排列组合常用方法总结

第 1 页 排列组合常用方法总结

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，缘由在于

〔1〕从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维力量；

〔2〕限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词〔特殊是规律关联词和量词〕精确理解；

〔3〕计算手段简洁，与旧学问联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；

〔4〕计算方案是否正确，往往不行用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析力量。

二、两个基本计数原理及应用

〔1〕加法原理和分类计数法

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

3．分类的要求

每一类中的每一种方法都可以地完成此任务；两类不同方法中的详细方法，互不相同〔即分类不重〕；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类〔即分类不漏〕

〔2〕乘法原理和分步计数法

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必需且只须连续完成 第 2 页 这n步才能完成此任务；各步计数互相；只要有一步中所实行的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

[例题分析]排列组合思维方法选讲

1．首先明确任务的意义

例1。从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把冗杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a，b，c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a，c确定，

又∵ 2b是偶数，∴ a，c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因此此题为2=180。

例2。某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法？

分析：对实际背景的分析可以逐层深化

〔一〕从M到N必需向上走三步，向右走五步，共走八步。

〔二〕每一步是向上还是向右，确定了不同的走法。

〔三〕事实上，当把向上的步骤确定后，剩下的步骤只能向右。

从而，任务可表达为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，

∴此题答案为：=56。 第 3 页 2．留意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合

例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不简单用一个包含排列数，组合数的式子表示，因此实行分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

其次类：A在其次垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有一种选择，

同理A、B位置互换，共12种。

例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

〔A〕240〔B〕180〔C〕120〔D〕60

分析：明显此题应分步解决。

〔一〕从6双中选出一双同色的手套，有种方法；

〔二〕从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。

〔三〕从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；

〔四〕由于选取与挨次无关，因此〔二〕〔三〕中的选法重复一次，因此共240种。 第 4 页 例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则全部不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因此每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。

例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？

分析：采纳加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必需前后统一。

以两个全能的工人为分类的'对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。

第一类：这两个人都去当钳工，有种；

其次类：这两人有一个去当钳工，有种；

第三类：这两人都不去当钳工，有种。

因此共有185种。

例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，假如允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数？

分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但事实上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因此必需分类。 第 5 页 抽出的三数含0，含9，有种方法；

抽出的三数含0不含9，有种方法；

抽出的三数含9不含0，有种方法；

抽出的三数不含9也不含0，有种方法。

又由于数字9可以当6用，因此共有2×〔+〕++=144种方法。

例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。

分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因此共有种停车方法。

3．特别元素，优先处理；特别位置，优先考虑

例9．六人站成一排，求

〔1〕甲不在排头，乙不在排尾的排列数

〔2〕甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

分析：〔1〕先考虑排头，排尾，但这两个要求互相有影响，因此考虑分类。

第一类：乙在排头，有种站法。

其次类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，

共+种站法。

〔2〕第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。

其次类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。

第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。

第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。 第 6 页 共+2+=312种。

例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出全部次品为止。若全部次品恰好在第五次测试时被全部发觉，则这样的测试方法有多少种可能？

分析：此题意指第五次测试的产品肯定是次品，并且是最终一个次品，因此第五次测试应算是特别位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有种可能；

其次步：前四次有一件正品有中可能。

第三步：前四次有种可能。

∴共有种可能。

4．捆绑与插空

例11。 8人排成一队

〔1〕甲乙必需相邻〔2〕甲乙不相邻

〔3〕甲乙必需相邻且与丙不相邻〔4〕甲乙必需相邻，丙丁必需相邻

〔5〕甲乙不相邻，丙丁不相邻

分析：〔1〕有种方法。

〔2〕有种方法。

〔3〕有种方法。

〔4〕有种方法。

〔5〕此题不能用插空法，不能连续进行插空。

用间接解法：全排列—甲乙相邻—丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁 第 7 页 相邻，共——+=23040种方法。

例12。某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的状况？

分析：∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因此这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区分，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。

例13。公路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节省用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的状况下，求满意条件的关灯方法共有多少种？

分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又由于灯与灯之间没有区分，因此问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。

∴共=20种方法。

4．间接计数法。〔1〕排解法

例14。三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？

分析：有些问题正面求解有肯定困难，可以采纳间接法。

所求问题的方法数=任意三个点的组合数—共线三点的方法数，

∴共种。

例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四周体？

分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数—共面四点的 第 8 页 方法数，

∴共—12=70—12=58个。

例16。 l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数？

分析：由于底数不能为1。

〔1〕当1选上时，1必为真数，∴有一种状况。

〔2〕当不选1时，从2——9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94。

因此一共有53个。

〔3〕补上一个阶段，转化为熟识的问题

例17。六人排成一排，要求甲在乙的前面，〔不肯定相邻〕，共有多少种不同的方法？假如要求甲乙丙按从左到右依次排列呢？

分析：〔一〕事实上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种状况对称，具有相同的排法数。因此有=360种。

〔二〕先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人事实上只能根据一种挨次站位，因此前面的排法数重复了种，∴共=120种。

例18．5男4女排成一排，要求男生必需按从高到矮的挨次，共有多少种不同的方法？

分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的挨次，只有一种站法，因此上述站法重复了次。因此有=9×8×7×6=3024种。

若男生从右至左按从高到矮的挨次，只有一种站法，同理也有 第 9 页 3024种，综上，有6048种。

例19。三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法？

分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的状况下，共有改变，因此共=20种。