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线性规划的基本性质

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1 一．判断正误

1．线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。

2．在线性规划模型的标准型中,bj （j=1，2，…m）一定是非负的。

3．线性规划一般模型中的变量不一定是非负的。

4．用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找

出最优解。

5．一般情况下，松弛变量和多余变量的目标函数系数为零。

二．简答题

1．简述线性规划问题数学模型的组成部分及其特征。

2．简述建立线性规划问题数学模型的步骤。

3．简述化一般线性规划模型为标准型的方法。

三．解答题

1．判断下列模型是否为线性规划模型 （其中a，b，c均为常数）

（1） min Z =nj1cjxj （2） max Z =nj1 cjxj

nj1aijxj ≤ bi nj1 aijxj ≤ bi

xj ≥0 x5，…，xn≥0

i=1，2，… ，m；j=1，2，…，n. x1 ~ x4无约束

i=1，2，… ，m；j=1，2，…，n.

（3） min Z =mi1ai2xi+nj1bj2yj （4） max Z= mi1 ci2xi -nj1 aj2yj

xi + yj≤cij2 xi（ai-yj）≤bij

i=1，2，… ，m；j=1，2，…，n. i=1，2，… ，m；j=1，2，…，n.

2．将下列线性规划模型化为标准型。

（1）min Z =2x1+x2-2x3 （2） max Z=2x1+x2+3x3+x4

-x1+x2+x3 =4 x1 + x2 + x3+ x4≤7

-x1+x2-x3 ≤6 2x1 -3x2 +5x3 =-8

x1 ≤0，x2 ≥0, x3无约束 x1 -2x3+2x4≥1

x1 ，x3≥0， x2≤0，x4无约束

（3）min Z =3x1 -4x2 +2x3 -5x4

4x1 -x2 +2x3 -x4 ≥2

2 x1 +x2 +3x3 +4x4≤20 x1≤0，x2≥0， x3≥0，x4无约束

（4） max Z= minj11cijxij

nj1xij ≤ai

mi1xij = bj xij ≥ 0,（i=1，2，… ，m；j=1，2，…，n）

3．用图解法解下列线性规划问题。

（1） max Z =10x1+5x2 （2） min Z =-x1 +2x2

3x1 +4x2 ≤9 x1 +x2≤5

5x1 +2x2 ≤8 2x1 +3x2≥6

x1 ，x2 ≥0 -x1 +x2≤3

x1 ，x2 ≥0

（3） max Z = x1 +2x2 （4） min Z = x1 +3x2

-x1 +2x2 ≤4 x1 +x2≤1

x1 ，x2 ≥0 x1 +2x2≥4

x2 ≥0

4．给定线性规划问题

max Z =2x1 +3x2

x1 + x2 ≤2

4x1 +6x2≤9 x1 ，x2 ≥0

（1）指出可行域上的两个最优顶点及最优值。

（2）写出全部最优解的集合。

5．建立下列问题的线性规划模型并化为标准型

（1）、某工厂生产A1、A2两种产品，有关的信息由下表给出，建立制定最优生产计划的模型（利润最大）。

每件产品所用资源

定额aij 产品Aj 资源上限bi

A1 A2

资

源

i 资源1 9 4 3600

资源2 4 5 2000

资源3 3 10 3000

利润Cj 70 120

3 （2）、某厂车间有B1、B2两个工段，可生产A1、A2和A3三种产品。各工段开工一天的产量和成本以及合同对三种产品的最低需求量由下表给出。建立求使成本最低并能满足需求的开工计划的模型。

生产定额（吨/天） 工段Bj 合同每周最低需

求量（吨） B1 B2

产

品

Ai A1 1 1 5

A2 3 1 9

A3 1 3 9

成本（元/天） 1000 2000

（3）、假定市场上有i种食品，单位售价是ci，有m种营养成分。为达到营养平衡，每人每天必须摄取不少于bj个单位的第j种营养成分。第i种食品的每个单位含有aij个单位的第j种营养，建立确定最佳饮食水平的模型（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。

（4）、某工厂生产A、B两种产品，已知生产A每公斤要用煤9吨、电4度、劳动力3个；生产B每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。又知每公斤A、B的利润分别为7万元和12万元。现在该工厂只有煤360吨、电200度、劳动力300个。问在这种情况下，各生产A、B多少公斤，才能获最大利润，请建立模型。

（5）、某工厂生产A、B两种产品，每公斤的产值分别为600元和400元。又知每生产1公斤A需要电2度、煤4吨；生产1公斤B需要电3度、煤2吨，该厂的电力供应不超过100度，煤最多只有120吨，问如何生产以取得最大产值？建立模型，用图解法求解。

4

答案与提示

一．1．×；2．√；3．√；4．√；5．√.

二．略

三．1．(1) 否是；（2）否是；（3）否是；（4）否是；（5）否是；

2．略

3．（1）（1，3/2），Z=35/2；（2）（5，0），Z=-5；（3）无限解；（4）（-2，3），Z=7；

4．（3/2，1/2），（0，3/2）

X={（x1，x2）|(x1,x2)=α(0,3/2)+(1-α)(3/2,1/2),0≤α≤1}

5．(1) 提示：设产品A1、A2的产量分别为x1、x2个单位，max Z =70 x1+120x2

（2）提示：设工段B1、B2各开工x1、x2天，min Z =1000 x1+2000x2

（3）提示：设每天购买种i食品xi个单位，min Z = mi1cix2

（4）提示：设A、B各生产x1、x2公斤，max Z =7 x1+12x2

（5）提示：设A、B各生产x1、x2公斤，max Z =600 x1+400x2，

（x1、x2）=（20，20），产值最大为20000元。

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基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划

不等式(二)

一.基本不等式(abba2一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定

三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等)

积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系)

1.设414,4xxyx的最小值为 ．

2.设41,4xxyx的最小值为 ．

3.1,1ba,则abbaloglog的最小为 ．

4.下列函数中，最小值为22的是 （ ）

A．xxy2 B．)0(sin2sinxxxy

C．xxeey2

D．2log2log2xxy

5.下列各函数中，最小值为2的是 ( )

A．y=x＋x1 B．y=

sinx＋xsin1,x(0,2)

C．y=2322xx

D．y=xx1 总结:常见倒数关系

xxaa与

abbaloglog与

6.若lgx＋lgy＝2，则x1＋y1的最小值为( )

A．201 B．51 C．21

D．2

7.(10.重庆)已知0t,则函数ttty142的最小值为 ．

8.若1x,则22222xxxy有( )

A.最小1 B.最大1 C.最大1 D.最小1

9.已知),0,0(1yxyx则yx21的最小 ．

(09.天津)设0,0ba,若3是a3与b3的等比中项,则ba11的最小值为( )

A．8 B．4 C．1

D．41

已知312,0,0yxyx,则yx11的最小 ．

基本不等式与线性规划 2

基本不等式与线性规划 2

不等式(二)

一.基本不等式(abba2一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定

三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等)

积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系)

1.设414,4xxyx的最小值为 ．

2.设41,4xxyx的最小值为 ．

3.1,1ba,则abbaloglog的最小为 ．

4.下列函数中，最小值为22的是 （ ）

A．xxy2 B．)0(sin2sinxxxy

C．xxeey2 D．2log2log2xxy

5.下列各函数中，最小值为2的是 ( )

A．y=x＋x1 B．y= sinx＋xsin1,x(0,2)

C．y=2322xx D．y=xx1

6.若lgx＋lgy＝2，则x1＋y1的最小值为( )

A．201 B．51 C．21 D．2

7.(10.重庆)已知0t,则函数ttty142的最小值为 ．

8.若1x,则22222xxxy有( )

A.最小1 B.最大1 C.最大1 D.最小1

9.已知),0,0(1yxyx则yx21的最小 ．

(09.天津)设0,0ba,若3是a3与b3的等比中项,则ba11的最小值为( )

A．8 B．4 C．1 D．41 总结:常见倒数关系

xxaa与

abbaloglog与

已知312,0,0yxyx,则yx11的最小 ．

线性规划

线性规划

实验报告

开课单位： 经济与管理学院实训中心 实验时间：2011年5月15日

所在系 人力资源管理 实验

班级 人力0901 姓名 赵萍 学号 10A60090139

实验课程

名

称 《WinQSB软件应用》 实验项目名 称 WinQSB软件应用——线性规划 指导

教师 郝海 成绩

实

验

目

的

及

要

求 系统学习和掌握通过运用WinQSB软件来解决运筹学当中的线性规划问题。要求掌握线性规划模型的三个要素，熟悉将一般线性规划问题转化为标准型；熟悉WinQSB软件及WORD软件的相关操作。

实

验

内

容 求解线性规划问题：

Maxz=2x1-x2+x3

03,2,120321103221603213xxxxxxxxxxxx

实

验

步

骤 （1）启动和模型相应的线性规划（LP）和整数规划（ILP）程序。点击开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming，进入线性规划程序工作界面。

（2）点击File→New Problem，建立新问题“线性规划”。

（3）输入数据。

（4）在WinQSB软件下求出实验结果并将所得结果表格进行截图。

实

验

所

需

设

备 计算机、WinQSB软件、实验案例资料

实

验

结

论

实

验

收

获

通过此次的运筹上机实验，使我学习到了如何使用WinQSB软件来解决运筹学中的线性规划问题，使我对线性规划问题有了更深的了解，也了解到如何使用截图软件进行截图，体会到WinQSB是一个很有用的软件，要学会活学活用，理论与实践相结合。

教

师

评

语

签名：

年 月 日

不等式线性规划基本不等式

不等式线性规划基本不等式

1 不等式

知识归纳：

1、实数大小比较的基本事实：

(1) a>b _______; (2) a=b_______ ; (3) a

2、不等式的基本性质：

(1）对称性a>b b___a; （2）传递性：a>b,b>ca____c;

（3）a>b, a+c____b+c; （4）a>b,c>0ac___bc;

（5）a>b,c<0ac___bc; （6）a>b>0nnb___a(2n,Nn);

（7）a>b>0nnb___a(2n,Nn) （8）a>b,c>da+c____b+d;

(9) a>b>0,c>d>0ac____bd; (10)a>b,ab>0a1___b1.

3、含有绝对值的不等式的解法：

)0a(ax__________ )0a(ax___________

4、分式不等式：

课堂基础训练：

1、设dcbaRdcba,.,,,且，且下列结论中正确的是( )

A．dbca B．dbca C．bdac D．cbda

2、如果0,0ab，那么，下列不等式中正确的是（ ）

（A）11ab （B）ab （C）22ab （D）||||ab

3、若,011ba则下列不等式①abba；②||||ba；③ba；

④2baab中，正确的不等式有（

）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

8、不等式112x的解集是（ ）

A．(,2) B．(2,) C．(0,2) D．0,(2,)

9、不等式311x的解集为（ ）