教师公开招聘考试小学数学(计算题)模拟试卷6(题后含答案及解析)

教师公开招聘考试小学数学（计算题）模拟试卷6 (题后含答案及解析)

题型有：1. 计算题

计算题

P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：=1(a＞0，b＞0)上－点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为

1． 求双曲线的离心率；

正确答案：点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线=1上，有=1．由题意又由，可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，则e=.

2． 过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上－点，满足，求λ的值．

正确答案：联立，得4x2－10cx+35b2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x3，y3)，又因为C为双曲线上一点，即x32－5y32=5b2，有(λx1+x2)2－5(λy1+y2)2=5b2．化简得：λ2(x12－5y12)+(x22－5y22)+2λ(x1x2－5y1y2)=5b2，又因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x12－5y12=5b2，x22－5y22=5b2．由①式又由x1x2－5y1y2=x1x2－5(x1－c)(x2－c)=－4x1x2+5c(x1+x2)－5c2=10b2得：λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=－4．

已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y－4)2=1的圆心为点M．

3． 求点M到抛物线C1的准线的距离；

正确答案：由题意可知，抛物线的准线方程为：y=－，所以圆心M(0，4)到准线的距离是.

4． 已知点P是抛物线C1上－点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

正确答案：设P(x0，x02)，A(x1，x12)，B(x2，x22)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．设过点P的圆C2的切线方程为y－x02=k(x－x0)，即y=kx－kx0+x02①．则=1，即(x02－1)k2+2x0(4一x02)k+(x02－4)2一1=0．设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1+k2=，k1k2=

将①代入y=x2得x2－kx+kx0－x02=0，由于x0是此方程的根，故x1=k1－x0，x2=k2一x0，所以kAB==x1+x2=k1+k2—2x0=一2xx0，kMP=．由MP⊥AB，得kAB·kMP==－1，解得x02=.即点P的坐标为，所以直线l的方程为y=±x+4．

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：(x－1)2+(y－)2=r2(r＞0)有－个公共点A，且在A处两曲线的切线为同－直线l．

5． 求r；

正确答案：设A(x0，(x0+1)2)，对y=(x+1)2求导得y＇=2(x+1)．故l的斜率k=2(x0+1)．当x0=－1时，不合题意，所以x0≠－1．圆心为M(1，)，MA的斜率k＇=.由l⊥MA知k·k＇=－1，即2(x0+1)·=－1，解得x0=0，故A(0，1)，r=|MA|=.

6． 设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．

正确答案：设(t，(t+1)2)为C上－点，则在该点处的切线方程为y－(t+1)2=2(t+1)(x－t)，即y=2(t+1)x—t2+1．若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，即，化简得t2(t2－4t－6)=0，解得t0=0，t1=2+√10，t2=2－√10．抛物线C在点(ti，(ti+1)2)(i=0，1，2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①， y=2(t1+1)x－t12+1②， y=2(t2+1)x—t22+1③，②－③得．x==2．将x=2代入②得y=－1，故D(2，－1)．所以D到l的距离d=.

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

7． 求该椭圆的离心率和标准方程；

正确答案：如图，设所求椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c，0)．因△AB1B2是直角三角形，又因为|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|=|OB2|，得b=．结合c2=a2－b2得4b2=a2－b2，故a2=5b2，c2=4b2．所以离心率e=在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2=·| B1B2|·|OA|=|

OB2|．|OA|=·b=b2，由题设条件S△AB1B2=4得b2=4，从而a2=5b2=20．因此所求椭圆的标准方程为：=1.

8． 过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．

正确答案：由(Ⅰ)知B1(－2，0)，B2(2，0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my－2．代入椭圆方程得(m2+5)y2－4my－16=0．设P(x1，y1)、Q(x1，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1+y2=,y1·y2=－,

又因为=(x1－2，y1)，=(x2—2，y2)，所以=(x1－2)(x2—2)+y1y2=(my1－4)(my2—4)+y1y2=(m2+1)y1y2—4m(y1+y2)+16=－，由PB2⊥QB2，得=0，即16m2－64=0，解得m=±2．所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x－2y+2=0．

如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=PD|．

9． 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

正确答案：设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得.∵P在圆上，∴x2+=25，即C的方程为=1.

10． 求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

正确答案：过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x－3)代入C的方程，得=1，即x2－3x－8=0．∴x1=，x2=∴线段AB的长度为|AB|=

设圆c与两圆(x+√5)2+y2=4，(x－√5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切．

11． 求圆C的圆心轨迹L的方程；

正确答案：依题意得两圆的圆心分别为F1(－√5，0)，F2(√5，0)，从而可得|CF1|+2=|CF2|－2或|CF2|+2=|CF1|－2，所以|| CF2|—|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2√5=2c．所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为2√5的双曲线，因此a=2，c=√5，b2=c2－a2=1．故圆C的圆心轨迹L的方程为－y2=1．

12． 已知点M，F(√5，0)，且P为L上动点，求||MP|—|FP||的最大值及此时点P的坐标．

正确答案：过点M，F的直线l的方程y=－2(x－√5)，将其代入－y2=1中，解得x1=故直线l与L的交点为T1，因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，故||MT1|－|FT1||=|MF|=2，|| MT2|—|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则||MP |－|FP||＜|MF|=2，综上所述，||MP|—|FP|只在点T1处取得最大值，即||MP|—|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.

已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．

13． 求椭圆的方程；

正确答案：由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2－b2，得a=2b．由题意可知×2a×2b=4．即ab=2．解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为+y2=1.

14． 设直线l与椭圆相交于不同的两点A，

B．已知点A的坐标为(－a，0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且=4．求y0的值．

正确答案：由(Ⅰ)可知A(－2，0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)．于是A、B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2－4)=0．由－2x1=，得x1=，从而y1=．设线段AB的中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是=(－2，－y0)，=(2，－y0)．由=4，得y0=±2√2②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－.令x=0，解得y0=－,由=(－2，－y0)，=(x1，y1—y0)，=－2x1－y0(y1－y0)==4.整理得7k2=2，故k=±，所以y0=±，综上，y0=±2√2或y0=±.

已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=.

15． 求椭圆E的方程；

正确答案：设椭圆E的方程为：=1，由e=，得,b2=a2－c2=3c2，∴=1．将A(2，3)代入，有=1，解得：c=2，∴椭圆E的方程为=1．

16． 求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．

正确答案：由(Ⅰ)知F1(－2，0)，F2(2，0)，所以直线AF1的方程为y=(x+2)，即3x－4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由椭圆E的图形知∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任－点，则有=|x－2|，若3x－4y+6=5x－10，得x+2y－8=0，其斜率为负，不合题意．舍去，于是3x－4y+6=10－5x，即2x－y－1=0．∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x—y－1=0．

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2√3．

17． 求点A到平面MBC的距离；

正确答案：取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=√3，OB⊥CD，MO⊥C