专题35动态几何之动点形成的全等相似三角形存在性问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘资料

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综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1),且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB,如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB 为边和对角线两种情况 2。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解.练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过02P E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，及原点(00)O ，．（1)求抛物线的解析式．(由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在,说明理由．(3）如果符合（2)中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△练习2、如图，四边形OABC C在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

专题04 动点引起的相似三角形存在性问题【相似三角形存在性】以A 、B 、C 为顶点的三角形与已知△DEF 相似，其中，∠ABC =∠DEF 分类讨论：①△ABC ∽△DEF ；②△CBA ∽△DEF 可得到：AB BC DE EF =；AB BC EF DE=，特殊地，当∠ABC =∠DEF =90°时，可借助tan ∠BAC =tan ∠DFE 或tan ∠BCA =tan ∠DFE 解答问题.【一题多解 · 典例剖析】例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点()0,3D ，抛物线的对称轴l 交AD 于E ，连接OE 交AB于点F ．（1）求抛物线解析式； （2）求证：OE AB ⊥；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =－x 2+2x +3；（2）见解析；（3）存在，点P 113-±或±3 【解析】解：（1）∵直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B∴A （3,0），B （0，32）， 又抛物线经过A （3，0），D （0，3），∴22033300b c c ⎧=-++⎨=-++⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为y =－x 2+2x +3；（2）由y =－x 2+2x +3得，抛物线对称轴为x =1 设直线AD 的解析式为：y =kx +a ， 将A （3，0），D （0，3）代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩即直线AD 的解析式为：y =－x +3， ∴E （1，2），G （1，0），在Rt △OEG 中，知tan ∠OEG =12OG EG = ， 在Rt △OAB 中，tan ∠BAO =12OB OA =， ∴∠OEG =∠BAO ， ∵∠OEG +∠EOG =90° ∴∠BAO +∠EOG =90° 即OE ⊥AB . （3）存在.∵A （3，0），抛物线的对称轴为直线x =1，∴C （－1，0）， ∴AC =3－（－1）=4， ∵OA =OD =3，∠AOD =90°， ∴232AD OA ==，设直线CD 解析式为y =mx +n ，则：03m n n -+=⎧⎨=⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩∴直线CD 解析式为y =3x +3， 易知，∠MAO =∠COD ， 分类讨论：①当△AOM ∽△ACD 时，方法一：解析式法欲求P 点坐标，需求直线OP 的解析式，再与抛物线解析式联立即可. 可知，OM ∥CD即直线OP 的解析式为：y =3x ， 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x 113-±即P 113-±方法二：比例法 易知AM AN AD OA =,AM AOAD AC=,∴=AN AOOA AC 即3=34AN ∴AN =94，ON =34即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. 方法三：设参数法设M （m ，－m +3），0<m <3，A （3,0） 易知，AM AOAD AC =，即3432AM = 即AM =924∴（3－m ）2+（－m +3）2=（924）2解析：m =34或m =214（舍）即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. ②当△AMO ∽△ACD 时，方法一：比例法易知AM AOAC AD =, 即432AM = ∴AM 2由△AMN 为等腰直角三角形，知MN =AN =2， ∴ON =1，即M （1,2） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3方法二：设参数法 设M （m ，－m +3），0<m <3由AM 2得：（m －3）2+（－m +3）2=（22 解得：m =1或m =5（舍） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3综上所述，点P 113-±±3 【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②11+33【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），将点（－1,0），（2,0），a=－1，代入抛物线解析式得：y=－x2+x+2.②根据①中的函数关系式，可得:A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2可知∠BOC=∠DEO=90°，以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，（i）当△ODE∽△BCO时，方法一、比例法则OE DEOB OC=，即2-++2=12m m m，解得m=1或－2（舍），方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠ODE即OB OEOC DE=，21=2-++2mm m解得：m=1或－2（舍），（ii）当△ODE∽△CBO时，方法一、比例法则OE DEOC OB=，即2-++2=21m m m，解得：1+331-3344=或（舍）m方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠DOE即OB DEOC OE=，21-++2=2m mm解得：1+331-3344=或（舍）m综上所述，满足条件的m的值为1或1+334．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且2OA=，4OB=，8OC=，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或17 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∴84201640c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解得：812c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为y =－x 2+2x +8；（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似， 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为直线：x =1，设直线BC 的解析式为y =kx +t ，将点B 、C 坐标代入可得：408k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =－2x +8， ∴点M （1,6），N （1,0），∴BN =3，MN =6，BM =35，CM =5， 由∠BMN =∠CMP 知，分两种情况讨论： ①当∠CPM =∠MNB =90°时，如图所示：易知CP ∥x 轴，∴点P 坐标为（1,8）.②当∠PCM =∠MNB =90°时，如图所示：∴cos ∠CMP =cos ∠MNB 即CM MNPM BM=， 535=∴PM =52，即点P 坐标为171,2⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，符合要求的P 点坐标为（1,8）或171,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）y =（x +1）2－4；m =2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线x =－1， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x －1)(x +3)， 把C （0，－3）代入得： －3=a (0－1)(0+3)， 解得：a =1，即二次函数解析式为：y = (x －1)(x +3)，即：y =（x +1）2－4， ∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ， ∴0=－2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =－2x +2， 又直线y =－2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ， ∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限， ∴E （－5，12），以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，由∠EDP =∠ADO 知，分两种情况讨论. ①当∠EPD =∠AOD =90°时， 过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，此时P （0，12）；②当∠PED =∠AOD =90°时，过点E 作EP ’⊥AE ，则tan ∠ADO =tan ∠PEP’， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=， 解得：PP ’=2.5，此时P’（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）.练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，254）．【解析】解：（1）在213442y x x =-++中，当x =0，y =4即C （0,4）当y =0时，即2134042x x -++=解得：x =－2或x =8即A (－2,0)，B （8,0）∴AB =10，AC 5BC 5则102=（52+（52即AB 2=AC 2+BC 2∴∠ACB =90°（2）①设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将（0,4），（8,0）代入得： 804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =－0.5，b =4即直线BC 解析式为y =－0.5x +4设D （m ，213442m m -++），则BF =8－m ，DE =2124m m -+∴DE +BF =2124m m -++8－m =()21294m --+ ∵14-<0∴当m =2时DE +BF 取最大值，最大值为9.②∵点G 是AC 的中点，在Rt △AOC 中，OG =AG 5即△AOG 为等腰三角形，∵∠CAO +∠ACO =∠ACO +∠OCB =90°∴∠CAO =∠OCB又OC ∥DF∴∠OCB =∠CED∴∠CAO =∠CED设D （m ，213442m m -++），则E （m ，－0.5m +4），DE =2124m m-+ 当以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似， 分两种情况讨论：①△ECD ∽△AOG 则CEDEAO AG =， 即212425m mCE -+=∴CE 21425m m -+又OC ∥DF ∴CEOFBC OB =845m=∴CE 5m21425m m -+5m解得：m =0（舍）或m =3即D （3，254）②△EDC ∽△AOG ，则CE DEAG OA=，212425m m-+=，∴CE=212452m m-+又OC∥DF，知，CE5m∴212452m m-+5m解得：m=0（舍）或m=4 即D（4,6）综上所述，D点坐标为（3，254）或（4,6）．。

中考压轴题相似三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，线面动形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm/s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm2），求y 与x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）920=t ；（2）236105y t t =-+（0＜t ＜4）；（3）t=2；（4）23=t ． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出AC ，根据PQ ∥AB ，得出CB CQ CA CP =，544t t =-，求解即可；（2）过点P 作PD ⊥BC 于D ，根据△CPD ∽△CBA ，得出453t PD -=，求出PD=1235t -，再根据S △QMC=S △QPC ，得出y=S △QMC=12QC•PD ，再代入计算即可； （3）根据S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4，得出S △QPC ：S △ABC=1：5，代入得出（236105t t -+）：6=1：5，再计算即可； （4）根据PQ ⊥MQ 得出△PDQ ∽△MQP ，得出2PQ =MP•DQ ，根据勾股定理得出22PD DQ +=MP•DQ ，再分别代入得出59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，求出t 即可．（4）若PQ ⊥MQ ，则∠PQM=∠PDQ ，∵∠MPQ=∠PQD ，∴△PDQ ∽△MQP ，∴DQ PQ PQ PM =，∴2PQ =MP•DQ ，∴22PD DQ +=MP•DQ ，∵CD=1645t -，∴DQ=CD ﹣CQ=1645t t --=1695t -，∴59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，∴整理得0322=-t t ，解得10t =（舍去），232t =，∴23=t 时，PQ ⊥MQ ．考点：相似形综合题；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题2．如图1，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，且CD ＞DA ，DA=2，点P ，Q 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿射线DC 、射线DA 运动，过点Q 作AC 的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中087x<≤，87x m<≤时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【答案】（1）3249；（2）228(0)7256328(4)412545457xx x xxS<≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．【解析】试题分析：（1）当x=78时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=78，QR=PQ，求出n的值是多少即可．（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：①当87x<≤时，求出S关于x的函数关系式，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；②当847x<≤时，S关于x的函数关系式即可．试题解析：（1）如图1，当x=78时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，∵PQ=78，QR=PQ，∴QR=78，∴n=S=21(287)⨯=3249；综上，可得：228 (0)7256328(4)412545457xx x xxS<≤-+⎧⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪⎩．考点：动点问题的函数图象；动点型；分类讨论；分段函数；综合题；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx=++x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D 的坐标；（2）如图1，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B 匀速运动，到达点B 时停止运动．以AP 为边作等边△APQ （点Q 在x 轴上方），设点P 在运动过程中，△APQ 与四边形AOCD 重叠部分的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC ，在第二象限内存在点M ，使得以M 、O 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所有符合条件的点M 坐标．【答案】（1）2323333y x x =--+ D （﹣2，3）；（2）223 (02)3 3 (23)3113 3 (34)2t t t t t ≤≤-<≤⎪+<≤⎪⎩；（3）M （﹣3，3或（﹣3，33或（94-，33）或（34-，33）． 【解析】试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求得函数解析式即可，由点D 与C 对称求得点D 坐标即可；（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q 一直在直线AD 上运动，分别探讨当点P 在线段AO 上；点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上以及点Q 在AD 的延长线上，点P 在线段OB 上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；（3）由于3OA=3，OA ⊥OC ，则△OAC 是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO 以∠AMO 为直角的直角三角形时；当△AMO 以∠OAM 为直角的直角三角形时；得出答案即可．试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx =++经过A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴933030a b a b ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，解得：33233a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为2323333y x x =--+则D 点坐标为（﹣2，3）；②当2＜t≤3时，如图：此时点Q 在AD 的延长线上，点P 在OA 上，设QP 与DC 交于点H ，∵DC ∥AP ，∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，∴△QDH 是等边三角形，∴S=S △QAP ﹣S △QDH ，∵QA=t ，∴S △QAP=234t ，∵QD=t ﹣2，∴S △QDH=232)4t -，∴S=2233(2)44t --33t③当3＜t≤4时，如图：此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，∴OF=OP•tan60°=3（t﹣3），∴S△FOP=132⨯t﹣3）（t﹣3）=23(3)t-，∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=33t-．∴2333(3)2t t---=23114332t t-+-．综上所述，S与t之间的函数关系式为S=223(02)3 3 (23)31143 3 (34)2t tt tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（3）∵OC=3，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：过点M2作AO的垂线，垂足为N，∵∠M2AO=30°，AO=3，∴M2O=32，又∵∠OM2N=M2AO=30°，∴ON=12OM2=34，M2N=3ON=33，∴M2的坐标为（34-，33），同理可得M1的坐标为（94-，33）；②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，∴OAAM3AMOA3OA=3，∴3或AM=33AM⊥OA，且点M在第二象限，∴点M的坐标为（﹣33）或（﹣3，33．综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，3），（﹣3，33，（94-，33），（34-，33）．考点：二次函数综合题；相似三角形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；相似三角形的判定；综合题；压轴题．。

本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .一、选择题 二、填空题 三、解答题1. (2021年青海西宁12分 )如图 ,抛物线213y x x 242=-+-交x 轴于A ,B 两点 (点A 在点B 的左侧 ) ,交y 轴于点C ,分别过点B ,C 作y 轴 ,x 轴的平行线 ,两平行线交于点D ,将△BDC 绕点C 逆时针旋转 ,使点D 旋转到y 轴上得到△FEC ,连接BF ． (1 )求点B ,C 所在直线的函数解析式； (2 )求△BCF 的面积；(3 )在线段BC 上是否存在点P ,使得以点P ,A ,B 为顶点的三角形与△BOC 相似 ?假设存在 ,求出点P 的坐标；假设不存在 ,请说明理由．【答案】解： (1 )在213y x x 242=-+-中 ,当y =0时 ,213x x 2042-+-= ,解得x 1 =2 ,x 2 =4 , ∴点A ,B 的坐标分别为 (2 ,0 ) , (4 ,0 )．当x =0时 ,y =﹣2 ,∴C 点的坐标分别为 (0 ,﹣2 )．设直线BC 的解析式为y =kx +b (k≠0 ) ,那么b 24k b 0=-⎧⎨+=⎩ ,解得1k 2b 2⎧=⎪⎨⎪=-⎩．∴直线BC 的解析式为1y x 32=-． (2 )∵CD ∥x 轴 ,BD ∥y 轴 ,∴∠ECD =90° ,∵点B ,C 的坐标分别为 (4 ,0 ) , (0 ,﹣2 ) ,∴BC =2222OB OC 4225+=+=． ∵△FEC 是由△BDC 绕点C 逆时针旋转得到 , ∴△BCF 的面积 =12BC•FC =12525102⨯⨯=． (3 )存在．分两种情况讨论：①如答图 ,过A 作AP 1⊥x 轴交线段BC 于点P 1 ,那么△BAP 1∽△BOC , ∵点A 的坐标为 (2 ,0 ) ,∴点P 1的横坐标是2． ∵点P 1在点BC 所在直线上 ,∴11y x 323122=-=⨯-=-．∴点P 1的坐标为 (2 ,﹣1 )． ②如答图 ,过A 作AP 2⊥BC ,垂足点P 2 ,过点P 2作P 2Q ⊥x 轴于点Q , ∴△BAP 2∽△BCO ． ∴22AP BP AB CO CB OB == ,即22AP BP 22425== , ∴AP 2 =255 ,BP 2 =455． ∵12AB•QP 2 =12AP 2•BP 2 ,∴2QP2=255×455,解得QP2=45．∴点P2的纵坐标是45-．∵点P2在BC所在直线上,∴x =125．∴点P2的坐标为(124,55-)．∴满足条件的P点坐标为(2 ,﹣1 )或(124,55-)．【考点】1．二次函数综合题；2．面动旋转问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．平行的性质；6．勾股定理；7．相似三角形的判定和性质；8．分类思想的应用．【分析】(1 )根据坐标轴上点的坐标特征可得点B ,C的坐标,再根据待定系数法可得点B ,C所在直线的函数解析式．(2 )根据学科网勾股定理可得BC的长,根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解．(3 )存在．分两种情况讨论：①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1 ,那么△BAP1∽△BOC；②过A作AP2⊥BC ,垂足点P2 ,过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．那么△BAP2∽△BCO；依此讨论即可求解．(1 )求抛物线的解析式；(3 )在(2 )的条件下,连结PC ,那么在CD上方的抛物线局部是否存在这样的点P ,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?假设存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状；假设不存在,请说明理由.∵A (3 ,0 ) ,点C (0 ,4 ) ,∵m≠0且m≠3 ,∴m =1 .∵△CFP∽△AEM ,∴∠CPF =∠AME .∵∠AME =∠CMF ,∴∠CPF =∠CMF .∴CP =CM . ∴△PCM为等腰三角形 .综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为2316或1 ,△PCM为直角三角形或等腰三角形.3. (2021年云南昭通8分)如图1 ,A (3 ,0 )、B (4 ,4 )、原点O (0 ,0 )在抛物线y =ax2+bx +c (a≠0 )上．(1 )求抛物线的解析式．(2 )将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D ,求m的值及点D的坐标．(3 )如图2 ,假设点N在抛物线上,且∠NBO =∠ABO ,那么在(2 )的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)【答案】解：(1 )∵A (3 ,0 )、B (4 ,4 )、O (0 ,0 )在抛物线y =ax2+bx +c (a≠0 )上,∴9a3b c016a4b c4c0++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,解得：a1b3c0=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴抛物线的解析式为：y =x2﹣3x .∴11OP OD 1ON OB 2== .∴点P 1的坐标为 (345,832-- ) . 4. (2021年甘肃天水12分 )如图1 ,抛物线y =ax 2 +bx (a≠0 )经过A (3 ,0 )、B (4 ,4 )两点．(1 )求抛物线的解析式；(2 )将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D ,求m的值及点D的坐标；(3 )如图2 ,假设点N在抛物线上,且∠NBO =∠ABO ,那么在(2 )的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．∴将A与B两点坐标代入得：9a3b016a4b4+=⎧⎨+=⎩,解得：a1b3=⎧⎨=-⎩.∴抛物线的解析式是y =x2﹣3x .∴点P1的坐标为(345 832 -，-) .将△OP1D沿直线y =﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2 (453 328，) .综上所述,点P的坐标是(345416-，-)或(453328，) .5. (2021浙江湖州12分)如图1 ,菱形ABCD的边长为23,点A在x轴负半轴上,点B在坐标原点．点D的坐标为( - 3,3 ) ,抛物线y =ax2+b (a≠0 )经过AB、CD两边的中点．(1 )求这条抛物线的函数解析式；(2 )将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2 ) ,过点B作BE⊥CD于点E ,交抛物线于点F ,连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒(0＜t＜3 )①是否存在这样的t ,使△ADF与△DEF相似?假设存在,求出t的值；假设不存在,请说明理由；②连接FC ,以点F为旋转中|心,将△FEC按顺时针方向旋转180° ,得△FE′C′ ,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的局部围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围．(写出答案即可)【答案】解：(1 )由题意得AB的中点坐标为(－3 ,0 ) ,CD的中点坐标为(0 ,3 ) ,分别代入y =ax2+b ,得()23a+b=0b3⎧-⎪⎨=⎪⎩,解得,a=1b3-⎧⎨=⎩.∴这条抛物线的函数解析式为y =－x2＋3 .6. (2021福建三明12分 )直线y=2x 5-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ,抛物线2y=x +bx+c -的顶点M 在直线AB 上 ,且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．(1 )如图① ,当点M 与点A 重合时 ,求：②点N 的坐标和线段MN 的长； (4分 )(2 )抛物线2y=x +bx+c -在直线AB 上平移 ,是否存在点M ,使得△OMN 与△AOB 相似 ?假设存在 ,【考点】二次函数综合题 ,二次函数的性质 ,曲线上点的坐标与方程的关系 ,勾股定理 ,相似三角形的判定和性质 ,等腰三角形的判定 .【分析】 (1 )①由直线y=2x 5-与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ,求出点A 、B 的坐标 ,由顶点M 与学科网点A 重合 ,根据二次函数的性质求出顶点解析式 . ②联立y=2x 5-和225y=x +5x 4--,求出点N 的坐标 ,过N 作NC ⊥x 轴 ,由勾股定理求出线段MN 的长 .。

因动点产生的相似三角形问题关键词：动点、相似三角形动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA”定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS”定理3：三边对应成比例。

“SSS”相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．两个直角三角形相似的判定方法（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。

题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似或者通过动点产生相似解决有关问题一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

一、选择题1. （2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【】A. 1个B. 2个C.3个D.4个二、填空题1.（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=34．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或214；④0＜BE≤245，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．三、解答题1. （2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2. （2014年湖北十堰12分）已知抛物线C 1：()2y a x 12=+-的顶点为A ，且经过点B （﹣2，﹣1）．（1）求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；（2）如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线AB 相交于C ，D 两点，求S △OAC ：S △OAD 的值；（3）如图2，若过P （﹣4，0），Q （0，2）的直线为l ，点E 在（2）中抛物线C 2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E ．问：是否存在直线m ，使直线l ，m 与x 轴围成的三角形和直线l ，m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，说明理由．3. （2014年湖南郴州10分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH ．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，点G 刚好落在线段AD 上？（2）设正方形MNGH 与Rt △ABC 重叠部分的图形的面积为S ，当重叠部分的图形是正方形时，求出S 关于t 的函数关系式并写出自变量t 的取值范围．（3）设正方形MNGH 的边NG 所在直线与线段AC 交于点P ，连接DP ，当t 为何值时，△CPD 是等腰三角形？4. （2014年湖南衡阳10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？5. （2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．6. （2014年内蒙古呼伦贝尔13分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．7. （2014年山东日照14分）如图1，在菱形OABC中，已知OA=AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过O，C，B三点．（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．①当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；②在①的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8. （2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．9. （2014年宁夏区10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．10．（2014年新疆区、兵团12分）如图，直线4y x83=-+与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．11．（2014年新疆乌鲁木齐14分）的正方形ABCD的顶点A、B 在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．12．（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为AC2，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．13．（2014年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P （1，1）为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N ，点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF ，过点PE ⊥PF 交y 轴于点E ，设点F 运动的时间是t 秒（t ＞0）（1）若点E 在y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF ；（2）在点F 运动过程中，设OE=a ，OF=b ，试用含a 的代数式表示b ；（3）作点F 关于点M 的对称点F′，经过M 、E 和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连接QE ．在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q 、O 、E 为顶点的三角形与以点P 、M 、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14. （2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线2y ax bx c =++经过点A(x 1，0)，B(x 2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N 。

一、动点产生的相似三角形问题1、 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =． 由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。

中考压轴题动态几何之直角三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写直角三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，直角三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为．原创模拟预测题2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q 从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？原创模拟预测题3．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴分别相交于点A （﹣2，0），B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P ．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H ．①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．原创模拟预测题4．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．原创模拟预测题5．如图，已知直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．原创模拟预测题6．如图，二次函数2+y x bx c 的图象交x 轴于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，交y 轴于点C ，连接BC ，动点P 以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；t时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ （3）如图2，当2的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．原创模拟预测题7．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x ＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．原创模拟预测题8．如图，已知二次函数232y ax x c =++的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数232y ax x c =++的表达式； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标；（4）若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．原创模拟预测题9．如图1，一条抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且当x =﹣1和x =3时，y 的值相等，直线421815-=x y 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ．（1）求这条抛物线的表达式．（2）动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒．①若使△BPQ 为直角三角形，请求出所有符合条件的t 值；②求t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P 运动到OB 的中点时，过点P 作PD ⊥x 轴，交抛物线于点D ，连接OD ，OM ，MD 得△ODM ，将△OPD 沿x 轴向左平移m 个单位长度（0＜m ＜2），将平移后的三角形与△ODM 重叠部分的面积记为S ，求S 与m 的函数关系式．。