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2010第4章第5章习题解答离散傅里叶_[1]...

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离散傅立叶变换

离散傅立叶变换
m 0
则
m 0
N 1 N 1 ~ f ( n ) ~ ( m) ~ ( n m ) ~ ( m ) ~ ( n m) x y y x
记为
~ f ( n) ~ ( n) ~ ( n) y x
谢 谢！
(3)周期卷积性质 ~ ~ ~ 若 F (k ) X (k ) Y (k ) ~ 则 f ( n) ~ ( n) ~ ( n) y x
2T
t
3. 时移和频移定理
x(t ) X ( f )
x(t t0 ) e
j 2ft0
X( f )
e jx cos x j sin x jx e cos x j sin x
x(t )e
4.卷积定理
j 2f 0t
X ( f f0 )
x1 (t ) x2 (t ) X1 ( f ) X 2 ( f )
。
4、DFS 的性质： (1)线性 (2)移位 ~ ~ ~ (n) b~ (n)] aX (k ) bY (k ) DFS[ax y ~ ~ (n m)] W mk X (k ) DFS[ x
N
~ nl IDFS[ X (k l )] WN ~ (n) x (3)周期卷积 ~ ~ ~ 若 F (k ) X (k ) Y (k )
连续傅里叶变换(FT)：
连续时间,连续频率 的傅里叶变换。 傅里叶级数(FS)： 连续时间,离散频率 的傅里叶变换 序列的傅里叶变换(DTFT): 离散时间, 连续频率 的傅里叶变换. 离散傅里叶变换(DFT): 离散时间, 离散频率 的傅里叶变换
3.1.1
连续时间信号的傅立叶变换
将~的傅氏级数式两端乘以 x e 求和，则得到 x ~(n)e

(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总

(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总

第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1） 某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。

解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。

解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。

解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。

系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值)(∞h 。

解： 2,2121-=-=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是 。

解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为 。

解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为 。

课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf

课后习题及答案第4章快速傅里叶变换习题答案.pdf

和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
Xk=conj(Xk)；
%对 Xk 取复共轭
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 并调
用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下：
%程序 ex406.m
Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为

第四章离散傅里叶变换

第四章离散傅里叶变换

• 设 ~x(n)为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离
散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 :
• 正变换
X~(k)
DFS[~x(n)]
N
1
~x (n)e
j
2 N
nk
N1 ~x (n)WNnk
• 反变换
n0
n0
•
~x (n)
其中:
IDFS [ X~ (k )]
1 N
x%2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10 x%2 1 m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x%2 2 m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x%2 3 m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10 x%2 4 m … 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 … 14 x%2 5 m … 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 … 12
解： y%(n) x%1(m)x%2 (n m)
m0
5
x%1(m)x%2 (n m)
m0
n m …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
x%1 n / m … 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 … x%2 n / m … 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 … y%(n)
1.由非周期连续时间信号推出DFS
• X(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信
号进行DTFT得到周期连续频谱密度函
数。再经过抽样，得到周期性离散频
谱密度函数即为DFS.
x(t)
取样
x(t)
D T

第4(5)章 傅里叶级数和变换

第4(5)章 傅里叶级数和变换

t0

2 2
f (t ) cos( n1t )dt

2 T1



2
E cos( n1t )dt

4 T1

0
E cos( n1t )dt

2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1

t 0 T1

2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt

2 T1

第4章 离散傅利叶变换(DFT)

第4章 离散傅利叶变换(DFT)

（4.21）
离散傅里叶级数的性质
x x 证明 DFS [ ~ (n + m)] = ∑ ~ (n + m)W Nnk
N −1 n =0
令 n′ = n + m
=
m + N −1 n′ = m
x ∑ ~(n′)W
− mk N m + N −1 n′ = m
( n′ − m ) k N
=W
∑
% x(n′)WNn′k
j kl ~ N ∑ X ( k )e =
2π
= ∑ ~ ( n)∑ e x
n =0 k =0
N −1
N −1
j
2π (l −n ) k N
离散傅里叶级数的导出
由正交定理
∑e
k =0
N −1
j
2π (l −n ) k N
⎧N =⎨ ⎩0
l=n l≠n
（4.13）
则有
j kl ⎡ N −1 ~ ⎤ ~ N x ∑ X (k )e = N ⎢∑ x (n)⎥ = N~(l ) k =0 ⎣ n =0 ⎦ n =l N −1
l =0 N −1
（4.26）
4.3 离散傅里叶变换 （DFT）
4.3.1 离散傅里叶变换（DFT）的导出
可以设想把一个长度为 N 的有限长序列 x(n) ，以 N 为周期进行 ~ x x 周期延拓，形成周期序列 ~ ( n) ，然后求 ~ ( n)的离散傅里叶级数X (k )， ~ 再取出X (k )的一个周期 X (k ) ，这样就相当计算了有限序列的离散频谱。 x x(n)与 ~ ( n)的关系可以用以下关系式表示
~ (m ) x2 • 3 •2
0
(b )

第4章离散傅里叶变换


2019/10/15
15
3.2.3循环卷积定理
有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=max[N1，N2]。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为

X1(k)=DFT[x1(n)]，X2(k)=DFT[x2(n)]
如果
X(k)= X1(k) ·X2(k)
则 N 1 x(n) IDFT[ X (k)] x1 (m)x2 ((n m)) N RN (n) 3-39
即循环卷积亦满足交换率。
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20
作为习题请读者证明频域卷积定理
如果
x(n)=x1(n)·x2(n)
则
1
X (k) DFT[x(n)] N X1(k) X 2 (k)
3-40

1 N
N 1
X1 (l) X 2 ((k
l 0
l))N
RN (k)
或
X (k)
第3章 离散傅里叶变换
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，简 称DFT)是数字信号处理中非常重要的一种数学变 换，本章主要讨论DFT的定义、物理意义及基本性 质、频率采样和DFT应用举例。主要内容包括： •周期序列的离散傅里叶级数定义及其性质 •有限长度序列的离散傅里叶变换推导 •离散傅里叶变换的基本性质 •频率域采样理论 •离散傅里叶变换的基本应用
~x (n) x((n)) N
再 值序将~x列(n，) 左则移得m到位有得限到长~x(序n 列m的)，循最环后移取位~x序(n列y(mn))。的x主(n)
及其循环移位过程如图3-7所示。显然y(n)仍是长度为 N有限长序列。观察图3-7可见，循环移位的实质是将 x(n)左移m位，而左侧移出主值区的序列值又依次从 右侧进入主值区。

离散傅立叶变换


N=T1/Ts=fs/f1
称碟形因子或旋转因子
二、离散傅立叶变换（DFT） 有限长序列的离散傅立叶变换对：
X (k ) = DFT [ x( n)] = ∑ x(n)W nk
n =0 N −1
x(n) = IDFT [ X (k )] = 1 / N ∑ X (k )W − nk
k =0
N −1
例：有限长单位矩阵序列 解：
1.
W
nk
W nk = W (( nk )) N W n ( k + N ) = W nk 是周期性
是呈对称性
W
N 2
W k ( n + N ) = W nk
2. W nk
= −1
W ( nk + N / 2 ) = −W − nk
例： N=4时， W 3 = −W 1 则：
W W W W W 0W 0W 0 0 1 2 3 W W W 0 W 2W 4W 6 0 3 6 9 W W W
x(n) = G4 (n) 的DFT
W 4 = e − j 2π / 4 = e − jπ / 2 = cos π / 2 − j sin π / 2 = − j
X (0) 1...1...1...1 x(0) 4 X (1) 1 − j −1... j x(1) 0 = x = X (2) 1. −1...1 −1 x(2) 0 X (3) 1....j −1 − j x(3) 0
离散傅立叶变换DFT
复习：信号与频谱的对应关系: 1.
X (ω ) =
∞ −∞
x(t )e − jωt dt ∫
x(t):非周期连续时间信号 X(ω) :连续频率的非周期函数。 2.

2010第4章第5章习题解答离散傅里叶_[1]...

第四章 离散傅里叶变换4.1 已知信号4()()x n R n = 求66()((2))()y n x n R n =+解：6((2))x n +是对()x n 以6为周期作周期延拓，再左移2点，最后取主值区间的序列得到：()()(1)(4)(5)y n n n n n δδδδ=+-+-+-x=0:3;y=[1,1,1,1];stem(x,y);axis([0 10 -0.5 1.5]);title('R4(n)');4.2 已知信号3()(2)x n R n =-，求66()((2))()y n x n R n =+(重新画出()x n 和()y n ,保留画图的MATLAB 程序,周期延拓的序列6()((2))y n x n =+也画出来)解：663()((2))()()(1)(2)()y n x nRn n n n R n δδδ=+=+-+-=4.3 计算序列N 点的DFT ，主值区间01n N ≤≤- (1) ()()x n n δ=解:1()(),01()N kn Nn N X k n Wk N R k δ-==≤≤-=∑(2) 0()()x n nn δ=- ，001n N <<-解: 1()()N knN n X k n nW δ-==-∑ 01k N ≤≤-()kn N N W R k =⋅(3) ()()m x n R n = ,01m N <<-解: 1()()()N knmN N n X k Rn W R k -==⋅∑ （4） ()()m x n nR n = ， 01m N <<-解 1()()()N knmN N n X k n Rn W R k -==⋅⋅⋅∑(5) x(n)=1解 112/0()()()N N kn j kn NNN N n n X k WR k eR k π---===⋅=⋅∑∑221()1j k N k jNe R k eππ---=⋅-（6）0()()j nm x n eR n ω=⋅解 012/0()()()N j nj kn Nm N n X k eR n e R k ωπ--==⋅⋅⋅∑4.4 1325()(),()()x n R n x n R n ==，计算12()()x n x n *解 1235()()()()()y n x n x n R n R n =*=* 7530()()m Rm R n m ==⋅-∑()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)n n n n n n n δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-y(0)=1 , y(1)=2, y(2)=3, y(3)=3, y(4)=3, y(5)=2, y(6)=14.5 )(2)(321n R nn x =，)()1()(52n R n n x +=，计算)()(21n x n x *解4.6 )()(31n R n x =，)()(52n R n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积长度为L=7 解 因为13N =,25N =,所以1217N N +-=,该题满足圆周卷积长度L ≥7,所以圆周卷积计算结果和线性卷积计算结果相等()()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)c y n n n n n n nn δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-4.7 )()(51n R n x =，)()(52n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗，取圆周卷积长度为L=7 解n 0 1 2 3 465550.(()).()m m Rn m R m =-∑11111105()m R m555(())()R n m R m -1 1 1 1 1 1 102 1 1 1 1 1 103 1 1 1 1 1 104 1 1 1 1 1 105 1 1 1 1 1 106 11111104.8 )(2)(421n R nn x =，)()(42n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积的长度L=7解 214119()()(){0,,2,}222n x n R n x n ==即242()()(){0,1,2,3}x n nR n x n ==即两个序列的长度充零后分别为1219(){0,,2,,0,0,0}(){0,1,2,3,0,0,0}22x n x n ==12()()()y n x n x n =⊗x=0:6;y1=[0,1/2,2,9/2,0,0,0]; axis([0 10 -0.5 1.5]); y2=[0,1,2,3,0,0,0]; y=conv(y1,y2) stem(y);y =0 0 0.5000 3.0000 10.0000 15.0000 13.5000127()(2)3(3)10(4)15(5)(6)22y n n n n n n δδδδδ=-+-+-+-+-4.9 )()(5k R k X =，计算 )]([)(k X IDFT n x = 解 455501()[()]()5nkK x n ID FT R k R k W -===∑ 04n ≤≤25415j n kk eπ==∑224552511..51jn jnj n e e e πππ-=-2552511.51j nj n e e ππ-=- 22511.51j nj n ee ππ-=-4.10对序列进行频谱分析，要求频谱分辨率100F Hz ≤，信号最高频率3000c f Hz =。

2离散付里叶变换复习与习题课


x(n) 0 ≤ n ≤ 5 x(n) = 他 0 其 n y(n) 0 ≤ n ≤ 14 y(n) = x(n) = 他 0 其 n
解 ： (k) = ∑x(n)e X
n=0
14
−j
2 π k n N
Y (k) = ∑y(n)e
n=0
14
−j
π 2 k n N
f (n) = x(n) ⊗ y(n) = ID T[ X (k) (k)] F Y 2 π 14 j k n 1 N = ∑X (k)Y(k)e N n=0 = 线 卷 积 ： x(n) * y(n) = =
−j 2π kn0 N n=0 N− 1 −j 2π kn N
(d)x(n) = n RN (n)
2
解 X（ ) = ∑x(n)e ： k = ∑n e
2 n=0 N− 1 n=0 2π N− 1 −j kn N 2 N− 1
N− 1
−j
2π kn N 2 −j 2π kn N
N 2 d = ∑− ( ) (e 2 2 π dk n=0
j
N−1
2π kn N
专题3.根据DFT性质求解X(k)
(c)x(n) = δ (n − n0 ),0 < n0 < N DFT 解 ∵δ (n) 1 ： → ∴根 ∴根 时 特 : 据 移 性
δ (n − n0 ) e →
DFT
2π −j kn0 N
专题4.圆周卷积
• P105页，第10题 • 设有两序列，各作15点的DFT，然后将 两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所 得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于 x(n)*y(n)线卷积应得到的点。
2π kn N
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第四章 离散傅里叶变换4.1 已知信号4()()x n R n = 求66()((2))()y n x n R n =+解：6((2))x n +是对()x n 以6为周期作周期延拓，再左移2点，最后取主值区间的序列得到：()()(1)(4)(5)y n n n n n δδδδ=+-+-+-x=0:3;y=[1,1,1,1];stem(x,y);axis([0 10 -0.5 1.5]);title('R4(n)');4.2 已知信号3()(2)x n R n =-，求66()((2))()y n x n R n =+(重新画出()x n 和()y n ,保留画图的MATLAB 程序,周期延拓的序列6()((2))y n x n =+也画出来)解：663()((2))()()(1)(2)()y n x n R n n n n Rn δδδ=+=+-+-=4.3 计算序列N 点的DFT ，主值区间01n N ≤≤- (1) ()()x n n δ=解: 10()(),01()N knN n N X k n W k N R k δ-==≤≤-=∑(2) 0()()x n n n δ=- ，001n N <<-解: 1()()N kn Nn X k n n Wδ-==-∑ 01k N ≤≤-0()knN N W R k =⋅(3) ()()m x n R n = ,01m N <<- 解: 1()()()N knmN N n X k Rn W R k -==⋅∑ （4） ()()m x n nR n = ， 01m N <<- 解 1()()()N knmN N n X k n Rn W R k -==⋅⋅⋅∑(5) x(n)=1 解 112/0()()()N N kn j kn N NN N n n X k WR k e R k π---===⋅=⋅∑∑221()1j k N k j Ne R k eππ---=⋅-（6）0()()j nm x n eR n ω=⋅解 012/0()()()N jnj kn N m N n X k e R n e R k ωπ--==⋅⋅⋅∑4.4 1325()(),()()x n R n x n R n ==，计算12()()x n x n * 解 1235()()()()()y n x n x n R n R n =*=* 753()()m R m R n m ==⋅-∑()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)n n n n n n n δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-y(0)=1 , y(1)=2, y(2)=3, y(3)=3, y(4)=3, y(5)=2, y(6)=14.5 )(2)(321n R n n x =，)()1()(52n R n n x +=，计算)()(21n x n x * 解4.6 )()(31n R n x =，)()(52n R n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积长度为L=7 解 因为13N =,25N =,所以1217N N +-=,该题满足圆周卷积长度L ≥7,所以圆周卷积计算结果和线性卷积计算结果相等 ()()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)c y n n n n n n n n δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-4.7 )()(51n R n x =，)()(52n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗，取圆周卷积长度为L=7 解n 0 1 2 3 465550.(()).()m m R n m R m =-∑5()mR m555(())()R n m R m -0 1 0 0 1 1 7 1 1 1 0 0 1 5 2 1 1 1 0 0 3 3 1 1 1 1 0 6 4 1 1 1 1 1 10 5 0 1 1 1 1 10 6 0 0 1 1 1 94.8 )(2)(421n R n n x =，)()(42n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积的长度L=7 解214119()()(){0,,2,}222n x n R n x n ==即242()()(){0,1,2,3}x n nR n x n ==即两个序列的长度充零后分别为1219(){0,,2,,0,0,0}(){0,1,2,3,0,0,0}22x n x n ==12()()()y n x n x n =⊗x=0:6;y1=[0,1/2,2,9/2,0,0,0]; axis([0 10 -0.5 1.5]); y2=[0,1,2,3,0,0,0]; y=conv(y1,y2) stem(y);y =0 0 0.5000 3.0000 10.0000 15.0000 13.5000127()(2)3(3)10(4)15(5)(6)22y n n n n n n δδδδδ=-+-+-+-+-4.9 )()(5k R k X =，计算 )]([)(k X IDFT n x =解 455501()[()]()5nk K x n IDFT R k R k W -===∑ 04n ≤≤254015j n kk e π==∑224552511..51jn jn j n e e e ππ-=-2552511.51j n j n e e ππ-=- 22511.51j nj n e e ππ-=-4.10对序列进行频谱分析，要求频谱分辨率100F Hz ≤，信号最高频率3000c f Hz =。

求： （1）信号的最小记录时间；（2）对信号的最大采样间隔； （3）最少采样点数；（4）要求频谱分辨率提高1倍，计算信号的最小记录时间。

解（1）110.01100p T s F ≥== 所以m i n 0.01p T s =（2）2s c f f ≥ ，所以34max 11110 1.671022*30006c T s s f --===⨯=⨯ （3）min 22300060100c f N F ⨯=== （4）50F Hz ≤ ，min 2300012050N ⨯== ，m i n 10.0250p T s ==4.11 信号的最小记录时间是5秒，最高频率3400c f Hz =；求： （1）信号的频谱分辨率； （2）对信号的最大采样间隔； （3）最少采样点数；（4）要求最小记录时间增大1倍，计算信号的频谱分辨率。

解：（1）min 5p T s = ，1110.25p p T F H z F T ≥⇒≥==（2）min 0.2F Hz = ，max min 1150.2T s F ∴=== （3）2234006800s c f f Hz ≥=⨯=4111.47106800s s s s f -∴===⨯时域最小采样间隔T所以最少采样点数m i nm i n 5680034000p sT N T ==⨯= （4）min 5210p T s =⨯=则m i n110.110p F Hz T ≥==4.12 )()(31n R n x =，)()(52n R n x =，12()()()x n x n jx n =+。

计算：（1）)]([)(n x DFT k X =（2）通过)(k X ，求)]([1n x DFT 和)]([2n x DFT 。

解：（1） 取max(3,5)5N ≥=1212()[()()][()][()]X k DFT x n jx n DFT x n jDFT x n =+=+135[()()]N kn N n R n jR n W-==+∑04k ≤≤450023455555(1,1,1,,)04(1)(1)(1)nkn k k k kj j j j j W k j W j W j W jW jW ==+++≤≤=+++++++∑04k ≤≤（2）通过)(k X ，求)]([1n x DFT 和)]([2n x DFT 。

2345555(5)2(5)553(5)4(5)5523455551[()](1/2/2)(1/2/2)(1/2/2)/2/221[*()](1/2/2)(1/2/2)(1/2/2)2/2/2(1/2/2)(1/2/2)(1/2/2)/2/2k k k k k k k k k k k kX k j j W j W j W j W X N k j j W j W j W j W j j W j W j W j W --------=+++++++-=-+-+---=-+-+--- 12[()()]()()()e o DFT x n jx n X k X k X k +==+11[()]()[()*()]2e DFT x n X k X k X N k ==+-所以2155[()]104k kDFT x n W W k =++≤≤2223455552345555[()]()[()]()[()*()]2[]104o o k k k k k k k kjDFT jx n X k DFT x n jX k X k X N k j j jW jW jW jW W W W W k =⇒=-=---=-++++=++++≤≤4.12 )()(31n R n x =，)()(52n R n x =，12()()()x n x n jx n =+。

计算：（1）)]([)(n x DFT k X =（2）通过)(k X ，求)]([1n x DFT 和)]([2n x DFT 。

通过MATLAB 编程求解x=0:4;x1=[1,1,1,0,0];stem(x, x1); title('R3(n)'); x=0:4;x2=[1,1,1,1,1];stem(x, x2); title('R5(n)'); y1=fft(x1) y2=fft(x2) y3=fft(x1+j*x2)x=0:4;x1=[1,1,1,0,0];stem(x, x1); title('R3(n)'); x=0:4;x2=[1,1,1,1,1];stem(x, x2); title('R5(n)'); y1=fft(x1) y2=fft(x2) y3=fft(x1+j*x2) y1 =3.0000 0.5000 - 1.5388i 0.5000 + 0.3633i 0.5000 -0.3633i 0.5000 + 1.5388iy2 = 5 0 0 0 0y3 =3.0000+5.0000i0.5000-1.5388i0.5000+0.3633i0.5000-0.3633i 0.5000+1.5388iy3=[3.0000+5.0000i,0.5000-1.5388i,0.5000+0.3633i, .5000-0.3633i,0.5000+1.5388i]; y31=[0.5000+1.5388i, .5000-0.3633i,0.5000+0.3633i,3.0000+5.0000i]; xe=0.5*[y3+conj(y3)] xo=0.5j*[y3-conj(y3)]第五章 快速傅里叶变换（FFT ）5.5设N=6，x(n)=[1,2,3,4,5,6],05n ≤≤,根据DFT 算法，编程计算X(k)。