水力学——水静力学

1 第一章 水静力学

考点一 静水压强及其特性

1、静水压强的定义：静止液体作用在受压面每单位面积上的压力称为静水压强。

2、静水压强的特性：

（1）静水压强垂直于作用面，并指向作用面的内部；

（2）静止液体中任一点处各个方向的静水压强大小相等。

考点二 几个基本概念

1、绝对压强：以绝对真空为零点计量得到的压强，称为绝对压强，以absp或 p’ 表示；

2、相对压强：以当地大气压作为零点计量的压强，称之为相对压强，用p表示。

3、真空与真空度：

（1）真空现象：如果p ≤0，称该点存在真空；

（2）真空度：指该点绝对压强小于当地大气压的数值。

ppppak'

4、相对压强与绝对压强之间的关系：

appp'

5、压强的表示方法：

1 （atm）＝ 10 (mH2O) ＝ 98000 (N/m2) ＝ 98 (kN/m2) =736（mm汞柱）

考点三 液体平衡微分方程式（Euler方程）

绝对压强计算基准面 相对压强计算基准面 pN

p’C p’N

pa pK p’ p

N

C O

O 2 1、微分方程：液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态时作用于液体上的各种力之间的关系式。

2、综合表达式——压强差公式 ：

）＝zZyYxXzzpyypxxppddd(dddd

）＝zZyYxXpddd(d

3、积分结果 ：

若存在一个与坐标有关的力势函数U(x,y,z)，使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即

zUZyUYxUX

可得

UzZyYxXzzUyyUxxUpdddd(dddd）＝

Updd＝

积分上式得到： CUp＝

或者 )(00UUpp＝

式中， 为自由液面上的压强和力势函数。

考点四 等压面

1、定义：静止液体中压强相等的点所组成的面称为等压面。

2、等压面方程：在等压面上，0dp，等压面的方程为

0ZdzYdyXdx ZzpYypXxp 3 3、等压面的特性：

（1）在等压面上，p=c；

（2）等压面与质量力的方向正交；

（3）等压面也是等势面。

举例1：

如果液体在静止状态下，也即，作用于液体上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；就一个大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。

举例2：

旋转液体中的相对平衡。一个盛有液体的原容器，以定常角速度绕铅垂轴旋转，液面的形状是一个旋转抛物面。等压面是旋转抛物面。

举例3：

作等加速直线运动的容器中液体相对平衡，液面是一个斜平面。等压面是倾斜平面。

考点五 重力作用下液体的平衡

1、压强计算公式： hpp0

特性：（1）0p等值的传到液体内任一点；

（2）p随h成线性变化。

2、水静力学基本方程：Cpz 或

222111pzpz

式中，0p为液面压强； h为所测点在自由液面以下的深度；为液体重度；z为液体内任一点距基准面的距离；C为常数。

3、物理意义：平衡液体内部同种液体任意两点测压管水头相等。

z——位置水头，表征单位重量液体所具有的位置势能；

p——压强水头，表征单位重量液体所具有的压强势能；

pz——测压管水头，表征单位重量液体所具有的总机械能。

4

考点六 几种质量力同时作用下液体的相对平衡

1、.等角速旋转运动

图示为盛有液体的开口圆桶，设圆桶以等转速绕其铅垂轴旋转，将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与圆桶底面的交点上，z轴垂直向上。则有

A(x,y,z)zxzhO原液面gxyrAOyr2g21r2g21r2gxrr

（1）等压面方程： zgrz222 （旋转抛物面）

（2）压强分布方程： Cgrpz222

（3）压强计算公式： hpp0 （压强分布规律与仅有重力作用下时相似）

式中，为角速度；r为欲测压强点到旋转轴的距离；z为任一点的垂直坐标，z轴向上为正，向下为负；h表示任一点在自由液面以下的深度。

注意：公式不需要死记，重点掌握推导过程！

2、等加速直线运动

图示为一水箱，沿着与水平面成α角的斜面以等加速度a作直线运动，设作用于液面的压强为p0，取如图所示的坐标系，则有： 5 p0xzaOag

（1）等压面方程： Cxgaazsincos （倾斜平面）

（2）压强分布方程： ])sin(cos)[/(0zgaxagpp

（3）压强计算公式： hpp0 （压强分布规律与仅有重力作用下时相似）

式中， h表示任一点在自由液面以下的深度。

注意：公式不需要死记，重点掌握推导过程！

考点七 作用于平面上的静水总压力

1、 作用于矩形平面上的静水总压力（特殊情况）

（1） 静水总压力的大小：VbSP•

式中，S——静水压强分布图的面积

b——矩形平面的宽度

V——静水压强分布图的体积

（2） 静水总压力的方向：垂直指向作用面。

（3） 静水总压力的作用点：通过静水压强分布图的形心。

2、作用于任意平面上的静水总压力（一般情况）

图示为一任意形状平面EF倾斜置放于水中，与水平面的夹角为α，平面面积为A，平面形心点为c。

bcDmdAAbDLEFLCLDLhhCPobdPe

（1）静水总压力的大小：AhApPcc 6 式中，cp——该平面形心点的压强

A——平面的面积

ch——平面形心点c在液面下的淹没深度

（2）静水总压力的方向：垂直指向作用面。

（3）静水总压力的作用点（压力中心）：（压力中心在形心点以下）

)/(ALΙLLcccD

压力中心距形心的距离为

)/(ALΙLLecccD

式中，cL为平面EF形心点c距ob轴的距离；ch为平面EF形心点c在液面下的淹没深度；DL为压力中心距ob轴的距离；e为偏心距；cΙ为平面EF对通过其形心c并与ob轴平行的轴的面积惯性矩，对于矩形断面12/3bLIc，对于圆形断面，4/4RIc。

考点八 作用于曲面上的静水总压力

求曲面上的静水总压力P，可将总压力分为水平分力xP和垂直分力zP，然后求其合力P。

1、静水总压力的水平分力

（1）大小：作用在曲面上的静水总压力的水平分力Px，等于作用在该曲面的铅垂投影面Ax上的静水总压力。

xcxcxAhApP

（2）方向和作用点：方向垂直指向铅垂投影面Ax；水平分力Px的作用线应通过Ax平面的压力中心。

2、静水总压力的垂直分力

（1）大小：静水总压力的垂直分力Pz的大小等于压力体的水重，即

VPz

式中，V为压力体的体积。

（2）方向：实压力体垂直分力zP的方向向下；虚压力体Pz的方向向上。

（3）作用点：垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。

7 3、压力体

（1）压力体的画法：

压力体由下列周界所围成：（a）受压曲面本身；（b）液面或液面的延长面；（c）通过曲面边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。

（2）实压力体：当液体和压力体位于曲面同侧时，此时的压力体称为实压力体，垂直分力zP的方向向下；

（3）虚压力体：当液体及压力体各在曲面一侧时，这个想象的压力体称为虚压力体，则Pz的方向向上，如图所示。

PxAxPz实压力体虚压力体AxPxPz（a）（b）

4、曲面上的静水总压力的大小、方向及其作用点

由力的合成原理，曲面上的静水总压力的大小为 22zxPPP

静水总压力与水平面之间的夹角为 xzPP/tan

典型例题

【例1】 一容器中有三种不同的液体，321，如图所示。试求：(1)三根测压管中的液面是否与容器中的液面齐平，如不齐平，试比较各测压管中液面的高度？（2）62.71kN/m2、561.82kN/m2、8.93kN/m2，m5.21a、m5.12a、m13a时，求1h、2h和3h。（3）图中1-1、2-2、3-3三个水平面是否都是等压面？

解：

（1）已知321，由习题2.49的推证可知，三根测压管中的液面不齐平。由于第一根测压管中的液体与油箱中的液体为同一种液体，且上面只有一种液体，所以第一根测压管中的液面与水箱中的液面同高。其余测压管中的液面均低于水箱的液面，且第三根测压管中的液面低于第二根测压管中的液面。 123h1h2h3a1a2a3112233h1h2h3pa

【例1】图

（2）求1h、2h和3h

对于第三根测压管，有

)()(3333332211hhhaaa 8 m254.415.18.9561.88.95.262.733223113aaah （1）

对于第二根测压管，有

)()(232222211hahhaa

m725.415.15.2561.862.7322112aaah （2）

对于第一根测压管，有

m515.15.23211aaah （3）

（3）求等压面

由图中可以看出，只有3-3面为等压面。

【例2】矩形木箱长3m，静止时液面离箱底1.5m，现以a=3m/s2的加速度水平运动，试计算此时液面与水平面的夹角以及作用在箱底的最大压强与最小压强。

解：

已知加速度的方向与 x的方向一致，则惯性

力的方向与加速度的方向相反。在x、y、z方向的单位质量力分别为X=-a、Y=0、Z=-g。由静止 ABzxaO3m1.5m

【例2】图

液体的平衡方程得

)(ZdzYdyXdxdp

)(/)(gdzadxggdzadxdp

对上式积分得 Cgzaxgp)(/

下面确定积分常数C，在坐标原点，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa。由此得

)(/gzaxgppa

在自由表面，p=pa，由上式可得

306.08.9/3//tangaxz

则 02.17306.0arctanarctan

下面求箱底的最大压强和最小压强。由图中可以看出，在A点压强最大，x=-1.5、z=-1.5； B点压强最小。x=1.5、z=-1.5。如果不考虑大气压强，则