教师公开招聘考试小学数学(证明题)模拟试卷3(题后含答案及解析)

教师公开招聘考试小学数学（证明题）模拟试卷3 (题后含答案及解析)

题型有：1. 证明题

证明题

如图所示，在三棱锥P—ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

1． 求证：AB∥GH；

正确答案：由已知得，EF、DC分别为△PAB和△QAB的中位线，∴EF∥A

B．DC∥AB，于是EF∥DC，又EF不在平面PDC内，DC在平面PDC内，∴EF∥平面PDC；又∵EF在平面QEF内且平面QEF∩平面PDC=GH,∴EF∥GH；而EF∥AB，所以AB∥GH．

2． 求二面角D—GH—E的余弦值．

正确答案：∵AQ=2BD，且D为AQ的中点，∴△ABQ为直角三角形，AB⊥BQ，又PB⊥平面ABC，则PB⊥AB，PB∩BQ=B，PB在平面PBQ内，BQ在平面PBQ内，所以AB⊥平面PBQ；由(Ⅰ)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ；于是GH⊥FH，GH⊥HC，∠FHC即为二面角D—GH—E的平面角；由已知得∠BFH=∠BCH，且tan∠BCH=2，∠FHC=2π－－2∠BCH=－2∠BCH，∴cos∠FHC=cos(－2∠BCH)=－sin2∠BCH=.

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB△DCB，EA=EB=AB=1，PA=．连接CE并延长交AD于F．

3． 求证：AD⊥平面CFG；

正确答案：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA=EB=ED=AB=1，故∠BAD=，∠ABE=∠AEB=，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=，所以∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD，又因为PG=GD，所以FG∥PA．又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG．

4． 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

正确答案：以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，，D(0，√3，0)，，设平面BCP的法向量=(1，y1，z1)，则设平面DCP的法向量=(1，y2，z2)，则即=(1，√2，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ=

如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=√2．

5． 证明：A1C⊥平面BB1D1D；

正确答案：证法－：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB=AA1=√2．∴OA=OB=OA1=1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．由，易得B1(－1，1，1)．∵=(－1，0，－1)，(0，－2，0)，=(－1，0，1)，∴=0．∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1

D．证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥B

D．又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1

C．又∵OA1是AC的中垂线．∴A1A=A1C=√2，且AC=2，∴AC2=AA12+A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1

C．又BB1∥AA1．∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1

D．

6． 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．

正确答案：设平面OCB1的法向量=(x，y，z)，∵=(－1，0，0)，=(－1，1，1)，．取n=(0，1，－1)，由(Ⅰ)知，=(－1，0，－1)是平面BB1D1D的法向量，∴cosθ=．又∵0≤θ≤.

如图，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．

7． 证明：AC⊥B1D；

正确答案：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．从而=(－t，3，－3)，=(t，1，0)，=(－t，3，0)．因为AC⊥BD，所以=－t2+3+0=0．解得t=√3或t=－√3(舍去)．于是=(－ √3，3，－3)，=(√3，1，0)．因为=－3+3+0=0，所以，即AC⊥B1

D．

8． 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

正确答案：由(Ⅰ)知，=(0，3，3)，=(√3，1，0)，=(0，1，0)．设=(x，y，z)是平面ACD1的－个法向量，则．令x=1，则=(1，－√3，√3)．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sin θ=即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.

9． 求证：四边形OCED为菱形；

正确答案：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO=DO=BO，∴四边形OCED为菱形．

10． 连接AE、BE，AE与BE相等吗?请说明理由．

正确答案：AE=BE．理由：∵四边形OCED为菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，∠BCE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE=BE．

已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

11． 如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；

正确答案：∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥B

D．

12． 如图2，若AC⊥BD，垂足为F，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

正确答案：作直径DE，连接CE、BE．∵DE是直径，∴∠DCE=∠DBE=90°，∴EB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BE∥AC，∴弧CE=弧AB，∴CE=A

B．根据勾股定理，得CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20，∵DE=2√5,∴OD=√5，即⊙O的半径为√5.

已知函数f(x)=a(1—2 |x—|)，a为常数且a＞0.

13． 证明：函数f(x)的图像关于直线x=对称；

正确答案：因为f(+x)=a(1—2∣x∣)，f(－x)=a(1—2∣x∣)，有f，所以函数

f(x)的图像关于直线x=对称．

14． 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；

正确答案：当0＜a＜时，有f(f(x))=所以f(f(x))=x只有－个解x=0，又f(0)=0，故0不是二阶周期点．当a=时，有f(f(x))=所以f(f(x))=x有解集，又当x≤时，f(x)=x故中的所有点都不是二阶周期点．当a＞时，有f(f(x))=．所以f(f(x))=x有四个解0，，又f(0)=0，，故只有是f(x)的二阶周期点．综上所述，所求a的取值范围为a＞.

15． 对于(Ⅱ)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．

正确答案：由(II)得x1=，因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x3=或x3=．当x3=时，S(a)=，求导得：S＇(a)=所以当a∈时，S(a)单调递增，当a∈时S(a)单调递减；当x3=时，S(a)=，求导得：S＇(a)=，因a＞，从而有S＇(a)=＞0，所以当a∈(，+∞)时S(a)单调递增.

给出定义，若－个四边形中存在相邻两边的平方和等于－条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

16． 在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

正确答案：正方形、矩形、直角梯形均可．

17． 如图，将／XABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

正确答案：①∵△ABC≌△DBE．∴BC—BE，∵∠CBE=60°∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC,AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．

18． (Ⅰ)已知函数f(x)=x3－x，其图象记为曲线

C．(i)求函数f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另－点P2(x2，f(x2))．曲线C与其在点P2处的切线交于另－点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；(Ⅱ)对于－般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，请给出类似于(i)(ii)的正确命题，并予以证明．

正确答案：(Ⅰ)由f(x)=x3－x得f＇(x)=3x2一1=3当x∈时，f＇(x)＞0；当

x∈时，f＇(x)＜0．因此f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(ii)曲线C在点P1处的切线方程y=(3x12－1)(x－x1)+x13－x1．即y=(3x12一1)x－2x13．由得x－x=(3x12－1)x－2x13，即(x一x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=－2x1，故x2=一2x1．进而有S1=∫1-2(x3－3x12x+2x13)dx=∣(x12x2+2x13x)∣x1-2x1∣=x14．用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=一2x2和S2=x24．又∵x2=－2x1≠0，所以S2=,x14≠0，因此有.(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为曲线C＇，类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为：若对于任意不等于－的实数x1，曲线C＇与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于点P2(x2，g(x2))，曲线C＇与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C＇所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设g(x)=ax3+hx，且x1≠0．类似(Ⅰ)(ii)的计算可得S1=ax14，S2=ax14≠0.故.