初中数学学习方法：完全平方公式

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

完全平方公式的变形与应用提高培优

完全平方公式222222()2,()2abaabbabaabb在使用时常作如下变

形：

(1) 222222()2,()2abababababab

(2) 2222()()4,()()4abababababab

(3) 2222()()2()ababab

(4) 22221[()()]2ababab

(5) 221[()()]2ababab

(6) 2222221[()()()]2abcabbccaabbcca

例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形

面积之和是多少？

解设长方形的长为α，宽为b，则α+b=20，αb=75.

由公式(1)，有：

α2+b2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.

(答略，下同) 例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方

形面积.

解设长方形长为α，宽为b，则α-b=4，αb=12.

由公式(2)，有：

(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为

两个整数的平方和.

证明设整数为x，则x=α2+b2(α、b都是整数).

由公式(3)，有2x=2(α2+b2)=(α+b)2+(α-b)2.得证例4 将长为64cm的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形

面积之和最小？

解设绳被分成的两部分为x、y，则x+y=64.

设两正方形的面积之和为S，则由公式(4)，有：

S=(x4)2+(y4)2=116(x2+y2)

=132[(x+y)2+(x-y)2]

=132[642+(x-y)2].

∵(x-y)2≥０，

∴当x=y即(x-y)2=0时，S最小，其最小值为64232=128(cm2).

例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.

解设这两数分别为α、b，则α+b=10，α2+b2=52. 由公式(5)，有：

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初中数学 完全平方公式（学案）

一、学习目标

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算

2．了解完全平方公式的几何背景

二、学习重点：会用完全平方公式进行运算

三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习书p47-49

（2）思考：和的平方等于平方的和吗？

（3）预习作业：

（1）(32)(32)abab （2）(32)(32)abab＝

（3）2(1)(1)(1)ppp （4）2(2)m

（5）2(1)(1)(1)ppp （6）2(2)m

（7）2()ab （8）2()ab

（二）学习过程

观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而221,422ppmm，恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．

因此我们得到完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍．

公式表示为：2()ab 2()ab

口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）

例1．应用完全平方公式计算：

（1）2(4)mn （2）21()2y （3）2()ab （4）2(2)xy

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变式训练1：

1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：

（1）22(21)221aaa （2）22(21)41aa

（3）22(1)21aaa

第 1 页 共 29 页 《完全平方公式》教案【通用七篇】

（经典版）

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序言

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