积分区域对称的二重积分

第２９卷第１期　成都师范学院学报　２０１３年１月　Ｖｏ１．２９　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＥＮＧＤＵ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｊａｎ．２０１３　

对称积分区域上的重积分　

李克俊　

（西华大学应用数学研究所，成都６１００００）　

摘要：得出了二、三重积分的积分区域分别关于任意直线对称、任意平面对称的结论，推广了之前的这一问　

关键词：二重积分；积分区域；对称　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５—５６４２．２０１３．０１．０９８　中图分类号：０１７２　文献标志码：Ａ　文章编号：２０９５－５６４２（２０１３）０１－００９８－０３　

文献［１］一［４］都谈到了在二重积分计算中，如果积分区域对称，再加上被积函数关于某变量为奇函数　或偶函数时，就会得到一些特别积分结果．利用这些结果，可以大大简化二重积分的计算．本文在此基础上，　

将这一结论进一步推广，所有之前的关于这方面的结论，都是本文结论的特殊．　定理ｌ　】：设二元函数　，Ｙ）在有界闭域Ｄ上可积，变换Ｔ：ｘ＝　（　，　），Ｙ＝，，（　，　）将ｕｔ７平面由按段光　

滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成　平面上的闭区域Ｄ，函数　（　，　），Ｙ（　，　）在△内分别具有一　

阶连续偏导数且它们的函数行列式　

＝　＝　≠ｏ，　△　

则　

Ｊ　，ｙ）ｄｘｄｙ＝Ｊ　（　，ｔ，），Ｙ（　，秽））ｌ　（　，　）ｌｄｕｄｖ．　

注ｌ：关于三重积分的换元也有上述类似定理．　平面上任何一条直线方程Ｚ：Ａｘ＋Ｂｙ＝Ｃ易化为直线的标准式方程：ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，其中ａ，ｂ满足：ａ　＋ｂ　

＝ｌ，这只需将非标准式：Ａｘ＋Ｂｙ＝ｃ（Ａ　＋　≠０）两边同除　，再令口＝＿　Ａ＝＝　，ｂ＝　￣／Ａ　＋　￣／Ａ　＋　

，ｃ＝—　兰＝　即可化成标准式．同样空间上任意平面仃的一般式方程Ａｘ＋Ｂｙ＋　＋Ｄ＝０，也可用相同　√Ａ‘＋Ｂ‘　方法，化为平面标准式方程：似＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０，其中口，ｂ，ｃ满足：ａ　＋ｂ　＋ｃ　＝１．鉴于此，以下平面任直　

利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳

一、 设𝐷关于𝑦轴对称：

1. 若𝑓关于𝑥为奇函数，则𝐼=0.

2. 若𝑓关于𝑥为偶函数，则𝐼=2

∬𝑓(

𝑥,𝑦)

𝑑𝜎

𝐷

1，其中D

1={(x,y)∈D:x≥0}，即D

1为

𝐷中位于𝑦轴右边的那一部分区域.

3. 若𝑓关于𝑥没有奇偶性，则𝐼=

∬[𝑓(

𝑥,𝑦)

+𝑓(−𝑥,𝑦)]𝑑𝜎

𝐷

1，其中𝐷

1={(𝑥,𝑦)∈

𝐷:𝑥≥0}，即D

1为𝐷中位于y轴右边的那一部分区域.(这是因为任意一个函数𝑓(𝑥)都

可以表示成“奇函数+偶函数”的形式，即𝑓(

𝑥)

=𝑓(

𝑥)

+𝑓(−𝑥)

2+𝑓(

𝑥)

−𝑓(−𝑥)

2.)

二、 设𝐷关于X轴对称：

1. 若𝑓关于y为奇函数，则𝐼=0.

2. 若𝑓关于𝑦为偶函数，则𝐼=2

∬𝑓(

𝑥,𝑦)

𝑑𝜎

𝐷

2，其中𝐷

2={(𝑥,𝑦)∈𝐷:𝑦≥0}，即𝐷

1为

𝐷中位于𝑋轴上边的那一部分区域.

3. 若𝑓关于𝑦没有奇偶性，则𝐼=

∬[𝑓(

𝑥,𝑦)

+𝑓(𝑥,−𝑦)]𝑑𝜎

𝐷

1，其中𝐷

1={(𝑥,𝑦)∈

𝐷:𝑦≥0}，即𝐷

1为𝐷中位于X轴上边的那一部分区域.

三、 设𝐷关于原点对称：

1. 若𝑓关于𝑥,𝑦为奇函数，则𝐼=0.

2. 若𝑓关于𝑥,𝑦为偶函数，则𝐼=2

∬𝑓(

𝑥,𝑦)

𝑑𝜎

𝐷

3，其中𝐷

3={(𝑥,𝑦)∈𝐷:𝑥≥0}，即𝐷

3

为𝐷在上半平面的那一部分区域.

四、 设𝐷关于𝑦=𝑥对称：

1. 若𝑓(

𝑥,𝑦)

=−𝑓(

𝑦,𝑥)

，则𝐼=0.

2. 若𝑓(

𝑥,𝑦)

=𝑓(𝑦,𝑥)，则𝐼=2

∬𝑓(

𝑥,𝑦)

𝑑𝜎

𝐷

4，其中𝐷

4={(𝑥,𝑦)∈𝐷:𝑦≥𝑥}，即𝐷

4为

𝐷在直线𝑦=𝑥以上的那一部分区域.

注：三重积分利用区域对称性与函数奇偶性简化计算与二重积分类似.

第３５卷第９期　２０１３年９月　宜春学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｉｃｈｕｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．３５，Ｎｏ．９　Ｓｅｐｔ．２０１３　一类积分区域对称性的应用研究　翟龙余　（江苏财经职业技术学院基础教学部，江苏　淮安２２３００３）　摘要ｔ针对积分区域对称性在各种积分中的应用，该文对对称性、函数的奇偶性作了统一　的定义，对积分区域对称性在积分中应用的定理作了统一的表述，方便应用。　关键词：对称性；奇偶性；积分　中图分类号：０１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—３８０Ｘ（２０１３）０９—００４３—０２　在定积分、二重积分、三重积分以及第一类　线积分和第一类面积分的计算中如果能够利用积　分区域的对称性以及被积函数的奇偶性，将会大　大简化计算过程。文献［１］［２］［３］中作者已经针对　以上各种类型的积分对此做了讨论，但结论繁多，　不易记忆和使用。在此基础上，本文力求对这些　结论进行进一步分析，作出统一的表述，从而方　便应用。　１对称点坐标的特征以及区域对称性的判定　在空间直角坐标系中，常用的对称性有：关于　原点对称、关于各坐标轴对称、关于各坐标面对称　共三大类七小类情况。具体如下：设空间任一点　Ｐ（　，Ｙ，　），则其关于原点的对称点为Ｐ。（一　，一Ｙ，　一ｚ），关于　轴对称点为Ｐ　（　，一Ｙ，一　）、关于Ｙ　轴对称点为Ｐ　（一　，Ｙ，一ｚ）、关于　轴对称点为　Ｐ：（一　，一Ｙ，　），关于ｘｏｙ面的对称点为Ｐ　（　，Ｙ，　一　）、关于ｙｏｚ面的对称点为Ｐ　：（一　，Ｙ，　）、关于　ｏ　面的对称点为尸　（　，一Ｙ，　）。很容易观察到空　间任一点Ｐ（　，Ｙ，　）的某种对称点的坐标就是该对　称所涉及到的坐标轴对应坐标值保持不变，而把其　余坐标值改为原坐标值的相反数。如：关于原点对　称不涉及到坐标轴，所以点Ｐ（　，Ｙ，　）关于原点的　对称点的三个坐标全部为原坐标相反数即为Ｐ　（一　，一Ｙ，一　）；关于ＰＣ轴对称涉及到　轴，所以点　Ｐ（　，Ｙ，ｚ）关于ＰＣ轴的对称点的横坐标　不变，纵坐　标与竖坐标是原来的相反数，即点Ｐ（　，Ｙ，　）关于　轴对称点为Ｐ　（　，一Ｙ，一ｚ）；关于ｘｏｙ面的对称，　涉及到　轴与Ｙ轴（ｐｃｏｙ面是由　轴与Ｙ轴所确定　的平面），因而其对称点的横坐标与纵坐标不变，　而竖坐标为原来的相反数，即Ｐ（　，Ｙ，ｚ）关于ｘｏｙ　面的对称点为Ｐ　（　，Ｙ，一　）。下面为叙述方面，　除用以上方法表示具体的某一小类对称点外，还用　Ｐ对称点抽象第表示空间任一点Ｐ关于以上某－－ｄ，类　的对称点。　设区域为Ｄ，Ｐ对称点为点Ｐ的某一类（原点、　坐标轴、坐标面）对称点，若有Ｐ∈Ｄ　Ｐ对称点∈　Ｄ，则该区域Ｄ关于该类（原点、坐标轴、坐标　面）对称。　２函数的统一定义　无论是一元函数还是多元函数，可统一定义成点　函数如下：设Ｄ是ｎ维空间的一个点集，，为某一确　定的对应法则。如果对于每个点ｅ（ｘ　，Ｘ２，…，　）∈　Ｄ，变量Ｗ按照对应法则厂总有唯一确定的值和它对　应，则称Ｗ是点Ｐ的函数（或称Ｗ是变量　，　，…，％　的ｎ元函数）。记为　＝　Ｐ）＝　ＰＣ　，　，…，　），Ｐ　∈Ｄ。若函数　Ｐ）的定义域Ｄ是实数集　的一个　子集，即只依赖于一个自变量，则，（Ｐ）是一元函数。　若函数　Ｐ）的定义域Ｄ是ｒｔ个Ｒ的笛卡尔　（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ）积Ｒ×Ｒ×…ＸＲ＝Ｒ　的子集，即依赖　于　个独立自变量，则　Ｐ）是／７，元函数。　３　函数奇偶性定义的推广　在学习一元函数时，函数的奇偶性定义如下：　一般地，对于函数厂（　）　（１）如果对于函数　）定义域内的任意一　个ＰＣ，总有　一　）＝厂（　），那么称函数　）为偶　函数。　（２）如果对于函数　）定义域内的任意一个　，总有厂（一　）＝－ｆ（　），那么称函数　）为奇　收稿日期：２０１３—０６—０３　作者简介：翟龙余（１９６６一），男，江苏姜堰人，副教授，硕士，主要从事高等数学教学。　・４３・

第１７卷第１期　２０１５年２月　衡水学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎｇｓｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．１７．ＮＯ．１　Ｆｅｂ．２０１５　ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７３—２０６５．２０１５．０１．００３　

关于直线对称区域上二重积分的计算　

孙兰敏　，岳亚楠　（１．衡水学院数学与计算机学院，河北衡水０５３０００；２．平山县教育局，河北平山０５０４００１　

摘要：当积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性时，可以简化二重积分的计算过程．给出并证明了积分区域关于一　个坐标轴对称、关于两个坐标轴都对称、被积函数具有某种特性的二重积分计算公式，进而给出积分区域关于任意直线对　称的二重积分的计算公式；举例说明了各类重积分计算公式的应用．　关键词：对称区域；二重积分；奇偶性　中图分类号：Ｏ１７２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３．２０６５（２０１５）０１．０００８．０４　

二重积分是商等数学，　，至数学分析的重点和难点，当积分区域关于坐标轴对称，被积函数关于某变量具　有奇偶性时，可以简化计算过程，更一般的，当积分区域关于平面上任意直线对称，被积函数关于此直线具有　奇偶性时也可以简化计算过程．下面给出各种特殊二重积分的计算公式．　１积分区域关于坐标轴对称　定理１设积分区域Ｊ［）关于　轴对称，函数ｆ（ｘ，　）在Ｄ上连续，　１）如果厂（　，　）＝一厂（　，一　），则ｆｆ厂（　，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；　

２）如果厂（　，　）＝厂（　，－ｙ），则　厂（　，ｙ）ｄｘｄｙ＝２￣ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ（其中　为　≥０的部分）．　

ｉｆ＿区域Ｄ可以表示为ｊ　，　ｌ—ｉｘ　：　／ｙ（ｘ　Ｙ≤　（　）．　所以　厂（　）　＝』　出ｆ－　ｙ（　ｘ）厂（　，　）　．当厂（　）＝一厂（　，一　）时，』　）／（　）　＝０，从而　

』Ｊ，（　，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．当，（　，　）＝厂（ｘ，一），）时，Ｊ　：）厂（　，ｙ）ｄｙ＝２　ｆ。＂“　厂（　，ｙ）ｄｙ，从而