力学问题中的轻杆和轻绳

力学问题中的轻杆和轻绳

力学问题中常涉及到“轻杆”、“轻绳”模型，特别是在中学物理竞赛题中，则更是屡见不鲜．轻

杆、轻绳是由各种实际情况中的杆和绳抽象出来的理想物理模型，作为这一模型，一般情况下，

“轻”往往是（相对于其它物体来说）指其质量可以忽略，所受重力可以忽略，而杆和绳则往往是

其形体在同一直线上且其长度是不发生变化的．由此导致这一模型在运动学和静力学中都有其特

有的规律．本文拟对此规律及其应用、特别是在解中学物理竞赛题中的应用作一些简单的探讨．

一、杆、绳上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值相等

这是杆、绳在运动中的一个重要特征，其原因是由于杆、绳的长度不变，即由所考察的两点

间的距离不变而得．如图1所示，以v

A、v

B分别表示杆（或绳）上A、B两点的速度，v

Al、v

Bl

分别表示v

A和v

B沿杆（或绳）方向的投影，则v

Al表示A点相对于B点相互远离的速度，而v

Bl

则表示B点相对于A点相互靠近的速度，显然，若此两者相等，则A、B间的距离不变，即表示

此杆（或绳）的长度不变．

1．如图2所示，长为l，不可伸长的棒A、B的两端A和B分别沿直角（顶点为C）的两边滑动，

B端以速度v做匀速运动，以α表示∠CBA，求：

（1）棒A端的运动速度；

（2）棒的中点D运动的加速度．

解 （1）棒A端沿AC方向运动，其速度vA满足 v

Acos（90°－α）＝vcosα，

所以 v

A＝vcotα．

（2）由于D点为棒AB的中点，故有

＝（1/2）AB＝（1/2）l，

可见D点的运动轨迹为一段圆弧（圆心为C，半径为（1/2）l），则D点的运动速度v

D沿

此圆弧的切线方向，如图3所示．

以β表示v

D与AB间的夹角，则有 vcosα＝v

Dcosβ，

由于 β＋（π－2α）＝π/2，即 β＝2α－π/2，

则 v

D＝vcosα/sin2α＝v/2sinα， v

D沿CB方向的分量为 v

Dx＝v

Dcos（α－β）=vDsinα＝v/2．

由于v

Dx为恒量（v/2），说明D点沿CB方向的运动为匀速运动，其加速度为零，则D

点的加速度A

D必沿AC方向．而A

D沿DC方向的投影即为D点做圆周运动的向心加速度，

故有 A

Dcos（（π/2）－α）＝v

D2/（l/2），所以 A

D＝v2/2lsin3α．

引申：杆、绳上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值之差为其长度的变化率．

当杆或绳的长度可以变化时（如一条橡皮筋被拉长或者是缩短时），则此杆或绳的两端

的速度沿其自身方向的投影值将不相等，这两个投影值之差为其长度的变化率，结合图1

可见，这一变化率应为（v

Bl-v

Al）．

2．两只小环O和O′分别套在静止不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子一端系

在A′点上，并穿过环O′，另一端系在环O上，如图4所示．若环O′以恒定速度v'向下

运动，求当∠AOO′＝α时，环O的速度v＝?

解 以OO'间的绳为研究对象，其两端的速度分别为v和v′，这两个速度分别沿BA方向和A′B′

方向，其沿OO′方向的投影值之差为v

l＝vcosα－（－v'cosα）＝vcosα＋v'′cosα，由于v和v′

沿OO'方向的投影都是导致O与O′两点互相靠近，故上述的（vcosα＋v′cosα）表示的是绳

OO′长度缩短的变化率，另一方面，由于环O'向下运动的速度为v′，则单位时间内由环

O'中抽走的OO′绳段的长度数值应与v′相等，即OO′间绳的长度的变化率应为v′，故有

vcosα＋v′cosα＝v′， v＝（（1－cosα）/cosα）v′．

二、当外力只作用于轻杆（或轻绳）的两端时，则作用于一端的外力的合力必与作用于另一

端的外力的合力大小相等、方向相反，且此两合外力的作用线为由此杆（或绳）所确定的直线

3．如图5所示，一根均匀细杆AB，上端A处用绞链与天花板相连，下端由绞链与另一均匀细

杆BC相连，两杆长度相等，且被限制在图示的竖直平面内运动，不计绞链处的摩擦，当在

C端施加一个适当的外力（在纸面所表示的竖直平面内）时，可使两杆平衡在图示位置处，

即两杆间夹角为90°，且C端处在A点的正下方，试说明：不管两杆的质量如何，此外力只

可能在哪个方向范围内？只需要说明道理而不要求计算．

解．以m

AB和m

BC分别表示杆AB和BC的质量，则若当m

AB>>m

BC时，BC杆的质量可以忽略不

计，则作用于BC杆C端的外力F必沿由C指向B的方向（即CB方向）。（F不可能沿

BC方向，因为若沿BC方向，则AB杆将绕A点顺时针方向转动而不能平衡）

若当m

BC>>m

AB时，则AB杆的质量可以忽略不计，故AB杆作用于BC杆的力F

A必沿

BA方向（F

A不能沿AB方向，否则BC杆将绕C点沿顺时针方向转动），而BC杆的重力

G

BC作用于BC之中点，G

BC与F

A的作用线交于AB的中点D，如图6所示，此时杆BC受

三力作用（G

BC、F

A和作用于C端的外力F）而平衡，由杆BC的平衡条件知，此三力必交

汇于一点，故知F应沿CD方向．

以上讨论的是两种临界情况，由于实际情况应为0＜m

AB/m

BC＜∞，故满足题述要求的作

用于C端处的外力应介于上述两种临界情况之间，即作用于C端的外力的方向应在图6中

的∠DCB范围之内，且这一区间为一开区间．

4．如图7所示的屋架由多根无重杆连接而成，其中支点8可无摩擦地水平滑动，点9、2、5、7、

8位于同一水平线上，各点间沿水平方向和竖直方向的距离标示如图，点3和点1各承受有

压力P/2和P，求连接点3和点4的杆的内力．

解 由于点8可水平无摩擦地滑动，则外界对点8的作用力N

8必沿竖直向上的方向，由于整个

屋架可绕点9转动，则平衡条件为 P·l＋（P/2）·2l＝N

8·4l，所以 N

8＝P/2．

设想隔离出由点5、6、7、8组成的部分，由于杆15、47、36互相平行，故此三杆作用

于这一部分的合力F

143必与此三杆方向平行，即沿与水平成角45°方向，再以T

25表示杆25

对这部分的作用力（即为杆25的内力，它必沿水平方向）．则这部分相当于受三力（F

143、

T

25、N

8）作用而平衡，此三力的合力应为零，由于N

8的方向竖直向上，F

143只能沿与图中

杆47平行的方向，则T

25只可能沿图中水平向左的方向（如水平向右，则此三力不能平衡），

如图8所示，由此易得 T

25＝N

8＝P/2，

即杆25中的内力为张力，其大小为P/2．

同上解法，设想将点9隔离出来，便可得到杆29中的内力T

29为张力，其大小为P．

取点2为研究对象，由其水平方向上的受力平衡（以T

24表示杆24的内力）有

T

29＝T

25＋T

24cos45°，

所以 T

24＝（T

29－T

25）/cos45°＝（2/2）P．

由于T

24沿杆25方向的投影由2指向5，可见杆24对点2的作用力为拉力，即杆24的内力为张力，其大小为2P/2．

取点4为研究对象，由其在垂直于杆74方向上的合力为零（以T

34表示杆34的内力）

的条件有 T

24＝T

34cos45°，所以 T

34＝T

24/cos45°＝P．

杆34对点4的作用力为拉力，即得杆34的内力为张力，其大小为P．

引申：由轻杆（或轻绳）相连的两物体在同一过程中分别受到同一杆（或绳）对它们的冲量

必沿杆（或绳）本身的方向，且此两冲量的大小相等，方向相反．

由于在任何时刻轻杆（或轻绳）两端的物体作用于此杆（或绳）的力应大小相等方向相

反，以F

1和F

2分别表示此两力，则对于任一小段时间Δt均有F

1Δt=-F

2Δt，进而有

ΣF

1Δt=-ΣF

2Δt，这就是上面的结论．

5．质量分别为m

1、m

2和m

3的三质点A、B和C，位于光滑水平桌面上，用已拉直的、不可伸

长的柔软轻绳AB和BC连结，∠ABC＝π-α，α为一锐角，如图9所示．今有一冲量为I的

冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度．

解 设在外力冲量I作用的瞬间内，AB和BC两条细绳内出现的张力对其两端的质点作用的冲

量大小分别为I

1和I

2，又以v表示质点A起动时的速度，显然v的方向应沿由A指向B的

方向，对于质点A则有 I

1＝m

1v， ①

则质点B运动的速度沿AB方向的分量也为v，对于质点B则有 I

2cosα－I

1＝m

2v． ②

又设质点B运动的速度沿BC方向的分量为v′，则有 I

2－I

1cosα＝m

2v'， ③

v′也就是质点C的起动速度，于是对于质点C有 I－I

2＝m

3v'， ④

联立①、②、③、④各式可解得质点A开始运动时的速度为

v＝Im

2cosα/m

2（m

1＋m

2＋m

3）＋m

1m

3sin2α．