第4章_线性系统的根轨迹法(2)

第4章 根 轨 迹 法

根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广

泛应用。本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基

础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。

4.1 根轨迹的基本概念

4.1.1 根轨迹概念

所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s平

面上变化的轨迹。

例如某控制系统的结构图如图4.1所示。

图4.1 控制系统

其开环传递函数为

()

K

(0.51)K

Gs

ss=

+

其闭环传递函数为

22

()

22K

s

ssKΦ

=

++

式中：K为系统开环增益。

于是闭环特征方程可写为

2

220ssk++=

对上式求解得闭环特征根为

1,2112sK=−±−

令开环增益K从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注

在s平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。箭头表

示随K值增加根轨迹的变化趋势。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解

析法。

画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法

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特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复

平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。又因为

根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通

过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切

的联系。

图4.2 控制系统根轨迹

4.1.2 根轨迹方程

对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简

单的低阶系统。而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方

法来实现的。

下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。

设控制系统如图4.3所示，其闭环传递函数为

第4章 根轨迹法

在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。

本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。

4.1 根轨迹法的基本概念

本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。

4.1.1 根轨迹的基本概念

根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益K）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s平面上移动的轨迹。根轨迹增益K是首1形式开环传递函数对应的系数。

在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。

控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为

)2()15.0()(*ssKssKsG

根轨迹增益KK2*。闭环传递函数为

*2*2)()()(KssKsRsCs

闭环特征方程为

02*2Kss

特征根为： *111K, *211K

当系统参数*K（或K）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。

表4-1 *K、K=0～时图4-1系统的特征根

*K K 1 2

0 0 0 -2

0.5 0.25 -0.3 -1.7

1 0.5 -1 -1

2 1 -1+j -1-j

5 2.5 -1+j2 -1-j2

   

1 已知系统的开环传递函数为21sssksHsG，

（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；

（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K的取值范围。

解：（1）根据绘制根轨迹的基本法则，可知：

① 实轴上的根轨迹区域为：（－∞，－2]和[0.－1]。

② 根轨迹总共有三条，其中二条将趋向无穷远处，其渐近线为：

a 与实轴的交点坐标（a，0j）

1321011mnzpnimjjia

b 与实轴的夹角：

1601180060318012180)12(0000kkkkmnkoa

③ 根轨迹的分离点

423.0,578.121210211)(121ssdssssddsdksssksssksGggg舍去

④ 根轨迹与虚轴的交点

0,6,0,20210211)(1gggkkjjjjsssksG对应的代入上式：令s

系统稳定的充要条件为所有的闭环极点都要复平面的左半平面，根据以上绘制根轨迹的第4点，系统稳定时K的取值范围为60K。

2 已知系统的开环传递函数为)3)(2()5()(*ssssKsG，

（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；

（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K*的取值范围。

（1）根据根轨迹的绘制法则，可知：

① 实轴上的根轨迹：3,5, 0,2 -1-2j② 渐近线：

22)12(02)5(320kaa

③ 分离点： 5131211dddd

用试探法可得 886.0d。 根轨迹如图所示。

（2）由于根轨迹的渐近线为虚轴，所以所有的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此只要K*>0，闭环系统就是稳定的。

实验六 线性系统的根轨迹

一、实验目的

1. 熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2. 利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。

3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、基础知识及MATLAB函数

根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。

假设系统的对象模型可以表示为

nnnnmmmmasbsasbsbsbsbKsKGsG11111210)()(

系统的闭环特征方程可以写成

0)(10sKG

对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。

1）绘制系统的根轨迹rlocus（）

MATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为：

rlocus(num,den) 开环增益k的范围自动设定。

rlocus(num,den,k) 开环增益k的范围人工设定。

rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。

r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。

[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益向量k。

其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的降幂排列。K为根轨迹增益，可设定增益范围。