通用版高考数学一轮复习1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词讲义文0506382.doc

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础知识批注——理解深一点

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．

①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；

②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；

③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷

❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.

❷“命题的否定”与“否命题”的区别

(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．

(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．

(2)命题真值表：

p q p∧q p∨q 綈p

真 真 真 真 假

假 真 假 真 真

真 假 假 真 假

假 假 假 假 真

命题真假的判断口诀

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.

2．全称量词与存在量词

量词名称 常见量词 表示符号

全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀

存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃

3.全称命题与特称命题

命题名称 命题结构 命题简记

全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x)

特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0)

4．全称命题与特称命题的否定

命题 命题的否定

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)

∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x)

二、常用结论汇总——规律多一点

含逻辑联结词命题真假的等价关系

(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．

(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．

(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．

(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．

三、基础小题强化——功底牢一点

一判一判对的打“√”，错的打

(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )

(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )

(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )

(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．( )

(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

(二)选一选 1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是( )

A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0

解析：选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．

2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若1x>1y，则x

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

解析：选C 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，故真命题为②③.

3．下列四个命题中的真命题为( )

A．∃x0∈Z,1<4x0<3 B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

解析：选D 选项A中，14

(三)填一填

4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

5．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为x x>－ba，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a

解析：由题知命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“綈p”是真命题．

答案：綈p

考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假

[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．p∧綈q

C．綈p∧q D．綈p∧綈q

(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )

A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q

C．p∧q D．(綈p)∨q

[解析] (1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．

(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧

(綈q)为真命题，故选A.

[答案] (1)B (2)A

[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

[题组训练]

1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B 充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．

2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是( ) A．p∨(綈q) B．p∨q

C．p∧q D．(綈p)∧(綈q)

解析：选B 若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．

考点二 全称命题与特称命题

[典例] (1)命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是( )

A．∀x∈R，ex－x－1≤0

B．∀x∈R，ex－x－1≥0

C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0

D．∃x0∈R，ex0－x0－1<0

(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是( )

A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0

B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x

C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x

D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x

[解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.

(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.

[答案] (1)D (2)C

[解题技法]

1．全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称 真假 判断方法一 判断方法二

全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假

假 存在一个对象使命题假 否定为真

特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假

假 所有对象使命题假 否定为真

2.全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

[题组训练]

1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2

C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20

解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．

2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

解析：选C 当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.

考点三 根据命题的真假求参数的取值范围

[典例] 已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解] 依题意知p，q均为假命题，

当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2

因此由p，q均为假命题得{ m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

[变透练清]

1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；

当q是真命题时，有－2