连示意图
图6.5 全混洗互连示意
4.PM2I互连函数
PM2I互连函数是“加减2i ”单级互连函数的简称，也称为循环移数 函数，它实现输入端与地址〒2i的输出端连接：
PM2I+i(j )=(j+2 i) mod N PM2I-i(j )=(j-2 i ) mod N 式中0≤i≤n-1，0≤j≤N-1，n=log2N，N是结点数。显然，这种互连函数 共有2n种。 图6.6所示是N=8时，按函数PM2I+0、PM2I-1和PM2I〒2构成网络的 连接形式。
（4）拓扑结构 是指互连网络中各结点之间的连接关系，可分为静态拓扑和动态拓 扑。静态拓扑是在网络运行中其结构不能改变；而在动态拓扑结构中设有 有源开关，在网络运行中可借助于控制信号对连接通路重新组合。 一维静态拓扑有线性结构，二维有圆型、星型、树状和网格型等结 构，三维及以上有超立方体结构等。在动态拓扑中主要分为单级循环网络 和各种多级互连网络，其连接形式与互连函数密切相关。 5.互连函数 为反映互连网络的连接特征，常用函数的形式进行描述，称为互连 函数，它反映的是从输入端到输出端的映象关系。设用x表示具有N个输入 端的网络输入序号，则输出端的序号用函数f(x)表示。 设x是一个n位的二进制数，即x=bn-1bn-2…b1b0，其中n=log2N。 则f(x)因函数的不同，而有不同的表达式，例如： 交换互连函数f(x)=f(bn-1bn-2…b1b0)= bn-1bn-2…b1b¯0 全混洗互连函数f(x)=f(bn-1bn-2…b1b0)=bn-2…b1b0bn-1
图6.6 PM2I互连示意图
互连特性如图6.7所示，比如结点0可以与结点1，2，4，6，7直接 连接；而在图6.3所示的立方体互连中，每一个结点只能与相邻的3个 结点连接。
但是从图6.6中不难看出， PM2I+(n-1)=PM2I-(n-1)。因此， 按照函数PM2I只能构成2n-1种 互连函数。网络的最大距离为 n / 2 = log2N / 2 ，这里 表示向上取整。 图6.7 PM2I互连特性
2.主要性能 主要是指网络规模、连接度、结点距离、网络直径、带宽、可靠 性和成本。 （1）网络规模：是指网络中的结点数，它体现网络所能连接的部 件数，随着设备的增加而扩大。 （2）连接度：也称为结点度，是指与该结点连接的边数，也就是 直接连接到该结点的其它结点数，常用d表示。如果一个结点直接连接 的其它结点越多，则该网络的连接度也就越高。 （3）结点距离：结点距离是从一个结点到另一结点所经过的最少边 数。 （4）网络直径：网络直径是指网络中任意两个结点之间的最大距离， 常用D表示。从数据传送的角度来看，网络直径越小越好。 （5）等分宽度：分为通道等分宽度和线等分宽度。把网络切成相等 的两半，沿切口的最小边（通道）数称为通道等分宽度，可用k表示；若 用w表示通道宽度（用位表示），则B=k〓w称为线等分宽度。
按照Cube函数的连接示意如图6.4所示。
图6.4 Cube交换互连示意图
【例6.1】设有64个处理器，其编号依次是0，1，2，…，63，
按照互连函数Exchange()4连接时，第21号处理器与哪一个处理器 连接。 解：设待求处理器的序号为i，表示为Pi，则：
Pi 静态互连网络结构 6.2.2 静态互连网络特性
6.2.1 静态互连网络结构
1. 线性阵列结构 线性阵列是一种一维网络结构，其中N个结点用N-1条链路连接，构成 一行，如图6.10（a）所示。以d表示连接度，则内部结点d=2，两端结点 d=1。网络直径D=N-1，等分宽度为1，是一种非对称结构，N很大时通信 效率低；N很小时，比如N=2，简单方便。 2.环与带弦环结构
=01¯0101
=000101
3.全混洗互连函数 全混洗互连函数(Shuffle)也称为均匀混洗互连函数，它实现输入 端与地址中最高位循环移位到最低位的输出端连接： Shuffle(bn-1bn-2…b1b0)=bn-2…b1b0bn-1 其示意如图6.5所示，犹如把一沓扑克牌对分后均匀洗牌的结果 ，因此称为全混洗互连函数。其中，N=8。 此外，还有逆全混洗和扩展全混洗互连函 数。其中逆全混洗互连函数是把地址中的最低 位循环移位到最高位： Shuffle(bn-1bn-2…b1b0)-1=b0bn-1bn-2…b2b1 扩展全混洗是把地址中的任一位循环移位 到最低位： Shuffle(bn-1bn-2…bk…b1b0)k = bn-1bn-2…b1b0bk
（1）带宽 是指网络传送信息的速率，常用Mbps或MBps表示，又分为聚集带宽 和等分带宽。所谓聚集带宽是在网络中，从一半结点到另一半结点，每秒 钟传送信息的最大位数或字节数.。而等分带宽是指每秒钟从最小线等分宽 度(线)上通过信息的最大位数或字节数。
例如HPS是一个对称式网络，包含512个结点，每个端口的带宽为 40MBps，可计算出聚集带宽为512/2〓40MBps=10GBps。 若用r表示线等分宽度中每条线上传送信息的速率，则等分带宽可表示为 P=kwr。 （2）传输时间：是指信息通过网络所用的时间，等于信息长度除以带宽。 （3）飞行时间：是指消息的第一位数据通过网络到达接收端所用的时间。 （4）传输延时：传输延时等于飞行时间与传输时间之和，是消息通过互 连网络的时间，但不包括网络两端硬件设备发送和接收的时间。 （5）总延时：包括上述传输延时和网络两端的发送与接收时间。 （6）误码率：是传输信息时出现错误的概率，等于错误码的位数除以总 码长。显然，误码率越低越好。 （7）成本：构建互连网络所花的费用。在保证功能要求的基础上，越低 越好。