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住房贷款数学建模

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住房贷款的数学模型

1 问题的提出

银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。

1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；

2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论

2 问题的分析

试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话，银行就可以从这笔本金中赚到利息. 因此，银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息. 现在的银行大多是要求客户每月还相等的金额，即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清. 可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式.

3 符号的约定

A : 客户向银行贷款的本金

B : 客户平均每期应还的本金

C : 客户应向银行还款的总额

D : 客户的利息负担总和

α: 客户向银行贷款的月利率

β: 客户向银行贷款的年利率

m : 贷款期

n : 客户总的还款期数

根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：

（1） mn12 （2） DAC （3） nBA

4 模型的建立与求解

4. 1等额本息还款模型的求解

（1）贷款期在1年以上：

先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.

因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，

即有关系式：12

设 月均还款总额是x （元）

ia（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额

ib (i=1…n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额.

根据上面的分析，有

第1期还款前欠银行的金额：)1(1Aa 第1期还款后欠银行的金额：xAxab)1(11

……

第i期还款前欠银行的金额：

)1()1()1()1( )1)()1()1(()1(21211xxxAxxAbaiiiiiii

第i期还款后欠银行的金额：xxxAxabiiii)1()1()1( 1

……

第n期还款前欠银行的金额：

)1()1()1()1( )1)()1()1()1(()1(213211xxxAxxxAbannnnnnnn

第n期还款后欠银行的金额：

xxxAxabnnnn)1()1()1(1＋

因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：

0nb，

即：0)1()1()1(1xxxAnn＋

解方程得：

1)1()1(nnAx

这就是月均还款总额的公式.

因此，客户总的还款总额就等于：

1)1()1(nnAnnxC

利息负担总和等于：

AAnACDnn1)1()1(

利用上面的公式，计算出的5年期和20年期都跟题目给出的数据吻合.

（2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：AC)1(

而利息负担总和为：AACD

4.2 等额本金还款模型的求解

银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.

（1）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：

AC)1('

而利息负担总和为：

AACD''

（2）假设贷款期在1年以上.

设客户第i期应付的金额为ix ( i = 1…. n ) (单位：元)

因此，客户第一期应付的金额为 ：)(1BABx

第二期应付的金额为 ：)2(2BABx

计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第40期，应该还银行3343. 68元，这才与每月的盈余相当. 而在第109期（若年利率不变），应该还银行2832. 18元，这时才与本息还款法的月均还款总额差不多. 而且对于每月3350元的收入，等额本息还款法还款会更合适.

……

那么，客户第n期应付的金额为 ：)(nBABxn

累计应付的还款总额为 ：

2)2(21'nAxxxCn

利息负担总和为 ：

)1(212)2(''nAAnAACD

以向银行贷款20万买房子，20年还款期为例. 比较两种还款方法（如下表）：

（以新规定，五年以上年利率为5. 58% 来计算 （单位：元））

贷款期限（年） 年利率（%） 还款总额 利息负担总和 月均还款总额

20（本息还款） 5. 94 342227. 49 142227.49 1425.95

20（本金还款） 5. 94 318305. 00 118305. 00 1819.21（第1期）

比较 ------ 23922.49 23922.49 ------

虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重. 而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大，所以，银行一般都推荐等额本金还款法.

5.其他还款方式 银行推出不同的房贷方式，只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。虽然理论上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。

等额本金还款:适合目前收入较高的人群。借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。

等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，

固定利率:进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮动利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相应地增加。在贷款合同签订时，即设定好固定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，但风险较大。

按期付息还本:适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归还制订不同还款时间单位。即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。实际上，就是借款人按照不同财务状况，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。

还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。

六、模型的优缺点与改进方向

1、模型的优点：

（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。

（2）本文建立离的模型有相应的软件支持，推光容易。

（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。

（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。

（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。

（6）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。

2、模型缺点：

（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。

（2）利率的精确度不同可能造成一定误差

（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来

3、模型的改进

（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素

（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响

（3）对利率有更准确的计算方法

（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平

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数学建模房贷还款问题

数学建模房贷还款问题

数学建模房贷还款问题

房贷是大部分人买房的首选方式，但对于许多人来说，如何合理规划房贷还款方式并确保在还款期限内完成还款是一个挑战。数学建模可以为我们提供一个优化的解决方案。本文将探讨数学建模在房贷还款问题中的应用，帮助我们了解如何有效管理和规划房贷还款。

一、问题描述

房贷还款问题可以被视为一种贷款利息问题。假设我们购买了一套房子，假设贷款金额为P，贷款期限为n年，年利率为r。我们需要确定每月的还款金额，以便在贷款期限内完成还款。

二、贷款本金

首先，我们需要计算每月的贷款本金。贷款本金是贷款金额除以还款期限的总月数。例如，如果贷款金额为100万，还款期限为20年，则贷款本金为100万除以240个月，即4166.67元/月。

三、贷款利息

其次，我们需要计算每月的贷款利息。贷款利息是剩余贷款金额乘以月利率。在每个月的还款后，剩余贷款金额会相应减少，因此每月的贷款利息也会随之变化。例如，如果月利率为0.5%，剩余贷款金额为80万元，则每月的贷款利息为80万元乘以0.5%，即4000元。

四、月还款额 最后，我们需要计算每月的还款金额。每月的还款金额是贷款本金加上贷款利息。例如，在上述例子中，每月的还款金额为4166.67元加上4000元，即8166.67元。

五、优化策略

数学建模可以帮助我们优化房贷还款策略，以减少还款利息的支出，从而实现更快的还款。下面是一些优化策略的示例：

1. 提前还款：在贷款期限内提前偿还部分或全部贷款本金，可以减少剩余贷款金额，从而减少每月的贷款利息支出。然而，有时提前还款可能会产生违约金或手续费等额外费用，因此需要综合考虑成本和收益。

2. 增加还款额：如果财务条件允许，可以适当增加每月的还款额。通过提高还款额，可以更快地偿还贷款本金，并减少贷款利息支出。

3. 变更还款周期：可以选择较短的还款周期，如每两周还款一次。较短的还款周期可以有效减少贷款利息支出。

4. 利率优化：如果贷款利率有一定的浮动范围，可以关注市场利率变动，并在利率较低时进行贷款利率重新协商。较低的贷款利率可以显著减少还款利息支出。

住房贷款的数学模型

住房贷款的数学模型

第三期（2004年12月） 韶关学院学生数学建模论文集

No.3

161 住房贷款的数学模型

黄惠玲

数学系 02级信息技术教育（1）班

[摘要]:本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，推导出月均还款总额、还款总额和利息负担总和的公式.

银行年利率下降后，我们以5年期和20年期的贷款为例，做一次比较. 发现利率下降后还款总额也随之减少，而且减少了很多. 这样大大刺激了人们买房，而且也使银行收益增加了,就以贷款44万，23年还款期为例. 若收入只有3350元. 如果选等额本金还款法，还款总额虽然比较少，但开头的几期的还款负担会很重，因此，对收入不是很高的，应该选等额本息还款法为还款方法.

相对银行来说，贷款公司好像要便宜一点，但算一下，贷款公司要比银行还更多的金额，所以，银行的等额本息还款法更适合.

关键词：贷款;利率;月均还款总额

1 问题的提出

今年年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题. 个人住房贷款利率如附表1所示. 借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息. 附表2中列出了在不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和. 试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的.

近来经国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房. 个人住房贷款年利率最高水平降为5. 58%，并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下（含五年）为年利率5. 31%，五年以上为年利率5. 58%

请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与原附表2中的同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少.

张先生打算向银行贷款44万人民币买房子，分23年还清，在向银行咨询的时候，银行还提到另一种还款方法：等额本金还款法. 试给出以这种还款方法的月还款额，还款总额和利息负担总和. 并且比较一下，哪种还贷方法更省钱？如果张先生每月有3350元的盈余，你认为他应该选择那个还款方法？

住房贷款问题探究(1)———数学建模

住房贷款问题探究(1)———数学建模

住房贷款问题探究

一、摘要

随着人们的生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的标准发展。为此，住房贷款问题也成为众多购房者关心问题。本文针对银行等额还贷及相关问题进行探究。

问题（1）实际是一个数学问题，我们通过不完全归纳法得出等额还贷公式：

A= P(1+r)12nr/[(1+r)12n-1]

针对问题（2），将有关数据代入问题（1）所得出的公式即得到解决；问题（3），我们查阅了有关资料，得出了这对年轻夫妇的月支出情况（见表1），进而得到他们每月的开支范围。为了更方便的说明问题，我们约定月余额（D）=月总收入—月正常开支。判断他们能否买房只需比较定月余额（D）与月还贷额（A）的大小情况；对于问题（4）我们首先根据目前的消费水平及他们的收入情况，计算出他们能够买房。并且随着时间的推移，他们的工资每年都有8%的增长，就考虑可以提前还贷的问题。对此，我们首先假设他们一直按照等额还贷方式进行还贷，得出还贷年限；然后假设进行提前还贷。再比较这两种情况实际所还的本利之和，得出最优还贷方案。

关键词：等额还贷 贷款年限 月利率 提前还贷

二、问题重述

住房贷款问题是众多购房者关心问题。在购房贷款过程中，现在一般银行现在一般都采用等额还贷的方法。在这一还贷方式的基础之上，请解决如下几个问题：

（1） 若贷款总额为P，月利率为r,贷款年限为n,每月还贷金额为A,请推导出等额还贷公式.

（2） 有一对年轻夫妇,计划贷款15万元,贷款年限为15年,月利率为0.01,则每月需还款多少元?

（3） 如果现在他们的年收入为3500元,在当前长沙的物价水平下,除去生活开支,他们能否买房? （4） 预计将来收入每年会有8%的增长,在目前的物价水平和贷款利率保持不变的情况下,你对他们的投资及贷款买房有什么样的建议?(请参考银行各期贷款利率)

三 、问题分析

根据题中购房贷款出现的等额还贷这一概念，我们从消费者的角度考虑着。如何让买房者受益更多？由该问题我们从所给的四个分问题入手，先由给出的参数通过构建等量关系得到了我们所需要的目标等式方程。然后再通过所给出的实际情况中的参数的具体数值得出了具体的目标数值。这实际上只是众多的情况中的一种具体数值而已，所以就需要我们在实际给出的实际情况中通过控制某些变量与常量的关系，推出我们的计算是否满足题目中给出的实际情况，最终到底行还是不行、效果好还是不好，这样的话我们就必须对其购房贷款提出合理的建议。

数学建模例题解析

数学建模例题解析

1.贷款问题

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？

(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；

(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答：

(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。

利用式子(元)，即每个月还款1574.70元，共还款(元)，共计付利息177928.00元。

(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为，

利用公式：，

所以，(元)

(3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元)

(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。

对于条件(ii)佣金数：

分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为

即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。

2.冷却定律与破案

按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。