最新数学理科选修4-4《极坐标》完整版-经典习题及详细答案

极坐标与参数方程单元练习1参考答案【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B二、填空题：1、⎪⎭⎫⎝⎛-422π，或写成⎪⎭⎫⎝⎛4722π，。

2、5，6。

3、d ==3262。

4、()22s in 2c o s 02yx ρθρθ-==，即，它表示抛物线。

5、13139±=y 。

6、3610+。

三、解答题1、1、如下图，设圆上任一点为P （ρθ，），则((((2366O P P O A O A πρθ=∠=-=⨯=，，((((co s R t O A P O PO A P O A∆=⋅∠中， 6c o s 6πρθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭而点O )32,0(π A )6,0(π符合P2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=（2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+yx 整理得到02)13(2=-++t t①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。

所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。

3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）()()3c o s 2sin 10P P d θθθ==设，，则到定点（，）的距离为3c os )55d θθ=(当时，取最小值极坐标与参数方程单元练习2参考答案答案：1.ρcos θ= -1；2.56πθ=；3. 4.等边三角形；5.(x-2)2+(y-2)2=2;()2o s{2inxyθθθ=+=+为参数;9、1；1>θ2；7.相交；8. ()11252x tty⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数9.两条射线；10.x-3y=5(x≥2);(5, 0)；12.椭圆；13.1212,55⎛⎫⎪⎝⎭；15.700；16.相切；17.（-1，2）或（-3，4）；18.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；19.216(04)2(4)4bb b b+<≤>或；20.极坐标与参数方程单元练习3参考答案13．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈434ππα，;14．()()2,1,4,3--; 15．13139±=y;16．3610+;17．2218．解：把直线参数方程化为标准参数方程为参数）（23212ttytx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=12321212222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-ttyx，得：代入0642=--tt整理，得：，则，设其二根为21tt 642121-=⋅=+tttt，()()10240644422122121==--=-+=-=ttttttAB从而弦长为19（1）把原方程化为())cos4(2s in32θθ-=-xy，知抛物线的顶点为()θθs in3,cos4它是在椭圆191622=+yx上；（2）当时，弦长最大为12。

高中数学选修 4-4 极坐标系练习题姓名班别成绩一、选择题〔每题 5 分，共 50 分〕1．将点的直角坐标 (－2，2 3 )化成极坐标得 ( )．A ．(4， 2)B ．(－4， 2)C ．(－ 4， )D ． (4， )33332．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是 ( )．A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆．极坐标方程 ＝2化为普通方程是 ()．31＋cosA ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝ 4(1－ x)C ． y 2＝2(x －1)D ．y 2＝ 2(1－ x)．点 P 在曲线 ＋ ＝ 上，其中 ≤≤ π，＞ 0，那么点 P 的轨迹是 ()．4 cos 2 sin 30 4A ．直线 x ＋2y － 3＝ 0B ．以 (3， 0)为端点的射线C.圆(x － 2)2＋ y ＝ 1D ．以 (1，1)， (3，0)为端点的线段5．设点 P 在曲线 sin ＝ 2 上，点 Q 在曲线 ＝ － 2cos 上，那么 | PQ| 的最小值为〔〕A ．2B ．1C ． 3D ．06．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2＝12经过直角坐标＋4sin 23cos2x ＝ 1x系下的伸缩变换2后，得到的曲线是 ()．3y ＝y3A ．直线B ．椭圆C ． 双曲线D ． 圆．在极坐标系中，直线 sin( ＋ π，被圆 ＝ 3 截得的弦长为 ()．) ＝724A ． 2 2B ． 2C ． 2 5D ． 2 38．＝ 2 (cos －sin )(＞0)的圆心极坐标为 ( )．A ．(－ 1，3π)B ．(1，7π)C ． ( 2 ， π)D ．(1，5π)44449．极坐标方程为 lg ＝1＋lg cos ，那么曲线上的点 (， )的轨迹是 ( )．A ．以点 (5， 0)为圆心， 5 为半径的圆B．以点 (5，0)为圆心， 5 为半径的圆，除去极点C.以点 (5，0)为圆心， 5 为半径的上半圆D．以点 (5，0)为圆心， 5 为半径的右半圆．方程＝1表示的曲线是 ()．10－＋ sin1 cosA．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线题号12345678910答案二、填空题〔每题 5 分，共30 分〕11．在极坐标系中，以(a，π)为圆心，以 a 为半径的圆的极坐标方程为．212．极坐标方程2cos－＝ 0 表示的图形是．13．过点 ( 2 ，π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是．414．曲线＝8sin和＝－ 8cos (＞0)的交点的极坐标是．C1， C2 15．曲线C1， C2的极坐标方程分别为cos＝3，＝ 4cos(其中0≤＜π)，那么2交点的极坐标为．16． P 是圆＝ 2Rcos上的动点，延长OP到Q，使 | PQ|＝2| OP|，那Q 点的轨迹方程么是．三、解答题〔共70 分〕17．〔10 分〕求以点A(2， 0)为圆心，且经过点B(3，π)的圆的极坐标方程．318．〔 12 分〕先求出半径为a，圆心为 (0，0)的圆的极坐标方程．再求出(1)极点在圆周上时圆的方程；(2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程．42，点 P 的直角坐标为 ( 3 cos，sin)，求19．〔 12 分〕直线l 的极坐标方程为πcos(＋)4点 P 到直线 l 距离的最大值及最小值．20．〔 12 分〕在极坐标系中，直线l 的方程为sin(π，曲线 C 的方程为4cos ，求直) 26线 l 被曲线 C 截得的弦长．21.〔12分〕在直角坐标系xOy中，直线C1 :22x = 2，圆 C2： x 1y 21 ,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

高中数学理科选修4-4极坐标系习题（附答案）一、单项选择及填空1、在直角坐标系xOy 中，点A （﹣2，2）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（ ）A ． B.(2） C ． D ． 2、在极坐标系中，圆心坐标是),(πa （0>a ），半径为a 的圆的极坐标方程是（ ）A.θρcos 2a -=（232πθπ<≤） B.θρcos a =（πθ<≤0） C.θρsin 2a -=（232πθπ<≤） D.θρsin a =（πθ<≤0） 3、极坐标系中，圆上的点1=ρ到直线2sin cos =+θρθρ的距离最大值为 （ ） A.2 B. 12+ C. 12- D. 224、在极坐标系中，点)3,4(πM 到曲线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.85、欲将曲线22143x y +=变换成曲线221x y ''+=，需经过的伸缩变换ϕ为（ ） A .2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ B.12x x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩ C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩ D.1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩6、在极坐标系中，直线02)sin (cos =+-θθρ被曲线C ：2=ρ所截得弦的中点的极坐标为 ．7、在极坐标系中，以2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为 . 8、在极坐标系中，点32,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线:3cos 4sin 3l ρθρθ-=的距离为 ．三、解答题.9、在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ=2与曲线C2：，交于不同的两点A，B．（1）求|AB|的值；（2）求过点C（1，0）且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．10、已知曲线C的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程参考答案一、单项选择1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】A5、【答案】B6、【答案】)43,2(π 7、【答案】4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8、【答案】1 三、解答题9、【答案】（1）把曲线C 1和曲线C 2 的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d 的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．（2）用待定系数法求得直线l 的方程为直线l 的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l 的极坐标方程解：（1）曲线C 1：ρ=2，即x 2+y 2=4，表示以原点O （0，0）为圆心，半径等于2的圆．曲线C 2：，即 x ﹣y+2=0，表示一条直线． 圆心到直线的距离为d==，故弦长|AB|=2=2．（2）设过点C （1，0）且与直线AB 平行的直线l 的方程为 x ﹣y+m=0，把点C 的坐标代入求得m=﹣1，故直线l 的方程为 x ﹣y ﹣1=0，即 ρcos θ﹣ρsin θ﹣1=0，即ρsin （θ﹣）=1．10、60y +-=试题分析：根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程1sin cos 32ρθθ+=化为直角坐标方程60y +-=试题解析：由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，5分又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 60y +-=．10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程。

极坐标练习题2第1页共6页高中数学选修4-4 极坐标练习题 2班号姓名一、选择题1．已知M5,，下列所给出的不能表示M 点的坐标的是3A．5,3B．5,4C．5,2D．5,5 3332．点P 1,3，则它的极坐标是A．2,B．2,4C．2,D．2,433 333．极坐标方程cos表示的曲线是4A ．双曲线B ．椭圆C．抛物线D．圆4．圆 2 (cos sin) 的圆心坐标是A．1,4B．1,C．2,D．2,24445．在极坐标系中，与圆 4 sin相切的一条直线方程为A ．sin 2 B．cos 2 C．cos4D．cos46．已知点A2,, B3,O 0,0则ABO 为2,24A ．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形7．(0) 表示的图形是4A ．一条射线B．一条直线C．一条线段D．圆8．直线与cos() 1 的位置关系是A ．平行B ．垂直C．相交不垂直D．与有关，不确定9．两圆 2 cos,2sin 的公共部分面积是A.1B.2C.1D.2422极坐标练习题 2第2页共 6 页10.已知点P1的球坐标是P1(23, , ), P2的柱坐标是 P2(5, ,1) ,求P1P2的最小值.4A．2 3 6 B．23 5 C．23 5 D．2二、填空题11．极坐标方程 4 sin 2 5 化为直角坐标方程是212．圆心为C3,，半径为 3 的圆的极坐标方程为613．已知直线的极坐标方程为sin(2，则极点到直线的距离是)4214、在极坐标系中，点11到直线sin() 1的距离等于 ____________．P 2,6615、与曲线cos 1 0 关于对称的曲线的极坐标方程是___________________ ．4三、解答题16．说说由曲线y tan x 得到曲线y3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换．2， O 为极点，求使''点坐标．17．已知P 5,POP是正三角形的P318．棱长为 1 的正方体OABC D1A1B1C1中，对角线OB'与 BD '相交于点P，顶点 O 为坐标原点， OA 、 OC 分别在x轴 , y轴的正半轴上，已知点P 的球坐标P,,，求, tan , sin ．119．ABC 的底边BC10, A B, 以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹方程．220．在平面直角坐标系中已知点 A （ 3， 0）， P 是圆x 2y 2 1 上一个运点，且AOP 的平分线交PA 于 Q 点，求 Q 点的轨迹的极坐标方程．PQO A21．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 3,，半径 r 1，Q点在圆C上运动．6（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）若 P 在直线 OQ 上运动，且OQ : QP2:3 ，求动点P的轨迹方程．22．建立极坐标系证明：已知半圆直径AB2r (r 0) ，半圆外一条直线 l 与AB所在直线垂直相交于点 T ，并且AT2a(2a r )．若半圆上相异两点M 、 N 到l的距离2MP,NQ，满足 MP:MA NQ : NA 1，则 MA NA AB ．23．如图，AD BC ，D是垂足，H是AD上任意一点，直线BH 与 AC 交于 E 点，直线CH 与 AB 交于 F 点，求证：EDA FDA ．AFEHB D C极坐标练习题 2 参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案ACDABDABCA二．填空题11． y25x25 ；12． 6 cos；13．2； 14． 3 1 ； 15． sin1 0462三．解答题16．解： ytan x 的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1，得到 ytan 2x ，2再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，得到曲线y 3 tan 2x ．设 y '3 tan x ' ，变换公式为x 'x, 0 y 'y, 0将其代入 y '3 tan x ' 得3 x '1 1 ， xy '223 y17.P '(5, )或 P '(5, ) 318.3a, tan2 ,sin1219. 解:设 M,是曲线上任意一点 ,在ABC 中由正弦定理得 :103 )sin(sin22得A 的轨迹是:30 40 sin 220.: O ,2, Q , ,P1,2为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设解 以SOQASOQPSOAP1 3 sin 1 sin 1 3 1 sin2 ， 3cos22 2221．（ 1）26 cos0 ；（ 2） 215 cos50 06622．证法一：以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为2r cos， 设 M1 ,1 ,N(2 ,2)，则 12r cos 1 ，22r cos2 ， 又MP2a 1 cos 12a 2r cos21， NQ2a2 cos22a 2r cos22 ，MP 2a 2r cos 21 2r cos 1 NQ2a 2r cos 222r cos 2cos 1, cos 2 是 方 程 r cos 2r cos a 0 的两个根，由韦达定理：cos 1cos21， MA NA2r cos 12r cos 2 2rAB证法二：以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的的极坐标方程为2r cos，设 M1 ,1, N (2, 2)又由题意知， M1 ,1, N (2 , 2 )2a上， 2r cos2a 在抛物线1 cos1 ，cosr cos 2r cos a由韦达定理： cos 1cos， cos 1 , cos 2 是方程 r cos 2r cos a 0 的两个根，21， MA NA 2r cos 1 2r cos 2 2r AB23．证明：以 BC 所在的直线为x 轴， AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，设A(0, a) ，B(b,0) ， C (c,0) ， H ( 0, t) ，则A:xylBH1，即 txby btbtFlCH x y 1，即 txcyct 0E:tHcl AC :xy 1 ，即 ax cy accaxy1 ，即 axby ab0 BDCl AB :abE bc a t , b c t，F bc t a , at c bab ct ab ctbt ac ac bt kDEb c at ab ctb c at ab ct bc a tbc a tkDFc b atbt acb c at ac bt bc t abc a tEDCFDB , EDA FDA。

考点2 极坐标与直角坐标的互化（2024·北京卷（理））在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a ＞0）与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y ＝a ，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即（x －1）2＋y 2＝1，圆心C （1,0），半径r ＝1.∵直线与圆相切，∴d ＝√22＝1，∴|a －1|＝√2. 又a ＞0，∴a ＝√2＋1.【答案】√2＋1（2024·全国Ⅰ卷（理））选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解析】（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为（x ＋1）2＋y 2＝4.（2）由（1）知C 2是圆心为A （－1,0），半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B （0,2）且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满意题意．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以√21＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.【答案】见解析（2024·江苏卷）选修4－4：坐标系与参数方程−a)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6的弦长．【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为（2,0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为−a)＝2，ρsin(π6，则直线l过点A（4,0），且倾斜角为π6所以A为直线l与圆C的一个交点．.设另一个交点为B，则∠OAB＝π6如图，连结OB．因为OA为直径，从而∠OBA＝π，2＝2√3.所以AB＝4cos π6因此，直线l被曲线C截得的弦长为2√3.【答案】见解析。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

1 高考真题
（2024•全国II 卷（文））[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P .
（1）当时，求及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
【解析】（1）因为点在曲线上， 所以；
即，所以
因为直线l 过点且与垂直，
所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l 的极坐标方程为；
（2）设，则，，
由题意，，所以，故，整理得，
因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以， 所以，
P 点轨迹的极坐标方程为，即.
【答案】（1）
l 的极坐标方程为；（2）
000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3π
θ0ρ000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=004sin 4sin 3π
ρθ===)3M π
tan 3OM k π
==(4,0)A OM l 4)y x =-40x -=cos sin 4ρθθ+=sin()26π
ρθ+=(,)P x y OP y
k x =4AP y
k x =-OP AP ⊥1OP AP k k =-2
214y x x =--2240x y x +-=02,24x y ≤≤≤≤24cos 0ρρθ-=4cos ()42π
π
ρθθ=≤≤0ρ=sin()26π
ρθ+=4cos ()42ππ
ρθθ=≤≤。