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初三数学知识点归纳整理最全初三数学知识点归纳篇一一、二次根式1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
注意：（1）若这个条件不成立，则不是二次根式。
（2）是一个重要的非负数，即；≥0。
2、积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
3、二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小。
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小。
（3）分别平方，然后比大小。
4、商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
5、二次根式的除法法则：（1）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
6、最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8、二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。
二、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c；其中a 、 b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少。
第一部分: 知识回顾 知识点1.二次根式: 式子（≥0）叫做二次根式。
知识点2.最简二次根式: 必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
知识点3.同类二次根式二次根式化成最简二次根式后, 若被开方数相同, 则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点4.二次根式的性质（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）知识点5.二次根式的运算⑴二次根式的加减运算:先把二次根式化成最简二次根式, 然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算:①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba b aa （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；二次根式总复习第二部分: 分类训练专题一、二次根式1.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ）A.x >-5B.x <-5C.x ≠-5D.x ≥-52.若, 则的取值范围是（ ）A. B. C. D.3.使式子有意义的未知数x 有（ ）个.A. 0B. 1C. 2D. 无数4.计算28-的结果是（ ） A.6 B.6 C.2 D.25.下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.21a +B.12C.8D.27 6.下列各式中与是同类二次根式的是（ ） A. 2 B. C. D.7.已知二次根式与是同类二次根式, 则的α值可以是( )A.5B.6C.7D.88.如图, 在数轴上表示实数的点可能是（ ）A. 点B. 点C. 点D. 点9.如果代数式有意义, 那么, 直角坐标系中点P （m, n ）的位置在（ ）A.第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限10.2x -x 的取值范围是11.中, 自变量的取值范围是12.在根式)(2,4,26,27,21,3222y x x a xy +中,最简二次根式有_________ 13.化简: （1）___； （2）_____； （3）____；（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=____； （5）_______420=-。
数学九年级上册知识点必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些数学九年级上册知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
九年级上册数学知识点总结第一章二次根式1 二次根式：形如 ( )的式子为二次根式;性质： ( )是一个非负数;2 二次根式的乘除：3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4 海伦-秦九韶公式：，S是三角形的面积，p为。
第二章一元二次方程1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的次是2的方程。
2 一元二次方程的解法配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方;公式法：因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。
3 一元二次方程在实际问题中的应用4 韦达定理：设是方程的两个根，那么有第三章旋转1 图形的旋转旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等。
2 中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称;中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形;3 关于原点对称的点的坐标第四章圆1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2 垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧;平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
3 弧、弦、圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4 圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。
5 点和圆的位置关系点在圆外点在圆上 d=r点在圆内 d 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
期末复习1（一元二次方程、二次函数）学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容一元二次方程与二次函数基础复习课型教学目标1.掌握一元二次方程解法、根的判别式、根与系数关系、实际解答；2.掌握二次函数图象与性质、解析式求法、二次函数与一元二次方程、实际综合解答问题。
重、难点重点：1、一元二次方程解法、根的判别式、根与系数关系、实际解答；2、二次函数图象与性质、解析式求法、二次函数与一元二次方程、实际综合解答问题难点：1、一元二次方程根与系数关系、实际解答；2、二次函数图象性质变化运用，实际问题综合运用。
知识梳理导学一：一元二次方程知识点讲解 1:一元二次方程的解法例 1. 用配方法解方程例 2. 用求根公式法解下列方程：；我爱展示1.解下列方程（1）(4)2.方程的解是.3.已知关于x 的一元二次方程的一个根是0，则k=知识点讲解 2：根的判别、根与系数关系例 1. [单选题] 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.例 2. 已知方程的两根是，不解方程，求下列各式的值。
（1）（2）例 3. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．我爱展示1. [单选题] 一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根）C.只有一个实数根D.没有实数根2.已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+ =0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．3.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．4. 已知关于x的方程x +2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．知识点讲解 3：一元二次方程解答例 1. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元。
九年级数学期末复习 方程、根式班级 姓名 学号一、知识点回顾：1.一元二次方程的一般形式： .2.解法:四种 ; ; ; . 求根公式:x =(b 2-4ac ≥0)3.根的判别式: .4.二次根式的定义:形如 ( )5.二次根式的性质:2= (a ≥⎧==⎨⎩;= (a ≥0，b ≥= . (a ≥0,b>0) 二、知识技能训练:1.已知ax 2+4x-5=3x 2关于x 的方程是一元二次方程，则 a 的取值范围 . 2.方程22x x =的解为 .3.已知:方程(k-1)x 2+2x+1=0. (1)若方程有实根,则k ；(2)若方程有两个不等实根,则k .4.一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)(1)当a+b+c=0时,该方程必有一根为: . (2)当4a-2b+c=0时,该方程必有一根为: . 5.若(a 2+b 2)(a 2+b 2-2)=8,则a 2+b 2= .6.当k= 时，二次三项式x 2-2(k+1)x+k+7是一个关于x 的完全平方式.7.在四边形ABCD 中, AB ∥CD,且AB 、CD 的长是关于x 的方程x 2-3mx+2m 2+m-2=0的两个根,则四边形ABCD 是 . 8.函数y =中自变量x 的取值范围是 ．9.已知x ≤1,= .10.,则a= .11.阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 根据材料填空:已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 12.关于x 的一元二次方程()2211a x x a -++=的一个根为0，则a 的值为 . 13.若抛物线y=kx 2+x+1与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 14.若方程x 2+4x+a=0无实根，化简16-8a+a 2= .15.已知 m 是方程x 2-5x-6=0 的一根则 10m-2m 2+5＝ ．16.已知xy<0,.17.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为 . 18.下列二次根式中不可以再化简．．．．．．的是 （ ） A.xy 1.0 B.x 2+1 C.y 3D.3119.下列运算中，错误的是 （ ） A.632=⨯B.2221=C.252322=+D.32)32(2-=-20.（ ） Ａ.6到7之间 Ｂ.7到8之间Ｃ.8到9之间Ｄ.9到10之间21. 计算:(1) 34482714122--+(2) 1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°22.先化简，再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足方程x 2+x-6=0.23.解下列方程：（1） (x－5)(x－6)＝6 （2） 2x2-x-3=0(用配方法)24.已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2k+1 x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.25.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边a=3,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.26.某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？27.某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？28.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?29.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？课后作业:1～25题；课堂:讲评作业并训练26～29题.。
九年级数学二次函数知识点归纳九年级数学二次函数知识点1一、基本概念1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2.分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc（c≠0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程（组）解应用题一概述⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系1.行程问题（匀速运动）基本关系：=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2.配料问题：溶质=溶液某浓度溶液=溶质+溶剂3.增长率问题：4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率某工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
二次根式二、知识要点1、二次根式的概念a ≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0，2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤03、二次根式a ≥0）的非负性a ≥0）表示a a ≥00（a≥0）。
注意：a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2（a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用0=，则a=0,b=020b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。
4、二次根式2的性质：2a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。
5、二次根式的性质(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）、化简一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即(0)a a a==≥；若a是负数，则等于a的相反数-a,即1.414 1.7322.236≈≈；；；2、a的取值范围可以是任意实数，即不论a3a，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、2与1、不同点：22表示一个正数a的算术平方根的平a的平方的算术平方根；在2中a可以是正实数，0，负实数。
但220≥0≥。
因而它的运算的结果是有差别的，2a=（a≥0）(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，2a＜0时，2无意义，而a=-。
一元二次方程重要知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：y ax2bx c(a 0)（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），而且未知数的最高次数式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：2ax bx c 0(a 0) 。
此中a为二次项系数，b为一次项系数， c 为常数项。
注意：三个重点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法（1）配方法：将方程整理成(x+p) 2=q，方程的根是x=-p ±q注： x2系数是 1 和不是 1 时配方注意事项；x2系数是负数时配方注意事项。
（2）公式法：x b b24ac （b24ac0 ）2a（3）因式分解：十字相乘法：x2( p q)x pq0 ( x p)(x q) 03. 一元二次方程根的鉴别（b24ac ）（1）△＞ 0，方程有两个不相等的实数根（2）△＝ 0，方程有一个实数根或许两个相等的实数根（3）△＜ 0，方程没有实数根，方程无解4.韦达定理（根与系数关系）一元二次方程ax 2+bx+c＝ 0，设它的两个根是x1和 x2，则 x1和 x2与方程的系数a， b， c 之间有以下关系：b； x1. x2cx1+ x2＝＝a a5.一元二次方程的应用①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再依据这个关系列出含有未知数的等式④“解”就是求出说列方程的解；⑤“答”就是书写答案，查验得出的方程解，舍去不切合实质意义的方程二次函数重要知识点1．二次函数的观点：一般地，形如 y ax 2bx c（ a，b ，c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
注意：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c能够为零．2.平移规律：（ 1）将抛物线分析式转变成极点式y a x2k ，确立其极点坐标h ，k ；h （ 2）左加右减（ h ）： x 值的变化，上加下减 (k) ： y 值的变化3. 二次函数 y ax 2bx c 图象的画法绘图法 ：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式 y a( xh )2 k ，确立其 张口方向 (a) 、对称轴 (h) 及极点坐标 (k) ，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图. 一般我们选取的五点为：极点、与 y 轴的交点 0 ，c 、与 x 轴的交点 x 1 ，0 ， x 2 ，0 .4. 二次函数 y ax 2bxc 的性质(1) 当 a 0 时，抛物线张口向上，对称轴为xb，极点坐标为b ，4ac b 2 ．2a 2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时，2a2a2a2y 有最小值4ac b．4a(2) 当 a0 时，抛物线张口向下，对称轴为xb，极点坐标为b ，4ac b 2 ．当2a 2a4axb 时， y 随 x 的增大而增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb 时， y2a2a2a2有最大值4ac b．4a5. 二次函数分析式求法(1) 一般式： y 2bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；需要三个坐标点ax (2) 极点式： ya( xh) 2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；极点坐标和其余任一坐标6. 二次函数的图象与各项系数之间的关系(1) a ：抛物线张口的方向（ a 的正负）与大小（ |a| ）(2) b: 在 a 确立的前提下，b 决定了抛物线 对称轴 ( xb) 的地点 ( 正负 ). 对称轴在 y 轴右2a侧， a 、 b 符号相反；对称轴在 y 轴左边， a,b 符号同样。
复习一 二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
考点：会求其取值范围、2、最简二次根式 ：分母不含有根号（若有的话要分母有理化)、被开方数必须开尽 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（2）==a a 2)0(<-a a（3）)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a bab a 5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 1．计算22-）（，结果是（ ）A ．－2B ．2C ．±2D ．4 2．下列计算正确的是（ ）A ．12-3=B ．523=+C ． 23222=+D ．22-22=1. 下列计算中正确的是（※）（A ） 2(5)5-=- （B ）1222= （C ） 235+= （D ）1832=±1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ） （A ）8a （B ）5a （C ）3a（D ）22a a b +2.如果3a -有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）0a ≥ （B ）0a ≤ （C ）3a ≥ （D ）3a ≤6．下列同类二次项的是（ ） Ａ.23 Ｂ．12 Ｃ．32 Ｄ. 24 1.下列计算中，正确的是（ ）A.164=±B.32221-=C.2464÷= D.2623⨯= 2. .如果2(21)12a a -=-，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥1212．使式子3-x 有意义x 的取值范围是 . 1、=--1)112a a （，化简＜若11. 计算:(23)(23)a a +-= . 2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示，化简的结果2a b a --3、若=+--+-y x y x y x 互为相反数，则与392--4、已知的值则xy x x y 2,32-552-+-=5、若n 20是整数，则正整数n 的最小值为_______3、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2－6a+9+，则△ABC的形状是 三角形．(3). 17.计算：)23)(23()13(2+--- （2）11383322+-+；一元二次方程 一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法2、配方法3、公式法4、因式分解法 三、一元二次方程根的判别式根的判别式ac b 42-=∆ 与根的情况 四、一元二次方程根与系数的关系 21x x ，如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是，那么ab x x -=+21，a c x x =21。
3．已知方程0832=--x x 的两个解分别为1x 、2x ，则2121x x x x 、+的值分别是（ ）A ． 8-3-、B ．8-3、C ． 83-、D ．83、4．下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）A ． 01-2=xB ． 0122=++x x C ． 01-3x -2=x D ． 0642=+-x x 2. 方程24x x =的解是（※） （A ） 4x =（B ）2x = （C ）4x =或0x = （D ）0x =5. 一元二次方程x 2＋kx －1＝0根的情况是( )A ．有两个不等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．无法确定4. 若方程x 2-4x +c =0有两个不相等的实数根，则实数c 的值可以是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 38. 若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1 B.k ≠0 C.k ＜1且k ≠0 D.k ＞111若关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0的一个根是0，则另一个根是_________. 15、若1x 、2x 为方程0122=--x x的两根，则212()x x -＝__________.16、方程: 036-2=x 的解是__________________.17、 若方程2230x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则12x x = 18、已知关于x 的一元二次方程22(24)430x k x k k -++++=.（1） 求证：不论k 取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2） 设Rt ABC ∆两直角边的长是此一元二次方程的两根，斜边BC 的长为10，试求Rt ABC ∆的周长.17（本题满分12分）、解方程：①2230x x +-= ②2(3)5(3)x x +=+（1） 0352=++x x （2）)2-3(2)1(x x x =+10．我省为执行“两免一补”政策， 2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．225003600x =B ．22500(1)3600x +=C ．22500(1%)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=4．(共9分）已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．4、已知关于x 的方程212,0)1(2x x k x k x 有两个实数根=+-- （1） 求k 的取值范围 （2） 若的值求k x x x x ,12121-=+（3）5．(共9分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90 ，AB=6cm，BC=3cm，点p从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果p、Q两点同时出发，几秒钟后，p、Q 间的距离等于42cm?6．(共7分）如图, 某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．7．(共9分）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下，售价多少元时，每星期盈利为6120元．8、汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加，据统计，2010年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2012年，该品牌汽车的年产量达到10万辆，该品牌汽车年产量的年平均增长率从2010年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2013年的年产量为多少万辆？二次函数专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标2020m32m二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1yxO图1C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）.例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.图22- 1- 012 y x13x =ABCD图1菜园墙专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c=++0.03- 0.01- 0.02 0.04图2Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：yxO1 3图2yxO324图1图4x y33 2 2 1 14 1- 1- 2-O 图3xy0 3-（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．3. 将抛物线22y x =向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（※） （A ）223y x =+ （B ）26y x = （C ）22(3)y x =+ （D ）223y x =-6.若二次函数的解析式为3422+-=x x y ，则其函数图象与x 轴交点的情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．无法确定9.如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是( )A ．15x -<<； B ．5x > C ．15x x <->且D ．15x x <->或16.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①0ac <； ②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）y x O BAC图 220m 10mEF图16mxyO3 －1(第16题)21.（12分） 如图，二次函数24y ax x c =-+的图像经过坐标原点，与x 轴交与点A (－4，0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P ，满足8AOPS = ，求点P 的坐标．24．19．（本小题满分7分）已知抛物线的解析式为243y x x =-+． （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（2）求此抛物线的对称轴，并指出当x 在什么范围内取时，y 的值随x 值的增大而减小？（本题满分14分）已知二次函数）（13)2-(-2+++=m x m x y （1） 求证：当4-≠m 时，这个二次函数的图象与x 轴 必有两个交点；（2） 若这个二次函数的图象如图所示，求m 的取值范围； （3） 在（2）的情况下，且6=⋅OB OA ，求点C B A 、、三点的坐标.23. （2012•广西）已知抛物线y =ax 2+2x +c 的图象与x 轴交于点A （3，0）和点C ，与y 轴交于点B （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D ，使得点D 到点B 、C 的距离之和最小，并求出点D 的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第24题。
