数理统计笔记整理

1 / 13 高等教育自学考试《概率论与数理统计》

重难点笔记资料

课程代码：04183

第一章 随机事件与概率

一.随机事件关系与运算

1!0,)!(!!!,)!(!0CCCAAnnnrnnnrnrnrn：，nrnn组合排列

ABBA,/A=B 包含与相等 BAABBA则, A发生必须导致B发生

BA / A+B 和事件 BBAB，A则 A,B中至少有一个发生,

BA / AB 积事件 ABAABB，A则 A,B同时发生

A--B 差事件 ;BAB，A则 A发生而B不发生

AB 互不相容 AB A与B不能同时发生

A 对立事件 A--B=AB=A--AB’AA1 A的逆事件

二.概率P(A)

1.P(A)概率特征

)()31)(,0)()21)(0)111KKKkAAP，P（PPAP事件互不相容时

2. 古典概型

3.概率加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)

事件的独立性:

定义:P(AB)=P(A)P(B)

性质:.P(A)>0,,则P(B)=P(B/A); P(B)>0则P(A)=P(A/B)

P(B—A)=P(B)--P(AB)

P（A--B）==P（AB）=P（A--AB）=P（A）--P（AB） 基本事件总数所包含的基本事件数AAP)(

2 / 13 P(A+B+C)=1--P(A+B+C)=1--P(A)P(B)P(C)

P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-(P(A)+P(B))

P(A)=1-P(A

4.条件概率公式

5.概率的乘法公式

6.全概率公式：从原因计算结果

7.Bayes公式：从结果找原因

)()()|(BPABPBAP)|()()(BAPBPABP)|()(ABPAPnkkkBAPBPAP1)|()()(nkkkiikBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|()()()|(APABPABP)/()/()()(ABCPABPAPABCP

自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统

§1.1 随机事件

1.随机现象：

确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象：

随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；

其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。

结论：随机现象是不确定现象之一。

2.随机试验和样本空间

随机试验举例：

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E3：记录110报警台一天接到的报警次数。

E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。

E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。

E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。

随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。

样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。

举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。

3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

必然事件：一定发生的事件，记作

不可能事件：永远不能发生的事件，记作

4.随机事件的关系和运算

由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。

（1）事件的包含和相等

包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。 性质： 例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。 注：与集合包含的区别。

相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件

概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。

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精品文档 《概率论与数理统计（经管类）》 柳金甫、王义东 主编，

武汉大学出版社新版

第一章 随机事件与概率

第二章 随机变量及其概率分布

第三章 多维随机变量及其概率分布

第四章 随机变量的数字特征

第五章 大数定律及中心极限定理

第六章 统计量及其抽样分布

第七章 参数估计

第八章 假设检验

第九章 回归分析

前言

本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。

第一章 随机事件与概率

本章概述

.

内容简介

本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。

本章内容

§1.1 随机事件

1.随机现象：

确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；

不确定现象：

随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；

其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。

结论：随机现象是不确定现象之一。

2.随机试验和样本空间

随机试验举例：

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。

E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。

E3：记录110报警台一天接到的报警次数。

E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。

E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。

E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。

随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。

样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。

举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。

3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

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一、数学分析

1.极限与连续性

极限的定义：对于数列的极限，若对于任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，|an - a| < ε，则称数列{an}收敛于a，记作lim(an)

= a。

连续性的定义：若函数f在点x0处连续，则对于任意ε>0，存在δ>0，使得当|x - x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| < ε成立。

2.微分与积分

微分的定义：函数f在点x0处可导，则存在常数A，使得当x→x0时，有Δf = f(x) - f(x0) ≈ A(x - x0)成立。

积分的定义：对于定积分∫[a,b]f(x)dx，若存在分点ξk∈[xk-1,xk]，使得S = ∑(i=1)^n f(ξi)Δxi = limn→∞ Σ(i=1)^n

f(ξi)Δxi成立，则称f在[a,b]上可积。

二、线性代数 1.向量空间

向量空间的定义：对于域F上的n维数组空间Vn(F)，若满足以下条件，则称Vn(F)为F上的n维向量空间：

（1）对于任意u、v∈Vn(F)，有u+v∈Vn(F)；

（2）对于任意k∈F、u∈Vn(F)，有ku∈Vn(F)；

（3）存在零向量0∈Vn(F)使得对于任意u∈Vn(F)，有u+0=u；

（4）对于任意u∈Vn(F)，存在-u∈Vn(F)，使得u+(-u)=0。

2.矩阵与行列式

矩阵的定义：对于m×n矩阵A=(aij)，其中aij∈F，则称A为m×n矩阵。对于n×n矩阵A，若存在n阶单位矩阵En，使得EA=AE=A成立，则称A为可逆矩阵。

行列式的定义：对于n阶行列式Det(A)，其定义为Det(A)=Σα(i1i2...in)Ai1i1Ai2i2...Ainin，其中α(i1i2...in)为排列的符号，Ai1i1Ai2i2...Ainin为n个元素所组成的乘积。

三、概率论与数理统计 1.随机变量与概率分布

随机变量的定义：对于样本空间Ω上的实函数X(ω)，若X(ω)是Ω上的一个实数值函数，则称X(ω)为随机变量。