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新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

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11曲线积分与曲面积分6答案

11曲线积分与曲面积分6答案

14
33
09
4、计算 xyz d s , 其中 r 是空间曲线 x=t, y 2t 2t , z 1 t 2 在点 t=0 和 t=1 间的一段。
3
2
答案： 解 :
xyzds 1(t 2t
2t 1 t 2) 1 ( 2t )2 t 2dt
2
1
t
9
2(1
t)dt
16
2
r
03
2
30
三、问答（2 小题）
1、已知 P(x,y)=x2+y2，问 Q(x,y)满足什么条件时，才能使 Pdx Qdy 与积分路径无关。 L
解：由 P y
Q x
,
知 Q x
2 y,Q(x,
y)
2xy
c( y), 式中C( y) 为任意连续函数.
2、设∑是八面体|x|+|y|+|z|≤a 的表面，a 为正数。若 (2x z)2 dS 3 a2 则 a 为何值。
11 曲线积分与曲面积分练习题 6 答案
一、选择（10 小题）
1-5、答案：BACCC 6-10、答案：BBA DA 二、填空（5 小题）
1、答案： x2 f (x)dx 2、答案：0 3、答案： A f (x, y)ds.
x1
L
4、答案：
yd x xd y L x 2 y 2
ò 5、答案： L 2p yds.
1 e x3y d s 1
5L
由驻点方程 fx fy 得 x y
3x 2y x3 , 又 34
x=0 y=3
或
x 3
y
3 4
f (x, y) x3y在条件3x 4 y 12 0下的
3x+4y-12=0

第11章 曲线积分与曲面积分习题解答(开放课程)

第11章 曲线积分与曲面积分习题解答(开放课程)

d
L
02
2
1 a2

cos
d

2
cos
d

2 0 2

2

1 2
a
2

2
sin
2
0
2sin 2
2


2a 2
3．计算 x2 y 2 ds ，其中 L 为曲线 x acos t t sin t ，y asin t t cos t， L
解：
xydx
1
y2 y
y2
dy

2
1 y 4dy 21 y 5 1
4.
L
1
1
5 1 5
8. 计算 x3dx 3zy 2dy x 2 ydz ，其中 L 是从点 A3,2,1 到点 B0,0,0的直线 L
段 AB 。
解：直线段 AB 的方程为 x y z ，化成参数方程为 x 3t ， y 2t ， z t ， 321

1x 0

1

x
2dx
2。
2．计算 x 2 y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 y 2 ax 。 L
解：
L
的参数方程为
x


y

1 2 1 2
a cos a sin

1 2
a
， 0


2

则 x 2 y 2 1 a cos 1 a2 1 a sin 1 | a | 21 cos
0
ex
|0a
e

曲线曲面积分练习答案

曲线曲面积分练习答案

第十一章 曲线曲面积分一、填空1、L 为下半圆21y x =--，则22()L x y ds +=⎰___π_______。

2、L 为222x y R +=，则3(2)L x y ds +=⎰____0____。

3、L 为圆22(2)(2)2x y -+-=的逆时针一周，则L ydx xdy +⎰=_0_。

4、设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)8L x dx x y dy -++=-⎰，则A=___2_______。

5、分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰= 3V 。

二、选择题1、设是一光滑曲线，为了使曲线积分(,)(,)L yF x y dx xF x y dy +⎰与积分路径无关，则可微函数 应满足条件（ A ）。

A 、B 、C 、D 、2、OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则22x y OM e ds +⎰不等于（D ）。

A 、1202x e dx ⎰B 、1202y e dy ⎰C 、20r e dr ⎰D 、102r e dr ⎰ 3、∑：2221x y z ++=外侧，1∑：上半面上侧，则正确的是（B ）。

A 、12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ B 、12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ C 、1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ D 、zdxdy ∑⎰⎰=0 4、∑：222(),0z x y z =-+≥，则ds ∑⎰⎰等于（ C ）。

A 、220014r d r rdr πθ+⋅⎰⎰ B 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ C 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ D 、2 5、∑：222,12x y R z +=≤≤外侧，则下列不正确的是等于（B ）。

第十一章 曲线积分与曲面积分(整理解答)

第十一章 曲线积分与曲面积分(整理解答)

第十一章 曲线积分与曲面积分一、 第一类、第二类曲线积分的计算，格林公式 11.6⎰Lxds =( )，其中L 是连接(1,0)及(0,1)的直线段A.21 B. 22 C. 22 D. 2 解：如图所示，L 所在直线方程参数为 1,,01y x x x x =-=≤≤，1102Lxds x x ===⎰⎰⎰所以，选B 。

11.9ds y xL)(22+⎰=( )，其中L 是圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t y t xA.π4B.2πC.π2D.π解：2222220()(cos sin )2Lx y ds t t dt πππ+=+==⎰⎰⎰所以，选C 。

11.14 下列为第一类曲线积分的是( )； A ．⎰Γs z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 B ．⎰Γx z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 C ．⎰Γy z y x f d ),,(，其中Γ为3R中的光滑曲线 D ．⎰Γz z y x f d ),,(，其中Γ为3R中的光滑曲线解：由第一类曲线积分的表示，选A 。

11.18 L 为曲线t y t x sin ,cos ==上0=t 到π=t 的一段弧，则=+⎰Ls y x d )( ( )；A. 1-B. 0C. 1D. 2解：()(cos sin )(cos sin )2Lx y ds t t t t dt ππ+=+=+=⎰⎰⎰所以，选D 。

11.21 L 为曲线212y x =上0x =到1x =的一段弧，则d Lx s =⎰ ( )； A．11)3 B ．C．21)3 D ．解：31121200011d (1)|1)33Lx s x x x ===+=⎰⎰⎰所以，选A 。

11.25 设L 是圆周222x y a +=在第一象限内的弧段,则Ls =⎰( ).(A)ae π； (B)2a π； (C)2a ae π； (D)2a e π.解：L 的参数方程为：cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤，所以，202a Ls e ae ππ==⎰⎰所以，选C 。

南华大学第十一章 曲线积分与曲面积答案

南华大学第十一章 曲线积分与曲面积答案
L
的方向角. 二．选择题：
1．对坐标的曲线积分与曲线的方向（2） （1）无关， （2）有关； 2．若 P ( x, y ) ， Q( x, y ) 在有向光滑曲线 L 上连续，则（1） （1） （2）
∫ ∫
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
2. 设光滑曲线 L 的弧长为 π ，则 6ds = （2）
L
∫
（1） π ， （2） 6π ， （3） 12π . 二.计算下列对弧长的曲线积分： 1． ( x + y ) ds ，其中 L 为
L
∫
(1) 以 O(0,0)，A(1,0), B(1,1) 为顶点的三角形的边界； (2) 上半圆周 x + y = R ；
L
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy =
2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
L
2 2
三．计算下列对坐标的曲线积分： 1． ( x + y )dx ， 其中 L 为从点 A(0,0) 经上半圆周 ( x − 1) + y = 1 ( y > 0) 到点 B(1,1) 的
8 2 (1 − cos t ) 2 + 8 2 sin 2 t = 16 sin
设质心坐标为 ( x, y ) ，则
x=
1 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(t − sin t ) ⋅ 16 sin dt =
t 2
32 1 ，y= 3 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(1 − cos t ) ⋅ 16 sin dt =

第十一章_曲线积分与曲面积分习_[1]...

第十一章_曲线积分与曲面积分习_[1]...
x y z x y z S1 xdydz z 2dxdy xdydz z 2dxdy 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x S2 S3
S
xdydz z 2dxdy 例12 计算曲面积分 2 2 2 , 其中S是由曲面 x y z S

4 a3 . 3
2 3
0 ( x 2 y 2 z 2 )ds

( x2 z 2 )ds
L关于xOz轴平面对称, y是L上关于y 的奇函数
2 1 2 2 2 ( x y z )ds ( x y z)ds 3 3
4 a3 3
(二) 曲线面积分的计算法 1. 基本方法 第一类( 对面积 ) 曲面积分 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 P, Q, R以及它们的一阶偏导数不连续的情 况下,考虑通过投影化为二重积分处理.

z
2 1
1
2z dxdydz 4dxdy dxdy 2 2 zdz dxdy 4 dxdy dxdy 1 2 2 x2+y24
1 2
+ +
1 2
Dz
2
x
O
n
y
1+2
2 z
1
2
所以
BA
(x2y)dx+(y 2x)dy x2 dx
2 3 a . 3
a
a
例4 计算曲线积分 , 其中 且取正向 . y 2 2 Q y x P 1 2 2 L 2 解 当 x +y 0 时 , x ( x y 2 )2 y D x 在D内作圆周l: x2+y2=1, 取逆时针方向, l O D1 2 由格林公式, 有

11曲线积分与曲面积分1答案

11曲线积分与曲面积分1答案

.
面积元素dS 1
x
2
0 2dxdy
adxdy
a2 x2
a2 x2
S 2a
dxdy
a
2a
dx
a (a x )
a
dy 2a a
dx
4 2a 2
D a2 x2
a a2 x2 0
a a x
2、求曲面 z2=2xy 被 x+y=1,x=0,y=0 所截下部分的面积。
解： 设为所求曲面中z 0的部分, 它的面积为S, 则z 2xy
4
(my n)2 dS m2 2mn n2 (m2 3mn 3n2)
6
4
26
(m2 3mn 3n2 ) n2 ,m 2 3mn 3n2 n2 , m2 3mn 2n2 0
6
6
m n或m 2n
1
1 x2
注： 也可由: ydS dx
y
dy 1 1 x 2dx 1 12
+
-4
6 46
1
1
五、证明（2 小题）
11 曲线积分与曲面积分练习题 1 答案 第 2 页 （共 4 页）
1、证明：(2xy－y2)dx+(x2－2xy－y2)dy=du(x,y),并求出函数 u(x,y).
答案： P 2xy y 2,Q x2 2xy y 2 P 2x 2 y, Q 2x 2 y,
2
D
x dxdy y
(由对称性)
1
2
xdx 1x dy 2 2 1
x(1 x)dx
0
0y
0
1
注意到
x(1 x)dx 令x sin2 t 2
2 sin 2 t cos 2 tdt 2

曲线积分与曲面积分习题答案.pdf

曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
(1) (2x y 2z) dS，其中 为平面 x y z 1在第一卦限的部分；
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr

曲线积分与曲面积分知识题目解析

曲线积分与曲面积分知识题目解析

第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy22，其中L 为正向圆周922=+y x ；解：由Green 公式，得2322223081()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰， 其中D 为229x y +≤。

(2)⎰-++Ly y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得()(2)(1)1yy y y LDDey dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰。

*(3)⎰+-Ldy xy ydx x 22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 222222323cos 444620()01515353cos 334442264LDBAxydx xy dy y x dxdy xydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。

作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y+-=+⎰，故 22222222222sin cos 2Lllydx xdy ydx xdyydx xdyx y x y r r r d r πθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；解：(12cos ),2sin xxP e y Q e y =-=，2sin x P Q e y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x x x AOe y dx e ydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2

曲线曲面积分练习答案

曲线曲面积分练习答案
∑
面 Σ 外侧的积分 ∫∫ (z − y)dxdy + ( y − x)dxdz + (x − z)dzdy = 3V 。 二、选择题 1、 设 是一光滑曲线， 为了使曲线积分 ∫ yF ( x, y )dx + xF ( x, y )dy
L
A、 ∫ C、 ∫
2π
0 2π
dθ ∫ dθ ∫
ρ
0 2
1 + 4 ρ 2 ⋅ ρ d ρ B、 ∫
Σ1
=4
∫∫ dxdy − 3 ∫∫ (x
D xy D xy
2
5 + y 2 )dxdy = 4π − 3 ∫ dθ∫ ρ2ρdρ = π 2 0 0
2 3 2 2
2π
1
= =
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz + ∫∫ (x
Ω
∂P
∂Q
∂R
2
+ y 2 )dxdy
D xy
11、 (x + y + z)dydz + (x + y + z)dzdx − z(x + y )dxdy ，
2
2 π 8π = 3 3
记 P= x + y + z ，
3 2
Q= x + y + z ，
2 3
R= − z(x + y )
2 2
则
∂P ∂Q ∂R + + = 2(x 2 + y 2 ) ∂x ∂y ∂z
10、
∫∫ (1 + 3z
Σ
)dxdy ，Σ为上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 的上侧。

中北大学高数习题 第十一章-2答案

中北大学高数习题 第十一章-2答案

a
o
a
a
y

2 3 2 ( cos ) |0
1 5
r |0
5 a
x

6 5
a
5
机动
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2. 计算曲面积分 其中为曲线
ze
x0
y
(0 y a )绕
z 轴旋转而成的曲面的下侧.
a
解: 依题意画图.补一平面 1 : z e
原式=

( x y a ) 取其上侧.
0 0 0 a b c
z
c
o
a
b
y
2 dx [( x y ) z
0 0
a
b
1
x
a b
0 0 2 2 a a 1 2 1 2 1 2 1 2 b 2 [cxy c y c y ] |0 dx 2 [cbx cb c b]dx 0 0 2 2 2 2
z ] |0 dy 2 dx [( x y )c
1 2
Dyz 2 2 2 R y z dydz D R y z dydz
2 2 2
yz

3 2 1 2 3 2 2 2 R 2 2 2 ( ) ( R r ) |0 R 2 d R r rdr 0 0 3 2 3 2 3 ydzdx R .为计算 zdxdy, 类似可得: 3
z

解: 依题意画图.其中: : z x y 取上侧.
2 2 1
2 : z 1
1
取下侧.

2
3
1
2
3 : x y 4

最新11第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

最新11第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

11第十一章曲线积分与曲面积分习题答案第十一章曲线积分与曲面积分第三节 Green公式及其应用1．利用Green公式，计算下列曲线积分：(1) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为正向圆周«Skip Record If...»；解：由Green公式，得«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»。

(2) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为以«Skip Record If...»及«Skip Record If...»为顶点的三角形负向边界；解：由Green公式，得«Skip Record If...»。

*(3) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的上半圆周从点«Skip Record If...»到点«Skip Record If...»及«Skip Record If...»的上半圆周从点«Skip Record If...»到点«Skip Record If...»连成的弧«Skip Record If...»；解：连直线段AB，使L与«Skip Record If...»围成的区域为D，由Green公式，得«Skip Record If...»*(4) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为正向圆周«Skip Record If...».解：因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。

第十一章 曲线积分与曲面积分(题库)答案

第十一章 曲线积分与曲面积分(题库)答案
x y
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得

L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0

L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分

曲线积分与曲面积 答案

曲线积分与曲面积 答案

曲线积分与曲面积分 例1计算曲线积分⎰ABxydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部分。

解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -=，)0(≤≤-x R ，于是得dx xR R dx y dl 2221-='+=，故232222R xdx R dx xR Rx R x xydl R R AB -==-⋅-=⎰⎰⎰--。

法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy yR R dy x dl 2221-='+=，故2)(32222R ydy R dy yR R y R y xydl RRAB-=-=-⋅--=⎰⎰⎰。

法3 将弧AB 化为参数方程 )2(sin cos πθπθθ≤≤ ⎩⎨⎧==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(，⎰⎰⎰⎰-===ππππππθθθθθθθθ23232cos cos sin cos sin cos d R d R Rd R R xydl AB2]2cos [3223R R -=-=ππθ。

例2计算⎰Ldl xy ||，L 是圆周222R y x=+的闭路。

解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则32032sin cos 44||1R tdt t R xydl dl xy L L===⎰⎰⎰π例3设L ：cos ,=sin ,02=≤≤x a t y a t t π，则第一型曲线积分2L=2⎰ds aπ例4计算⎰++ABCDA y x dydx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形。

（1|||:|=+y x ABCDA ）解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1；在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到1； 于是22)]1([2)]1([)1(2)1(11010011001=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---dx dx x x dx x x dx dx x x dxx x dx dx DA CD BC AB ABCDA例5计算⎰+--+Lyx dyy x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。

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25第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰26*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。

222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.273．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰。

(3)⎰+Lxdy y ydx x32，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解：21:,:11L x y y =→-, 2:1,:11L x y =-→, 则1223232311155361114(2)27LL L x ydx y xdy x ydx y xdy x ydx y xdyy y y dy y dy y dy ---+=+++=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰*(4)zxdz xydy dx y ++⎰Γ2，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着I ）直线段； II ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；解：I ）Γ的参数方程为x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，01t ≤≤，则原式=12220()1t t t dt ++=⎰II ）OA: 0x t y z =⎧⎨==⎩, 01t ≤≤; AB: 1x y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,01t ≤≤;BC: 11x y z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩.01t ≤≤.原式=112001OAABBCy dx xydy zxdz tdt tdt ++++=++=⎰⎰⎰⎰⎰28第五节 对坐标的曲面积分1. 选择题(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 （B ）（A ）无关 （B ）有关 (2) 已知⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(存在，则⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(+⎰⎰-∑dxdy z y x R ),,(= （A ）（A ）0 （B ）⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(22. 计算下列对坐标的曲面积分： (1)⎰⎰∑+zdxdy y x)(22，其中∑为曲面221y x z --=在第一卦限部分的上侧.解：由2210z x y z ⎧=--⎨=⎩知，∑在xoy 面的投影区域为：{(,)|01}{(,)|01,0}2xy D x y y x r r πθθ=≤≤≤≤=≤≤≤≤，222212220()(1)11(1)()24624xyD x y x y dxdyd r r rdr πππθ+--=-=-=⎰⎰⎰⎰原式=(2)⎰⎰∑++dxdy ydzdx dydz x )1(＋，其中∑为1=++z y x 在第一卦限的部分且取法线的方向与z 轴的夹角为锐角.解：由已知得，平面与x,y 轴的夹角也为锐角，∑在三坐标面上的投影为等腰直角三角形，故 原式=11111104(2)(1)3yxxdy y z dz dx x z dz dx dy -----+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

*3．把dxdy z x ydzdx xdydz )(+++⎰⎰∑化为对面积的曲面积分，其中∑为平面222=++z y x 第一卦限部分的上侧.解：因∑取上侧，故法向量n 与z 轴正向夹角为锐角，方向余弦为221cos ,cos ,cos ,333αβγ=== 从而21111()(32)33333x y x z dS x y z dS +++=++∑∑⎰⎰⎰⎰原式=29第六节 Gauss 公式 *通量与散度1. 利用高斯公式计算下列曲面积分： (1)zdxdy ydzdx x dydz yz x +--⎰⎰∑232)(，其中∑为平面 1,1,1,0,0,0======z y x z y x 围成的立方体Ω的表面外侧；解：由Gauss 公式，得原式=1112224(321)(1)3x x dxdydz dz dy x dx Ω-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

(2)dydz z y x dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑，其中∑由1,0,922===+z z y x所围空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧； 解：由Gauss 公式，得231232000()(sin )119(sin )9(sin )242y z dxdydz d rdr r z dzd r r dr d πππθθθθθθπΩ-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式=*(3)zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧；解：设1∑为2220z =≤（x +y a ）的下侧，∑与1∑围成的闭区域为Ω，由Gauss 公式，得1332xdydz ydzdx zdxdy dxdydz a πΩ+++==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰，而10xdydz ydzdx zdxdy ++=∑⎰⎰，故原式=32a π。