最新数学理科选修4-4《极坐标》完整版-经典习题及详细答案
- 格式:doc
- 大小:1.19 MB
- 文档页数:30
极坐标与参数方程单元练习1参考答案【试题答案】一、选择题:1、D 2、D 3、B 4、D 5、B二、填空题:1、⎪⎭⎫⎝⎛-422π,或写成⎪⎭⎫⎝⎛4722π,。
2、5,6。
3、d ==3262。
4、()22s in 2c o s 02yx ρθρθ-==,即,它表示抛物线。
5、13139±=y 。
6、3610+。
三、解答题1、1、如下图,设圆上任一点为P (ρθ,),则((((2366O P P O A O A πρθ=∠=-=⨯=,,((((co s R t O A P O PO A P O A∆=⋅∠中, 6c o s 6πρθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭而点O )32,0(π A )6,0(π符合P2、解:(1)直线的参数方程是是参数)t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=(2)因为点A,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+yx 整理得到02)13(2=-++t t①因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2。
所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|=|-2|=2。
3、(先设出点P 的坐标,建立有关距离的函数关系)()()3c o s 2sin 10P P d θθθ==设,,则到定点(,)的距离为3c os )55d θθ=(当时,取最小值极坐标与参数方程单元练习2参考答案答案:1.ρcos θ= -1;2.56πθ=;3. 4.等边三角形;5.(x-2)2+(y-2)2=2;()2o s{2inxyθθθ=+=+为参数;9、1;1>θ2;7.相交;8. ()11252x tty⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数9.两条射线;10.x-3y=5(x≥2);(5, 0);12.椭圆;13.1212,55⎛⎫⎪⎝⎭;15.700;16.相切;17.(-1,2)或(-3,4);18.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;19.216(04)2(4)4bb b b+<≤>或;20.极坐标与参数方程单元练习3参考答案13.⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈434ππα,;14.()()2,1,4,3--; 15.13139±=y;16.3610+;17.2218.解:把直线参数方程化为标准参数方程为参数)(23212ttytx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=12321212222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-ttyx,得:代入0642=--tt整理,得:,则,设其二根为21tt 642121-=⋅=+tttt,()()10240644422122121==--=-+=-=ttttttAB从而弦长为19(1)把原方程化为())cos4(2s in32θθ-=-xy,知抛物线的顶点为()θθs in3,cos4它是在椭圆191622=+yx上;(2)当时,弦长最大为12。
高中数学选修 4-4 极坐标系练习题姓名班别成绩一、选择题〔每题 5 分,共 50 分〕1.将点的直角坐标 (-2,2 3 )化成极坐标得 ( ).A .(4, 2)B .(-4, 2)C .(- 4, )D . (4, )33332.极坐标方程 cos =sin2( ≥0)表示的曲线是 ( ).A .一个圆B .两条射线或一个圆C .两条直线D .一条射线或一个圆.极坐标方程 =2化为普通方程是 ().31+cosA .y 2=4(x -1)B .y 2= 4(1- x)C . y 2=2(x -1)D .y 2= 2(1- x).点 P 在曲线 + = 上,其中 ≤≤ π,> 0,那么点 P 的轨迹是 ().4 cos 2 sin 30 4A .直线 x +2y - 3= 0B .以 (3, 0)为端点的射线C.圆(x - 2)2+ y = 1D .以 (1,1), (3,0)为端点的线段5.设点 P 在曲线 sin = 2 上,点 Q 在曲线 = - 2cos 上,那么 | PQ| 的最小值为〔〕A .2B .1C . 3D .06.在满足极坐标和直角坐标互的化条件下,极坐标方程2=12经过直角坐标+4sin 23cos2x = 1x系下的伸缩变换2后,得到的曲线是 ().3y =y3A .直线B .椭圆C . 双曲线D . 圆.在极坐标系中,直线 sin( + π,被圆 = 3 截得的弦长为 ().) =724A . 2 2B . 2C . 2 5D . 2 38.= 2 (cos -sin )(>0)的圆心极坐标为 ( ).A .(- 1,3π)B .(1,7π)C . ( 2 , π)D .(1,5π)44449.极坐标方程为 lg =1+lg cos ,那么曲线上的点 (, )的轨迹是 ( ).A .以点 (5, 0)为圆心, 5 为半径的圆B.以点 (5,0)为圆心, 5 为半径的圆,除去极点C.以点 (5,0)为圆心, 5 为半径的上半圆D.以点 (5,0)为圆心, 5 为半径的右半圆.方程=1表示的曲线是 ().10-+ sin1 cosA.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线题号12345678910答案二、填空题〔每题 5 分,共30 分〕11.在极坐标系中,以(a,π)为圆心,以 a 为半径的圆的极坐标方程为.212.极坐标方程2cos-= 0 表示的图形是.13.过点 ( 2 ,π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是.414.曲线=8sin和=- 8cos (>0)的交点的极坐标是.C1, C2 15.曲线C1, C2的极坐标方程分别为cos=3,= 4cos(其中0≤<π),那么2交点的极坐标为.16. P 是圆= 2Rcos上的动点,延长OP到Q,使 | PQ|=2| OP|,那Q 点的轨迹方程么是.三、解答题〔共70 分〕17.〔10 分〕求以点A(2, 0)为圆心,且经过点B(3,π)的圆的极坐标方程.318.〔 12 分〕先求出半径为a,圆心为 (0,0)的圆的极坐标方程.再求出(1)极点在圆周上时圆的方程;(2)极点在周上且圆心在极轴上时圆的方程.42,点 P 的直角坐标为 ( 3 cos,sin),求19.〔 12 分〕直线l 的极坐标方程为πcos(+)4点 P 到直线 l 距离的最大值及最小值.20.〔 12 分〕在极坐标系中,直线l 的方程为sin(π,曲线 C 的方程为4cos ,求直) 26线 l 被曲线 C 截得的弦长.21.〔12分〕在直角坐标系xOy中,直线C1 :22x = 2,圆 C2: x 1y 21 ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
高中数学理科选修4-4极坐标系习题(附答案)一、单项选择及填空1、在直角坐标系xOy 中,点A (﹣2,2).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点A 的极坐标为( )A . B.(2) C . D . 2、在极坐标系中,圆心坐标是),(πa (0>a ),半径为a 的圆的极坐标方程是( )A.θρcos 2a -=(232πθπ<≤) B.θρcos a =(πθ<≤0) C.θρsin 2a -=(232πθπ<≤) D.θρsin a =(πθ<≤0) 3、极坐标系中,圆上的点1=ρ到直线2sin cos =+θρθρ的距离最大值为 ( ) A.2 B. 12+ C. 12- D. 224、在极坐标系中,点)3,4(πM 到曲线2)3cos(=-πθρ上的点的距离的最小值为( )A.2B.4C.6D.85、欲将曲线22143x y +=变换成曲线221x y ''+=,需经过的伸缩变换ϕ为( ) A .2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ B.12x x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩ C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩ D.1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩6、在极坐标系中,直线02)sin (cos =+-θθρ被曲线C :2=ρ所截得弦的中点的极坐标为 .7、在极坐标系中,以2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,2为半径的圆的极坐标方程为 . 8、在极坐标系中,点32,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线:3cos 4sin 3l ρθρθ-=的距离为 .三、解答题.9、在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:ρ=2与曲线C2:,交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.10、已知曲线C的极坐标方程为πsin()33ρθ+=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程参考答案一、单项选择1、【答案】B2、【答案】A3、【答案】B4、【答案】A5、【答案】B6、【答案】)43,2(π 7、【答案】4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8、【答案】1 三、解答题9、【答案】(1)把曲线C 1和曲线C 2 的方程化为直角坐标方程,他们分别表示一个圆和一条直线.利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d 的值,再利用弦长公式求得弦长|AB|的值.(2)用待定系数法求得直线l 的方程为直线l 的方程,再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l 的极坐标方程解:(1)曲线C 1:ρ=2,即x 2+y 2=4,表示以原点O (0,0)为圆心,半径等于2的圆.曲线C 2:,即 x ﹣y+2=0,表示一条直线. 圆心到直线的距离为d==,故弦长|AB|=2=2.(2)设过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的方程为 x ﹣y+m=0,把点C 的坐标代入求得m=﹣1,故直线l 的方程为 x ﹣y ﹣1=0,即 ρcos θ﹣ρsin θ﹣1=0,即ρsin (θ﹣)=1.10、60y +-=试题分析:根据cos x ρθ=,sin y ρθ=,将极坐标方程1sin cos 32ρθθ+=化为直角坐标方程60y +-=试题解析:由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=,5分又cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以曲线C 60y +-=.10分考点:极坐标方程化为直角坐标方程。
极坐标练习题2第1页共6页高中数学选修4-4 极坐标练习题 2班号姓名一、选择题1.已知M5,,下列所给出的不能表示M 点的坐标的是3A.5,3B.5,4C.5,2D.5,5 3332.点P 1,3,则它的极坐标是A.2,B.2,4C.2,D.2,433 333.极坐标方程cos表示的曲线是4A .双曲线B .椭圆C.抛物线D.圆4.圆 2 (cos sin) 的圆心坐标是A.1,4B.1,C.2,D.2,24445.在极坐标系中,与圆 4 sin相切的一条直线方程为A .sin 2 B.cos 2 C.cos4D.cos46.已知点A2,, B3,O 0,0则ABO 为2,24A .正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.直角等腰三角形7.(0) 表示的图形是4A .一条射线B.一条直线C.一条线段D.圆8.直线与cos() 1 的位置关系是A .平行B .垂直C.相交不垂直D.与有关,不确定9.两圆 2 cos,2sin 的公共部分面积是A.1B.2C.1D.2422极坐标练习题 2第2页共 6 页10.已知点P1的球坐标是P1(23, , ), P2的柱坐标是 P2(5, ,1) ,求P1P2的最小值.4A.2 3 6 B.23 5 C.23 5 D.2二、填空题11.极坐标方程 4 sin 2 5 化为直角坐标方程是212.圆心为C3,,半径为 3 的圆的极坐标方程为613.已知直线的极坐标方程为sin(2,则极点到直线的距离是)4214、在极坐标系中,点11到直线sin() 1的距离等于 ____________.P 2,6615、与曲线cos 1 0 关于对称的曲线的极坐标方程是___________________ .4三、解答题16.说说由曲线y tan x 得到曲线y3tan 2x 的变化过程,并求出坐标伸缩变换.2, O 为极点,求使''点坐标.17.已知P 5,POP是正三角形的P318.棱长为 1 的正方体OABC D1A1B1C1中,对角线OB'与 BD '相交于点P,顶点 O 为坐标原点, OA 、 OC 分别在x轴 , y轴的正半轴上,已知点P 的球坐标P,,,求, tan , sin .119.ABC 的底边BC10, A B, 以B点为极点,BC为极轴,求顶点A的轨迹方程.220.在平面直角坐标系中已知点 A ( 3, 0), P 是圆x 2y 2 1 上一个运点,且AOP 的平分线交PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程.PQO A21.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C 3,,半径 r 1,Q点在圆C上运动.6( 1)求圆 C 的极坐标方程;( 2)若 P 在直线 OQ 上运动,且OQ : QP2:3 ,求动点P的轨迹方程.22.建立极坐标系证明:已知半圆直径AB2r (r 0) ,半圆外一条直线 l 与AB所在直线垂直相交于点 T ,并且AT2a(2a r ).若半圆上相异两点M 、 N 到l的距离2MP,NQ,满足 MP:MA NQ : NA 1,则 MA NA AB .23.如图,AD BC ,D是垂足,H是AD上任意一点,直线BH 与 AC 交于 E 点,直线CH 与 AB 交于 F 点,求证:EDA FDA .AFEHB D C极坐标练习题 2 参考答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案ACDABDABCA二.填空题11. y25x25 ;12. 6 cos;13.2; 14. 3 1 ; 15. sin1 0462三.解答题16.解: ytan x 的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1,得到 ytan 2x ,2再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线y 3 tan 2x .设 y '3 tan x ' ,变换公式为x 'x, 0 y 'y, 0将其代入 y '3 tan x ' 得3 x '1 1 , xy '223 y17.P '(5, )或 P '(5, ) 318.3a, tan2 ,sin1219. 解:设 M,是曲线上任意一点 ,在ABC 中由正弦定理得 :103 )sin(sin22得A 的轨迹是:30 40 sin 220.: O ,2, Q , ,P1,2为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设解 以SOQASOQPSOAP1 3 sin 1 sin 1 3 1 sin2 , 3cos22 2221.( 1)26 cos0 ;( 2) 215 cos50 06622.证法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为2r cos, 设 M1 ,1 ,N(2 ,2),则 12r cos 1 ,22r cos2 , 又MP2a 1 cos 12a 2r cos21, NQ2a2 cos22a 2r cos22 ,MP 2a 2r cos 21 2r cos 1 NQ2a 2r cos 222r cos 2cos 1, cos 2 是 方 程 r cos 2r cos a 0 的两个根,由韦达定理:cos 1cos21, MA NA2r cos 12r cos 2 2rAB证法二:以A 为极点,射线AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为2r cos,设 M1 ,1, N (2, 2)又由题意知, M1 ,1, N (2 , 2 )2a上, 2r cos2a 在抛物线1 cos1 ,cosr cos 2r cos a由韦达定理: cos 1cos, cos 1 , cos 2 是方程 r cos 2r cos a 0 的两个根,21, MA NA 2r cos 1 2r cos 2 2r AB23.证明:以 BC 所在的直线为x 轴, AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,设A(0, a) ,B(b,0) , C (c,0) , H ( 0, t) ,则A:xylBH1,即 txby btbtFlCH x y 1,即 txcyct 0E:tHcl AC :xy 1 ,即 ax cy accaxy1 ,即 axby ab0 BDCl AB :abE bc a t , b c t,F bc t a , at c bab ct ab ctbt ac ac bt kDEb c at ab ctb c at ab ct bc a tbc a tkDFc b atbt acb c at ac bt bc t abc a tEDCFDB , EDA FDA。
考点2 极坐标与直角坐标的互化(2024·北京卷(理))在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a (a >0)与圆ρ=2cos θ相切,则a =________.【解析】直线的直角坐标方程为x +y =a ,圆的直角坐标方程为x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1,圆心C (1,0),半径r =1.∵直线与圆相切,∴d =√22=1,∴|a -1|=√2. 又a >0,∴a =√2+1.【答案】√2+1(2024·全国Ⅰ卷(理))选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.【解析】(1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ,得C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右侧的射线为l 1,y 轴左侧的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外部,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,点A 到l 1所在直线的距离为2,所以√21=2,故k =-43或k =0. 经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点,满意题意.当l 2与C 2只有一个公共点时,点A 到l 2所在直线的距离为2,所以√21=2,故k =0或k =43. 经检验,当k =0时,l 1与C 2没有公共点;当k =43时,l 2与C 2没有公共点.综上,所求C 1的方程为y =-43|x |+2.【答案】见解析(2024·江苏卷)选修4-4:坐标系与参数方程−a)=2,曲线C的方程为ρ=4cos θ,求直线l被曲线C截得在极坐标系中,直线l的方程为ρsin(π6的弦长.【解析】因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为−a)=2,ρsin(π6,则直线l过点A(4,0),且倾斜角为π6所以A为直线l与圆C的一个交点..设另一个交点为B,则∠OAB=π6如图,连结OB.因为OA为直径,从而∠OBA=π,2=2√3.所以AB=4cos π6因此,直线l被曲线C截得的弦长为2√3.【答案】见解析。
统考作业题目——4-46.21.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系取相同的长度单位。
曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=(1)求的普通方程和的直角坐标方程;l C (2)已知点是曲线上任一点,求点到直线距离的最大值.M C M l 2.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长O x 度单位相同。
直线的极坐标方程为:,点,参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2).α∈[0,2π](I )求点轨迹的直角坐标方程;P (Ⅱ)求点到直线距离的最大值.P l1、【详解】(1)12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为,222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以,即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=(2)因为圆心到直线,(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解:(Ⅰ)设,则,且参数,P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得:x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4(Ⅱ)因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以,ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一:由(Ⅰ)点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为(0,2),半径为2.,d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和,P l l 所以点到直线距离的最大值.P l 42+2法二:d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时,,即点到直线距离的最大值为.a =74πd max =42+2P l 42+26.33.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线的参数方程为(为参数),曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为(,t 为参数).C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程;C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点,求点P 到上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.C 1C 24.在直角坐标系中曲线的参数方程为(为参数,以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;1C 2C (2)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】(1)对曲线:,,C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为.C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为. C 2x +y ‒8=0又,∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。
1 高考真题
(2024•全国II 卷(文))[选修4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,O 为极点,点在曲线上,直线l 过点且与垂直,垂足为P .
(1)当时,求及l 的极坐标方程;
(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.
【解析】(1)因为点在曲线上, 所以;
即,所以
因为直线l 过点且与垂直,
所以直线的直角坐标方程为,即;
因此,其极坐标方程为,即l 的极坐标方程为;
(2)设,则,,
由题意,,所以,故,整理得,
因为P 在线段OM 上,M 在C 上运动,所以, 所以,
P 点轨迹的极坐标方程为,即.
【答案】(1)
l 的极坐标方程为;(2)
000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3π
θ0ρ000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=004sin 4sin 3π
ρθ===)3M π
tan 3OM k π
==(4,0)A OM l 4)y x =-40x -=cos sin 4ρθθ+=sin()26π
ρθ+=(,)P x y OP y
k x =4AP y
k x =-OP AP ⊥1OP AP k k =-2
214y x x =--2240x y x +-=02,24x y ≤≤≤≤24cos 0ρρθ-=4cos ()42π
π
ρθθ=≤≤0ρ=sin()26π
ρθ+=4cos ()42ππ
ρθθ=≤≤。
数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题一.选择题1.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B .⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D .⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2.点()3,1-P ,则它的极坐标是( ) A .⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B .⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3.极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是( ) A .双曲线 B .椭圆 C .抛物线 D .圆4.圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B .⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C .⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D .⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5.在极坐标系中,与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为( ) A .2sin =θρ B .2cos =θρ C .4cos =θρ D .4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为( ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是( )A .一条射线B .一条直线C .一条线段D .圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是( )A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关,不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是( ) A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.已知点1P 的球坐标是)4,,32(1πϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .A .2B .3C .22D .22二.填空题11.极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是12.圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ,半径为3的圆的极坐标方程为 13.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ,则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中,点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
15、与曲线01cos =+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是_______________。
三.解答题16.说说由曲线x y tan =得到曲线x y 2tan 3=的变化过程,并求出坐标伸缩变换。
17.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,5P ,O 为极点,求使'POP ∆是正三角形的'P 点坐标。
18.棱长为1的正方体''''C B AD OABC -中,对角线'OB 与'BD 相交于点P ,顶点O 为坐标原点,OA 、OC 分别在轴轴y x ,的正半轴上,已知点P 的球坐标()θϕρ,,P ,求θϕρsin ,tan ,。
19.ABC ∆的底边,21,10B A BC ∠=∠=以B 点为极点,BC 为极轴,求顶点A 的轨迹方程。
20.在平面直角坐标系中已知点A (3,0),P 是圆珠笔()122=+y x 上一个运点,且AOP ∠的平分线交PA 于Q 点,求Q 点的轨迹的极坐标方程。
21、在极坐标系中,已知圆C 的圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛6,3π,半径=1,Q 点在圆C 上运动。
(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若P 在直线OQ 上运动,且OQ∶QP=2∶3,求动点P 的轨迹方程。
22、建立极坐标系证明:已知半圆直径∣AB∣=2(>0),半圆外一条直线与AB 所在直线垂直相交于点T ,并且∣AT∣=2)22(ra a <。
若半圆上相异两点M 、N 到的距离∣MP∣,∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。
23.如图,BC AD ⊥,D 是垂足,H 是AD 上任意一点,直线BH 与AC 交于E 点,直线CH 与AB 交于F 点,求证:FDA EDA ∠=∠选修4-4第一讲《极坐标》答案11.42552+=x y ;12.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos 6πθρ;13.22; 14.13+;15. 01sin =+θρ三.解答题16.解:x y tan =的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的21,得到x y 2tan =,再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到曲线x y 2tan 3=。
设''tan 3x y =,变换公式为⎩⎨⎧>=>=0,0,''μμλλy y x x 将其代入''tan 3x y =得⎪⎩⎪⎨⎧==213λμ,⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y x x 321''17.)3,5('πP 或),5('πP18.1sin ,2tan ,23===θϕρa 19.解:设()θρ,M 是曲线上任意一点,在ABC ∆中由正弦定理得:2sin10)23sin(θθπρ=- 得A 的轨迹是:2sin 40302θρ-= 20.解:以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()θρ,Q ,()θ2,1P OAP OQP OQA S S S ∆∆∆=+θθρθρ2sin 1321sin 21sin 321⋅⋅⋅=+⋅∴θρcos 23=21.(1)06cos 62=⎪⎭⎫⎝⎛--πθρρ (2)0506cos 152=+⎪⎭⎫⎝⎛--πθρρ 22.证法一:以A 为极点,射线AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为θρcos 2r =,设()),(,,2211θρθρN M ,则11c o s 2θρr =,22cos 2θρr =,又1211c o s 22c o s 2θθρr a a MP +=+=,2222cos 22cos 2θθρr a a NQ +=+=, 112cos 2cos 22θθr r a MP =+=∴ 222cos 2cos 22θθr r a NQ =+=∴21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根,由韦达定理:1cos cos 21=+θθ,AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ证法二:以A 为极点,射线AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为θρcos 2r =,设()),(,,2211θρθρN M 又由题意知,()),(,,2211θρθρN M 在抛物线θρcos 12-=a 上,θθcos 12cos 2-=∴ar ,0cos cos 2=+-a r r θθ,21cos ,cos θθ∴是方程0cos cos 2=+-a r r θθ的两个根,由韦达定理:1cos cos 21=+θθ,AB r r r NA MA ==+=+2cos 2cos 221θθ23.证明:以BC 所在的直线为x 轴,AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系,设),0(a A ,)0,(b B ,)0,(c C ,),0(t H ,则1:=+t yb x l BH ,即0=-+bt by tx1:=+t yc x l CH ,即0=-+ct cy tx1:=+a yc x l AC ,即0=-+ac cy ax1:=+ayb x l AB ,即0=-+ab by ax()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----∴ct ab t c b ct ab t a bc E ,,()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----∴bt ac b c at ac bt a t bc F ,()()()()()()t a bc at c b t a bc ct ab ct ab at c b k DE --=--⋅--=∴ ()()()()()()t a bc at c b a t bc ac bt bt ac at b c k DF---=--⋅--=∴ ,FDB EDC ∠=∠∴FDA EDA ∠=∠高二数学理科选修4-4第二讲参数方程测试题班别 姓名 学号一.选择题(每题5分共60分)1.设椭圆的参数方程为()πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0sin cos b y a x ,()11,y x M ,()22,y x N 是椭圆上两点,M ,N 对应的参数为21,θθ且21x x <,则( )A .21θθ<B .21θθ>C .21θθ≥D .21θθ≤2.直线:3x-4y-9=0与圆:⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1,5)且倾斜角为3π的直线,以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211 D. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2352114.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线5.若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化,则x 2y 的最大值为( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ; (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ;(C) 442+b (D) 2b 。
6.实数x 、y 满足3x 2+2y 2=6x ,则x 2+y 2的最大值为( ) A 、27 B 、4 C 、29D 、5 7.曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数),则曲线是( ) A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线8. 已知动园:),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ,a b a by ax y x ≠=--+,则圆心的轨迹是( )A 、直线B 、圆C 、抛物线的一部分D 、椭圆9. 在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x (t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点,它们对应的参数值分别为t 1、t 2,则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )10.设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是 ( )A 、相交B 、相切C 、相离D 、视的大小而定11. 下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的是( )12.已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3,y x 为参数上一点P ,原点为O ,直线PO 的倾斜角为4π,则P 点坐标是( ) A 、(3,4) B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22223, C 、(-3,-4) D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛512512, 二.填空题(每题5分共25分) 13.过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦,若弦长不超过8,则的取值范围是____________。